再论圆形断面临界水深的近似直接计算式

李 蕊， 郭旭新， 徐 松

(1.杨凌职业技术学院， 陕西 杨凌 712100； 2.西北农林科技大学， 陕西 杨凌 712100)

0 引 言

在水力计算中，经常会遇到求解圆形断面渠道的临界水深，对于此水深的方程结构比较复杂，实质为计算含参变量的超越方程，且未知量包含在三角函数中，求解难度非常大。自1990年开始，许多专家对圆形断面临界水深进行了大量研究，获得了一些成果，主要成果集中在两个方面：①引入临界水深的无量纲参数，通过对临界水深方程的数学变换，得到无量纲水深的近似直接计算公式[1-4]；②采用迭代法计算，通过选取合适的迭代初值和迭代方程计算临界水深[5-6]。鉴此，本文应用数学软件Matlab优化拟合法得到一种较简洁且高精度的近似直接计算式。

1 圆形断面临界水深基本方程

水力学中临界流的基本方程为：

(1)

如图1所示，圆形断面的水力要素分别为：

过水断面面积

(2)

水面宽度

Bc=dsin(θ/2)

(3)

临界水深

(4)

其中：Q为流量(m3/s)；Ac为临界流对应的过水断面面积(m2)；Bc为水面宽(m)；g为重力加速度(通常取9.81 m/s2)；a为流速分布不均匀系数(通常取1.0)；θ为临界水深对应的圆心角(rad)；d为洞径(m )。

将式(2)、(3)、(4)代入式(1)得：

(5)

由此可见：要求出圆形断面临界水深hc，必须先从(5)式中求出θ，然后代入(4)式中求出临界水深hc，而(5)式为关于θ的含参数的超越方程，理论上无解析解。

图1 圆形过水断面

2 圆形断面临界水深的近似直接计算公式

设

(6)

(7)

k可认为是无量刚参数，x可认为是圆形断面无量刚临界水深。

根据工程实际的要求及参考文献[3-5]，x的取值范围为：0.05

>> k=[0 0.0001 0.0006 0.0018 0.0042 0.0085 0.0154 0.0258 0.0405 0.0606 0.0872 0.1216 0.1654 0.2209 0.3820 0.5044];

>> x=[0.05 0.10,0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.80 0.85];

>> plot(k,x,'go')

>> k1=log(k);

>> x1=log(x);

>> plot(k1,x1,'r')

>> cftool

由kx的散点图(图2所示)可见，kx之间的函数关系为：

x=akb

(8)

对原始数据进行取对数处理，得到数据k1与x1，借用拟合工具箱cftool得到k1、x1之间的函数关系为：

x1=0.2557k1+0.02105

(9)

拟合图像如图3所示。

对式(8)两边同时取对数得到：

lnx=lna+blnk

(10)

比较(9)与(10)得到：

lna=0.02105⟹a=e0.02105⟹a=1.0213

b=0.2557所以，

x=1.0213k0.2557

(11)

将其代入(7)式，可得圆形断面临界水深的近似直接计算公式为：

hc=x×d=1.0213k0.2557×d

(12)

图2k-x散点图 图3k1-x1拟合图像

3 精度评价

3.1 近几年得到的近似公式

近几年求解圆形断面临界水深的近似直接公式很多，就简捷、通用、计算精度高这三方面考虑，有孙建公式和王正中公式相对较好，下面就和本文公式作一比较：

②孙建公式[4]

③本文公式hc=1.0213k0.2557×d

3.2 公式误差计算

根据参考文献[3-5]，x的取值范围为：0.05

表1 圆形断面无量纲临界水深误差计算表

根据表1，在0.05

从公式结构上来看，孙建公式最为复杂，本文公式最为简捷。

从公式的适用范围上来看，孙建公式、王正中公式和本文公式都能满足工程实际要求。

由此可知本文公式结构简捷，误差小，适应范围广。

4 工程实例

以文献[1]为例，某圆形断面的引水式电站输水隧洞，洞径d=15.0 m，求设计流量Q=500 m3/s时的临界水深。

解：由(6)得：

由(12)得：

hc=1.0213k0.2557×d=6.4283m

用孙建公式和王正中公式分别计算本例，结果见表2。

表2 临界水深计算

从例题的计算过程可见，本文公式计算步骤简单，仅需两步就可以求出临界水深；从上表的误差比较可见，本文公式相对误差仅为为0.012﹪；从公式的简捷程度可见，本文公式最为简捷。