基于双线性强度准则的黄土隧道围岩弹塑性解析解

王明年，董宇苍，于 丽

(西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

随着我国高速铁路路网的完善和西部大开发战略的实施，越来越多的隧道工程修建在中西部黄土平原地区[1-4]。而由于黄土特殊的工程性质，隧道施工扰动会导致围岩应力位移场发生复杂变化，引发围岩变形过大、支护体系开裂失稳等问题[5-7]。因此，黄土工程特性、围岩隧道稳定性等问题引起了国内外学者的广泛关注。

目前，针对黄土工程特性方面，国内外学者已经开展大量深入研究。Shao Shuai[8]根据地质相关因素条件，对黄土工程性质进行分析评价，给出了地基变形量评价计算方法；S.Mohsen Haeri[9]采用室内三轴试验、电镜扫描等方法，分析了结构性黄土微观结构强度与宏观结构性强度的相互关系；邓国华[10]基于剑桥本构模型，引入反映黄土结构性强度的结构性参数，建立了黄土修正剑桥模型；陈存礼[11]基于邓肯-张本构模型定义了反映黄土微观结构的综合结构势，并以此修正建立了相应本构模型；夏旺民[12]、胡再强[13]等根据结构性黄土变形损伤规律，推导了相应的屈服、损伤函数，建立了结构性黄土的损伤本构模型。

针对黄土隧道稳定性方面，梁小勇等[3]采用室内试验方法，对深埋大断面黄土隧道围岩失稳演变过程进行研究，得出围岩失稳的渐进破坏规律；扈世民[1]、赖金星[14]等采用室内试验、现场测试等方法，对黄土隧道变形特征进行分析，分别得到了围岩纵向、横向变形规律；陈建勋[15]、谭忠盛[16]等采用现场测试等方法，针对黄土隧道锚杆作用效果及受力特性进行分析，得出拱部锚杆受压、边墙锚杆受拉，且量值较小的力学特性；王明年等[17-19]采用现场实测、室内试验等方法，明确了黄土隧道深浅埋分界深度，并给出了相应深、浅埋隧道围岩压力计算方法；李鹏飞[20]采用现场实测方法，得到了黄土隧道初期支护与二次衬砌接触压力的相互关系，并明确了接触压力时空演变规律。

综上所述，目前黄土本构模型相关的研究成果已较为丰富、全面，但对于黄土强度准则的研究较少。并且，强度理论效应[21]指出强度准则的选取对于岩土计算准确性影响远超过计算方法改进的影响。因此，有必要给出表征黄土结构特性的强度准则。针对黄土隧道工程方面，研究主要集中在围岩破坏模式、隧道结构设计以及支护体系作用机理方面，且研究方法以现场测试、室内试验为主；而采用理论解析解方法，针对隧道开挖扰动对黄土围岩弹塑性特征的研究，以及不同因素对围岩应力、位移场的影响规律的研究仍不充分。

鉴于此，本文以郑西高铁大断面黄土隧道群为工程依托，首先采用室内三轴试验方法，明确不同地质时期黄土强度包络线特征，给出反映黄土结构强度特性的强度准则；进而采用理论分析方法，推导出不同应力分区下围岩应力、位移的解析解，并与数值模拟结果进行对比验证；最后，基于理论解析解，明确支护反力、强度比和洞径3个参数对黄土隧道围岩应力、位移场的影响规律。研究成果旨在对深埋黄土隧道围岩稳定性控制、施工提供理论支撑和参考。

1 黄土强度特征的试验测试

黄土是干旱半干旱地区的沉积物，在特定的生成和历史环境中形成，具有明显的结构强度特征，使黄土结构发生破坏时，力学性质产生突变[8]。而黄土结构性强度主要来源于黄土微观结构中胶结物联结，而胶结物成分组成、黏结程度与黄土的历史生成时期有关，不同地质时期的黄土结构性强度并不相同[9]。因此，采用室内三轴试验方法，测试新、老黄土不同地质时期黄土强度包络线，获得不同地质时期下黄土的强度特征。

1.1 工程概况

本文以郑西客运专线黄土隧道洞群为工程依托，郑西高铁全线黄土隧道共38座，总长度77 km，隧道洞群穿越地质涉及Q1～Q4不同地质时期的新、老黄土等多种地层。选取以穿越黄土不同地质时期的函谷关隧道、贺家庄隧道、张茅隧道、秦东隧道4座典型隧道作为土体试样采样隧道，这4座隧道的长度分别为7 851，4 672，2 544和6 612 m，黄土类型分别为Q3，Q2，Q1，Q1。

1.2 试样及试验工况

土体试样均取自隧道掌子面开挖处，即在隧道径深50 cm左右处，先切削出边长约30 cm的立方体粗样；进而，将土样进一步切削成10 cm左右的圆柱形初样，包裹严密后运送至室内试验室；然后，在试验室中将初样进一步切削成所需规格的终样，在GDS静态三轴测试系统上进行常规三轴剪切试验。

对于每座隧道，均设置4种试验工况，每种工况包含4种围压测试条件，每种围压下均测试3个土体试样。因此，每种工况包含12个土体试样，4种工况共包含48个试样。分别测试48个试样的抗剪强度，并根据测试结果，绘制出4种试验工况的摩尔圆。

1.3 测试结果

根据4座隧道的剪切试验数据，绘制4种工况下黄土的剪切强度包络线，如图1所示。图中：τ为切应力；σ为正应力；c为黏聚力；φ1为后段摩擦角；φ2为前段摩擦角；σc为包络线转折点处正应力。由图1可知：黄土的剪切强度依然服从Mohr-Coulomb强度准则(M-C准则)，但因黄土结构性强度特征，结构性黄土剪切强度包络线为双线性折线，而非单直线；强度包络线折线点前段直线较为平缓，黏聚力大而内摩擦角小；折线点后段直线较陡，其延伸点通过原点，黏结力接近为0，内摩擦角增大。该试验结果也与刘祖典[22]、张炜[23]等人的试验结果相同，证明双线性强度特征为黄土结构强度的宏观表现形式之一。

图1 4座隧道黄土的剪切强度包络线

同时，通过对比不同地质时期黄土强度包络线可知，新黄土(Q3～Q4)的双线性结构性强度特征较为明显，而仅有少部分老黄土(Q1～Q2)具有结构性强度特征。因此，黄土强度准则可基于Mohr-Coulomb强度准则，采用双线性表达式以表征结构强度属性，双线性强度准则表达式如式(1)、图2所示。由式(1)可知：若φ1≠φ2，根据摩擦角不同的取值，就可反映不同地区黄土的结构强度特性；若φ1=φ2，则反映无结构性老黄土，该强度准则就退化成常规M-C强度准则。并且确定该强度准则所需参数较少；参数获得方式也较为便捷、快捷。

(1)

图2 黄土双线性强度准则

2 黄土隧道围岩弹塑性解析解

由隧道开挖后围岩二次应力状态可知，围岩初始应力为深埋静水压力状态；隧道毛洞开挖后，洞周附近应力水平降低，并随径向距离的增加而逐渐增大。因此。基于双线性强度准则，黄土隧道围岩应力场将分为3个应力区域，即弹性区Ⅰ、塑性区Ⅱ、塑性区Ⅲ，如图3所示，其中，塑性区Ⅱ强度准则由双线性强度准则中后直线段(c1，φ1)控制，塑性区Ⅲ强度准则由双线性强度准则中前直线段(c2，φ2)控制。

图3 黄土隧道围岩应力分区

2.1 基本假定

以深埋圆形隧道为例，进行围岩弹塑性解析解的推导。首先推导服从如下假定：①围岩条件为均质、各向同性黄土，具有结构性强度，无节理；②隧道位于深埋静水应力场，静水压力场为P0，忽略围岩重度；③σr=P0(r→+∞)，σr=Pi(r=R0)，其中，σr为径向应力，Pi为隧道支护反力，r为径向深度；④围岩强度准则服从双线性强度准则。

2.2 不同分区应力的解析解

1)弹性区Ⅰ

(2)

2)塑性区Ⅱ

(3)

其中，

弹性区Ⅰ与塑性区Ⅱ交界处应力边界条件为

(4)

由此可得

(5)

根据塑性区Ⅱ与Ⅲ交界处应力边界条件求解可得

(6)

3)塑性区Ⅲ

(7)

令r=R2，即可求解出塑性区Ⅱ与Ⅲ交界处应力为

(8)

联立式(3)、式(7)和式(8)，可得R2和R0关系式为

(9)

进而可得

(10)

塑性区Ⅱ区的应力分量为

(11)

其中，

若黄土无结构性，即c1=c2，φ1=φ2，则式(7)和式(11)可退化成常规围岩的塑性半径公式，并将R2替换成R0，σrp2替换成Pi。

2.3 不同分区位移解析解

根据黄土隧道围岩位移分区，如图4所示。根据拉梅解[24-25]，可推导出在P0作用下弹性区Ⅰ内缘的径向应力增量Δσr和切向应力增量Δσθ为

(12)

根据岩土体压缩变形前后不发生体积变化的规定[2]，可得

(13)

式中：εθ为切向应变；μ为泊松比；E为弹性模量。

图4 黄土隧道位移分区图

(14)

同理可得，由σrp1产生对弹性区Ⅰ附加的切向应力σθ和径向应力σr为

(15)

(16)

联立式(15)和式(17)，可得塑性区Ⅱ外缘的最终径向位移up1为

(17)

根据岩土体关联流动法则[26]，可得塑性区Ⅲ外缘的径向位移up2为

(18)

同理可得，隧道洞周位移u0为

(19)

2.4 解析解验证

为了验证上文推导的解析解计算公式的正确性，采用FLAC3D有限元软件进行模拟验证。建立的有限元模型：围岩采用Solid45实体单元模拟,单元本构模型为双线性应变软化/硬化模型，该本构模型为传统摩尔-库伦修正模型，通过设置软化/硬化、节理系数为0将该修正模型退化为传统的弹塑性本构模型；实体单元强度准则采用双线性屈服准则，如式(1)所示；本构模型与强度准则所需参数以函谷关隧道测试参数取值，所需参数取值见表1。

表1 数值模型的参数及其取值

图5 塑性区半径、洞周位移2种计算结果对比

分别采用解析解公式、有限元模拟2种方法，得出塑性区Ⅱ的半径R1、不同支护力条件下洞周位移，如图5所示，可见解析解结果与数值模拟结果高度吻合，从而证明了解析解公式的正确性和有效性；可以运用该公式分析黄土隧道围岩应力、位移特征。

3 不同参数影响分析

以函谷关隧道为例，采用解析解公式，分析支护力、强度比以及开挖洞径等参数对围岩应力场、塑性区半径以及洞周位移的影响规律。不同影响因素分析所需参数取值见表2。

表2 不同影响因素分析所需参数取值

3.1 黄土隧道围岩应力场分布特征

黄土隧道围岩应力场沿径向深度的分布特征如图6所示。由图6可知：围岩径向应力随着径向深度的增加呈逐渐增加趋势，由洞周位置处0.3 MPa逐渐增加至原岩应力1.9 MPa；围岩切向应力随着径向深度的增加呈先增大后减小趋势；切向应力峰值为2.5 MPa，为原岩应力的1.3倍；并且，在应力峰值位置处之前，切向应力增长趋势具有双线性特征，斜率变化位置的径向深度为塑性区Ⅱ与塑性区Ⅲ的区域交界处；在峰值点之后，切向应力逐渐降低，最后减至原岩应力1.9 MPa；径向、切向应力均在距径向深度60 m后才逐渐接近原岩应力，说明隧道开挖引起的围岩应力扰动波及范围较深。

图6 黄土隧道应力场分布特征

3.2 不同支护反力下弹塑性

不同支护反力取值方式为0.1～1.0倍的静水压力场P0，依据式(10)、式(11)分别计算不同支护反力条件下塑性区Ⅱ、Ⅲ的半径R1和R2，并计算其差值ΔR=R1-R2。同时，计算无结构性强度特征的常规黄土条件下塑性区半径，作为对比，强度准则采用传统M-C准则(参数取值分别按双线性强度准则中前直线段、后直线段的强度参数进行取值)，常规黄土仅存在1个塑性区，其半径分别表示为R前段、R后段表示。不同塑性区半径计算结果如图7所示。

图7 不同强度指标下围岩塑性区半径对比

由图7可知：随着支护反力增大，R1，R2，R前段，R后段均呈递减趋势，说明施加支护反力可以有效减小围岩塑性区范围，保证围岩、隧道结构稳定；ΔR亦随支护反力增大而减小，即塑性区Ⅱ分布面积逐渐减小，说明支护反力对塑性区Ⅱ分布面积影响较大。

对比2种强度准则计算所得的塑性区半径结果可知，采用本文的双线性强度准则计算的塑性区半径R1比采用传统M-C强度准则计算的塑性区半径R后段小5～10 m。这主要是因为黄土结构性强度发挥作用，一定程度上减小了围岩塑性扰动范围，有利于围岩稳定；同时，说明双线性强度准则更能体现黄土结构性强度特征。

3.3 不同强度比下围岩弹塑性

强度比(Rb/P0)对隧道洞室稳定性具有显著影响[27]。当给定围岩单轴抗压强度(Rb)时，通过改变初始应力P0，可实现不同强度比下黄土地层围岩塑性区半径变化分析。不同强度比下围岩塑性区Ⅱ、Ⅲ的半径R1和R2，如图8所示。

由图8可知：当强度比小于1.0时，R2不随强度比变化而变化，保持为定值，而R1随强度比的增加而逐渐降低，说明强度比主要影响塑性区Ⅱ的分布范围；当强度比大于0.53时，此时R1

图8 不同强度比下黄土地层塑性区变化

3.4 不同洞径下围岩弹塑性

以支护反力300 kPa为例，不同洞径下围岩塑性区分布特征，如图9所示。由图9可知：随着隧道开挖半径的增加，塑性区半径呈线性增加；隧道开挖半径由3.5 m增加至7.5 m，塑性区Ⅱ半径R1增长率为111%，塑性区Ⅲ半径R2增长率为114%，而塑性区Ⅱ区域宽度增长率为114%。由此可知，隧道洞径增大，会扩大围岩塑性扰动范围，增加围岩、隧道结构失稳风险。

图9 不同洞径下围岩塑性区变化

3.5 不同参数下隧道洞周径向位移

为明确不同因素下黄土隧道洞周径向位移的变化规律，分别计算不同支护反力、不同围岩强度比、不同隧道开挖半径时的隧道洞周径向位移，如图10所示。

由图10(a)可知：随着支护反力的增加，洞周径向位移逐渐减少，说明较大的支护反力可以限制洞周变形，维持围岩、隧道结构稳定；对比采用单一、双强度指标的洞周位移计算结果发现，黄土结构性强度属性对于洞周径向位移起到一定的限制作用，但随着支护反力的增加，这种限制程度逐渐减弱。

由图10(b)可知：随着围岩强度比的增加，洞周径向位移总体呈减小趋势，但变化速率受强度比影响较大；当强度小于0.3时，洞周径向位移随着强度比的减小而急剧增大，且其值较大，如强度比为0.3时，其值为23.4 cm，已属于围岩大变形情况；当强度比大于0.3时，随着强度比的增加，洞周径向位移衰减速率明显降低，总体量值也相对较小。由此可见，对于黄土地层隧道开挖时，当地应力水平较高时，易引发围岩大变形情况发生。

图10 不同影响因素下隧道洞周径向位移变化

由图10(c)可知：随着隧道开挖半径的增加，洞周径向位移基本呈线性增长趋势，当开挖半径为15 m时，此时洞周径向位移较大，为31.68 cm，这也与围岩应力变化相互印证，说明深埋大断面黄土隧道施工，易引起洞周变形过大，增加围岩、隧道结构失稳的风险。

4 结 论

(1)黄土强度包络线具有明显的双线性特征，在相关分析中可采用双线性准则作为其强度准则。

(2)基于双线性强度准则，结构性黄土隧道围岩应力场可分为弹性区Ⅰ、塑性区Ⅱ、塑性区Ⅲ共3个区域；对应3个区域，分别推导出围岩应力、位移的解析解。并与数值模拟结果进行对比验证，证明解析解的正确性和有效性。

(3)黄土隧道开挖后，随着径向深度增加，围岩径向应力呈逐渐增加趋势；切向应力呈先增大后减小趋势，并且在峰值点前增大过程具有双线性特征。

(4)随着支护反力增大，围岩塑性半径R1、R2、洞周位移均呈递减趋势，施加支护可有效减小围岩、隧道结构失稳风险。

(5)随着强度比(Rb/P0)增加，塑性区Ⅱ半径呈逐渐降低趋势，而塑性区Ⅲ半径不发生变化，当强度比小于0.3时，洞周径向位移随强度比的减小而急剧增大，说明当地应力水平较高时，深埋黄土隧道开挖易引发围岩产生大变形。

(6)随着隧道开挖半径的增加，塑性区半径、洞周径向位移均基本呈线性增长趋势，说明深埋大断面黄土隧道施工，会扩大围岩塑性扰动范围，易引起洞周变形过大，增加围岩、隧道结构失稳的风险。