有限值动态系统的分析与控制研究进展

李海涛 李雅璐 王淑玲 刘玉娜

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

有限值动态系统(Finite-Value Dynamical Systems)是状态、输入和输出都在有限集上进行取值的非线性系统，其动态方程由多值/混合值逻辑函数表示[1].该类系统的特点是动态方程不含参数，可用于建模较大规模的系统，便于计算机仿真验证等.在过去的半个多世纪，有限值动态系统被广泛地应用于基因调控、电路设计、信息安全、博弈论等众多领域[2，3]，成为一个多学科交叉的热门研究课题.多位诺贝尔奖获得者的研究成果与有限值动态系统密切相关，包括1965年诺贝尔生理医学奖获得者 F. Jacob 和 J. Monod，1994年诺贝尔经济学奖获得者J. Nash，以及2012年诺贝尔经济学奖获得者L. Shapley.

目前为止，有限值动态系统主要分为四种：逻辑动态系统、网络演化博弈、有限域网络和非线性反馈移位寄存器.逻辑动态系统是一个离散时间的动态系统，其状态变量在一个有限集上进行取值[4].逻辑动态系统在许多领域具有重要应用，比如生物学中的布尔网络[5，6].布尔网络最早是在1969年由Kauffman提出，它被用来建模基因调控网络并被应用到各种生物现象的建模[7].演化博弈最早源于Fisher、Hamilton、Tfive等生物学家对动物和植物的冲突与合作行为的博弈分析.以动态系统的观点来分析演化博弈，程代展等提出了网络演化博弈[8，9].有限域网络是指每个自主体的状态分量在一个合适的有限域上进行取值的多智能体系统[10].有限域网络的主要优势为：它只需要较为有限的存储、计算和通信资源，并且所设计的算法能够保证系统在有限时间收敛.因此，有限域网络适用于容量、内存和时间受限的网络，特别是对网络带宽和传感器通信能力有较强依赖的无线传感器网络.非线性反馈移位寄存器在密码学中具有重要作用，它所产生的输出序列通过当前存在的密码分析方法是很难预测到的，因此非线性反馈移位寄存器在手机、数字电视、通讯、故障检测以及密码系统等领域具有重要应用[11-13].

目前现实世界中的系统主要分为两类：一类是基于数量关系的系统，一般用微分方程或者差分方程来描述；一类是基于逻辑的系统.对于第一类系统，目前已有比较完善的处理方法，比如卡尔曼的状态空间方法.遗憾的是，对于第二类系统目前却缺少有效的处理方法，虽然数理逻辑可以将布尔网络转化成逻辑动态系统，但却不能用来分析系统的性能.近年来，程代展教授及其科研团队提出了一种新的矩阵乘法——矩阵的半张量积[14，15]，它将普通矩阵乘法推广到前阵列数和后阵行数不等的情况.推广后的矩阵乘法不仅具有推广前矩阵乘法的性质，并且还具有伪交换性等普通矩阵乘法没有的性质.它的主要优点是可以将一个逻辑变量转化为一个向量，将一个逻辑函数转换成一个等价的代数形式.因此，有限值动态系统可以转化为经典线性离散系统的形式，从而方便我们将现代控制理论中的已有结果应用到有限值动态系统.到目前为止，利用矩阵半张量积方法，布尔网络中许多富有挑战性的问题被解决，比如能控性[16-19]，能观性[20-23]，稳定性[24-27]，镇定控制[28-31]和最优控制[32-34].除此之外，矩阵半张量积方法在图的着色问题、非线性反馈移位寄存器、有限自动机、网络演化博弈、模糊控制和数字电路等方面都得到了重要的应用.

近几年来，已有多位学者对有限值动态系统的分析与控制方面的研究成果做了详细地总结.卢剑权等在矩阵半张量积框架下，对逻辑网络系统及其应用给出了一个全面的介绍[35].李海涛等综述了矩阵半张量积方法在基因调控网络、电力系统以及智能电网等工程领域中的应用[36].然而，据我们所知，对于近三年有限值动态系统的分析与控制方面的研究进展，鲜有文章总结.因此，本文的目的，就是要对有限值动态系统的基本研究问题以及近三年来的热点研究问题进行综合概述，并给出有限值动态系统现存的问题以及研究前景.

2 数学基础

2.1符号介绍

(i)Mm×n为m×n阶实矩阵构成的集合；

(ii) 1m×n为元素全为1的m×n阶矩阵，1n为元素全为1的n维列向量；

(vi) 将矩阵A的第i列记为Coli(A)，第i行记为Rowi(A)，并将其(i,j)元记为ai,j；

(vii) 若一个矩阵B的每一个元素都是从D2中取值，则称其为布尔矩阵.Bm×n为m×n阶布尔矩阵构成的集合；

2.2矩阵半张量积矩阵半张量积将普通矩阵乘法推广到任意维数的两个矩阵，即，设A∈Mm×n，B∈Mp×q,记s=lcm(n,p)为n和p的最小公倍数，则其半张量积定义为

A▷B=(A⊗Is/n)(B⊗Is/p).

近几年来，矩阵半张量积在多个领域，尤其是在逻辑网络系统的控制中得到了广泛应用.在本文中，默认矩阵乘法为矩阵半张量积，并将符号“▷”省略.

因此，利用矩阵半张量积方法，人们可以方便地将有限值动态系统转化为代数状态空间表示形式，从而为利用经典控制理论来研究有限值动态系统奠定了基础.

为便于读者理解，下面我们用一个例子来说明如何将一个逻辑函数转化为其等价的代数形式.

给定一个逻辑函数f(x1,x2,x3)=x1∧x2∨x3，其中x1，x2，x3为布尔变量，，∧，∨分别为逻辑算子“非”，“合取”和“析取”，其相应的结构矩阵分别为以及则在向量形式下有

f(x1,x2,x3)=MdMcx1Mnx2x3

=MdMc(I2⊗Mn)x1x2x3

:=Mfx1x2x3，

关于矩阵半张量积的更多性质，读者可参见文献[14].

3 逻辑动态系统研究进展

众所周知，现有的对于逻辑动态系统进行数学分析的工具较少.鉴于此，程代展教授提出了矩阵半张量积理论，并将这一方法引入到逻辑动态系统的研究之中.程代展教授和他的合作者得到了矩阵半张量积的一些基本结果[14,15-37]，它们详细介绍了矩阵半张量积以及基于矩阵半张量积逻辑动态系统的一些研究结果.运用矩阵半张量积方法，逻辑动态系统可以转化成等价的代数形式，从而方便使用经典的控制理论来研究逻辑动态系统.利用矩阵半张量积方法，对于逻辑控制动态系统的研究取得了突破性的进展.

3.1历史回顾逻辑动态系统是指其状态变量x=(x1,…,xn)都只取有限值的离散时间系统.设xi∈Dki,i=1,…,n，那么，这个逻辑动态系统可以表示为如下形式：

(1)

能控性是现代控制理论的一个基本概念，最早由卡尔曼在20世纪60年代初提出[38,39].能控性作为一种描述系统状态可由外部输入进行控制的性能，它的研究为系统控制器和估计器的分析和设计提供了理论基础.文献[40] 提出了两种布尔控制网络的能控性定义，并给出布尔控制网络能控的充要条件.在此基础上，文献[41]提出了输入-状态关联矩阵和能控矩阵，利用能控矩阵给出了判定系统是否能控的充要条件.文献[17,42-46]分别将状态受限、时滞、切换、概率等情况引入布尔网络，研究其系统的能控性并给出充要条件.

能观性是系统估计理论的基本概念，在生物学具有重要应用.文献[40]给出了能观性的四种定义，并给出了判定系统是否能观的充要条件.文献[22]比较了文献[40]中的四种能观性定义，给出了它们之间的相互关系，并在四种能观性的定义基础上增加了第五种定义.在文献[22]的基础上，得到了很多布尔控制网络能观的优秀结果，包括具有时滞、切换布尔控制网络的能观性、具有脉冲效应的布尔控制网络的能观性等.

布尔网络的稳定性在本质上等价于离散迭代的收敛性.作为逻辑控制网络研究中最基本的问题之一，镇定问题的解决不仅可以指导医学工作者设计合适的治疗干预措施，引导生物系统达到理想状态，而且可以揭示系统的结构对系统稳定性的影响.近十年来，逻辑控制网络的镇定控制设计吸引了众多学者的研究兴趣，并在这一问题上取得了许多优异的成果.文献[47]利用矩阵半张量积方法研究了具有开环控制和状态反馈控制的布尔控制网络的稳定性和镇定性，并给出系统镇定的充要条件.利用文献[47]的结果，文献[48]将稳定和镇定推到了更一般的情况：集合稳定和集合镇定，并给出其充要条件.文献[28]提出了能达集方法来研究布尔控制网络的状态反馈镇定问题.

以上结果是过去十几年来得到的部分结果，详情可以参考文献[49].下面我们具体介绍近三年来逻辑动态系统的最新成果.

3.2逻辑动态系统的最新研究进展目前关于逻辑动态系统的研究问题有很多，这里，我们根据广大学者们的最新研究，只对逻辑动态系统的控制设计问题、集合能控问题、依分布稳定问题、函数摄动问题进行综述.

3.2.1 控制设计方法 逻辑动态系统中的控制类型主要包括状态反馈控制、自由控制序列以及牵制控制.近年来，采样控制、事件触发控制被相继引入到逻辑动态系统.

事件触发控制(Event-Triggered Control)最早是在20世纪90年代后期提出的[50]，它主要由两部分构成：确定控制输入的反馈控制器和一种触发机制，它决定何时再次更新控制输入.事件触发控制的主要优点是大大减少了控制执行次数，节省了计算成本[51].近二十年来，事件触发控制在非线性系统[52，53]，网络控制系统[54，55]等领域得到了广泛的研究.文献[56]研究了具有事件触发控制的布尔控制网络的干扰解耦问题，文献[57]利用代数状态空间表示方法研究了k值逻辑控制网络的鲁棒集镇定问题，并给出了事件触发控制的设计方法.文献[58]将文献[57]的结果推广到切换k值逻辑控制网络的状态输出同步问题，并给出事件触发控制的设计方法.文献[59]和文献[60]分别通过事件触发反馈控制研究了布尔控制网络和概率布尔控制网络的镇定问题.

采样控制(Sample-Data Control)是一种重要的现代控制技术，其目的是通过在一个或多个位置设计脉冲序列或数字序列的信号来实现控制目标[61].在采样控制系统中，控制器在每个采样点更新，同时在每个时刻更新传统控制器.采样控制的主要优点是不仅可以提高系统的控制精度和抗干扰能力，而且可以节省控制器的成本[62].在过去的几十年中，采样控制已经应用于雷达跟踪系统、温控系统和网络控制系统等领域[30,63-66].文献[30]首次将采样控制引入到k值逻辑动态系统，研究了k值逻辑动态系统采样控制反馈镇定问题，并给出了系统镇定的充要条件和采样控制的设计方法.文献[67]进一步研究了受限的k值逻辑动态系统采样能达性和状态反馈镇定.文献[68]和文献[69]分别研究了采样控制下布尔控制网络的能控性和能观性.此外，采样控制下控制布尔网络的许多问题得到广泛研究，例如输出调节问题[70]、鲁棒采样控制不变集[71]、同步问题[72]等.

3.2.2 集合能控 文献[73]首次提出了布尔控制网络的集合能控这一概念，并利用集合能控解决了布尔网络的能观性问题.这个想法主要来自文献[21]，考虑的状态受限是集合能控的一种特殊情况.因此，集合能控可以说是文献[21]结果的推广和一般化.文献[74]利用受限集合能控方法，解决了状态受限逻辑控制网络的输出跟踪和输出同步问题.考虑如下形式的布尔控制网络：

(2)

定义1 考虑系统(2)，假设初始集和最终集分别为P0和Pd.

定理1 考虑系统(2)，假设初始集和最终集分别为P0和Pd，其集合能控矩阵Cs=(cij)定义如上.

(iii) 系统(2)是集合能控的，当且仅当Cs=1β×α.

3.2.3 李雅普诺夫稳定 李雅普诺夫理论在非线性动力系统的稳定性分析和控制综合中起着重要的作用[75,76].特别地，在非线性系统理论中控制李雅普诺夫函数(Lyapunov Function)被用来设计状态反馈控制器[3]，在多智能体系统、模糊控制系统和混杂系统中得到了广泛应用.布尔网络是一种特殊的离散时间动态系统，因此，布尔网络应该也具有控制李雅普诺夫函数.

近年来，李雅普诺夫理论已被推广到k值逻辑动态系统的稳定性分析中.文献[77]不仅首次对一般布尔网络定义了李雅普诺夫函数的概念，提出了两种构造李雅普诺夫函数的方法，而且建立了布尔网络的李雅普诺夫理论的一个新框架，得到了若干基于李雅普诺夫的稳定性结果，其中包括一个逆李雅普诺夫定理.众所周知，构造一般动态系统的李雅普诺夫函数仍然是一个开放的问题.然而，通过文献[77]的方法，对任意给定的布尔网络都可以构造一个或多个有效李雅普诺夫函数.

考虑如下形式的布尔网络：

x(t+1)=Lx(t).

(3)

下面给出布尔网络(3)李雅普诺夫函数的定义.

定义2 一个伪布尔函数V(x1,…,xn):Dn→R是布尔网络的李雅普诺夫函数，如果以下条件成立：

(i)V(x1,…,xn)>0,∀(x1,…,xn)∈DnOe,且V(x1,…,xn)=0对任意的(x1,…,xn)∈Oe成立，其中Oe表示布尔网络的不动点集.

(ii) 对于布尔网络的所有轨迹，ΔV(x1,…,xn)<0对(x1(t),…,xn(t))∉S成立，且ΔV(x1(t),…,xn(t))=0对(x1(t),…,xn(t))∈S成立，其中S表示不动点和环构成的集合.

下面列出文献[77]建立的布尔网络李雅普诺夫函数构造方法.

第一步：计算矩阵L，并找出集合Oe的指标集Ie和集合S的指标集Is;

V(x1,…,xn)=c0+c1x1+…+cnxn+cn+1x1x2+…+c2n-1x1x2…xn.

在文献[77]之后，逻辑网络的李雅普诺夫方法得到了迅猛发展.文献[78]将控制李雅普诺夫函数推广到了有限博弈，通过求解一组等式不等式构造出了控制李雅普诺夫函数.文献[79]将正系统的Lyapunov理论推广到具有马尔可夫跳跃参数的布尔网络的稳定性和l1增益分析.在此之后，文献[80]提出了一种控制李雅普诺夫方法来研究k值逻辑动态系统的反馈镇定问题.文献[81]将李雅普诺夫控制方法推广到了概率布尔网络，给出了概率布尔网络采样状态反馈镇定的充要条件.

4 网络演化博弈研究进展

冯·诺依曼的著作《博弈与经济行为理论》标志着现代博弈论的诞生.自此，博弈论的研究极大地促进了经济学、工程学、哲学、心理学等众多学科的发展.大致来说，博弈论主要有两个分支：非合作博弈和合作博弈.在竞争对手之间的互动过程中，每个参与者都独立地选择自己的策略来提高自己的效用.非合作博弈理论研究了由此过程产生的策略选择.在非合作博弈理论中，“纳什均衡”在策略选择中起着核心作用.合作博弈理论为研究合作者的行为提供了分析工具.与非合作博弈不同，在合作博弈中没有如同“纳什均衡”的最佳解决方案.在过去的几十年里，合作博弈的求解问题得到了国内外学者的广泛研究.从有效性公理、对称性公理以及可加性公理出发，L. S. Shapley于1953年提出Shapley值的概念[82]，并获得诺贝尔经济学奖.由于Shapley值是唯一一个满足三个公理的分配，因此在合作博弈中得到了广泛的应用，并发挥了重要的作用.下面，我们首先对博弈的基本知识进行简单介绍，然后对近几年来博弈论中的热点研究问题，如有限博弈的向量空间分解以及基于势博弈的控制问题进行总结.读者可参考文献[83]来学习博弈论的基础知识.

其中

称为ci的结构向量.

如果一个有限博弈被重复多次，则每个玩家都根据已有信息来最大化自身收益.这样，就可以得到演化方程.常见的一种演化方程为下一时刻的策略只依赖于当前时刻策略，即

其中xi(t)，i=1,2,…,n表示t时刻第i个玩家的策略.在向量形式下，可以得到上述演化方程的代数形式

x(t+1)=Fx(t)，

利用矩阵半张量积方法，文献[84]首次对采取“短视最优响应”更新规则的网络演化博弈进行了建模，文献[9]研究了采取一般的更新规则的网络演化博弈的建模.

4.2最新研究进展基于矩阵的半张量积方法，博弈论得到了国内外众多学者的广泛研究.在本部分，我们对近几年来博弈论中的几个热点研究问题进行总结.

一个有限博弈G=(N,S,C)，如果存在一个函数P:S→R，使得对任意i∈N成立

ci(xi,s-i)-ci(yi,s-i)=P(xi,s-i)-P(yi,s-i)，xi,yi∈Si,s-i∈S-i，

则称G为势博弈，相应的P称为势函数.势博弈在网络化系统的优化和控制问题中起着关键的作用.然而，势博弈的检验却是一个长期未得到解决的问题.利用矩阵半张量积方法，文献[85]将势博弈的验证问题转化为势方程解的存在性问题，并给出了相应势函数的结构向量.基于此，文献[86]提出了一个具有更低计算复杂度的验证条件.另外，文献[87]和文献[88]分别给出了判断策略受限的以及连续策略的博弈是否势博弈的检验方法.

近年来，基于势博弈[89-92]的控制方法被广泛应用于许多实际工程问题，如资源配置、电力调度等.一般来说，基于势博弈的控制问题包含两个步骤.对于一个给定优化目标的系统，首先设计每个自主体的收益函数，使整个系统成为一个以目标函数为势函数的势博弈；其次通过设计每个自主体的控制策略或算法，使整个系统收敛到势函数的纳什均衡点，从而达到整体目标的最优.基于博弈控制论的这一思想，利用拥塞博弈与势博弈的等价性，文献[93]给出了一个资源型系统可以成为拥塞博弈的充要条件，文献[94]考虑了系统用户具有特定代价的情形，提出了一种具有用户特定代价的拥塞博弈，有效地解决了资源配置问题.另外，文献[95]和文献[96]分别研究了有限时域收益的线性动态博弈和基于状态的演化博弈，分别给出了所考虑的博弈是势博弈的充分条件，文献[96]建立了相应的控制设计方法.

作为博弈论中的一个基本问题，有限博弈的向量空间结构在工程领域也具有重要应用[97].因此，这一问题的研究具有重要的理论与应用价值.利用矩阵半张量积方法，文献[97]给出了有限非合作博弈的正交分解，文献[98]提出了加权调和博弈的概念，利用加权的势博弈和调和博弈给出了有限非合作博弈的另一正交分解.另外，关于对称博弈[99]的向量空间结构，也有许多优秀的研究成果，包括文献[100-102].

基于矩阵半张量积方法，还有许多博弈论中的重要问题得到了解决，包括合作博弈中Shapley值的矩阵表示，网络演化博弈中的稳定和镇定问题[78]、策略一致性[103]、策略同步[104].另外，关于一些其他类型的博弈也取得了许多优秀的研究成果，包括随机演化博弈[105-108]、竞争扩散博弈[109]、变拓扑网络演化博弈[110]、及具有破产风险的网络演化博弈[111-114]等.

5 有限域网络研究进展

随着现代网络信息技术的快速发展，网络化控制系统成为当今学术界的一个热点研究领域[115-118].作为一类重要的网络化控制系统，多智能体系统由一组通过图进行局部通信的自主体组成，其目的是解决单个智能体系统难以或不可能解决的问题[119]. 相较于单个智能体系统，多智能体系统效率更高，灵活性更强，可靠度更高.因此，网络化多智能体系统在过去的几十年中引起了国内外许多学者的广泛关注[120，121]. 然而，在实数域上进行建模的网络化多智能体系统不仅需要大量的存储和通信资源，并且在对在实数域上进行建模的网络化多智能体系统进行控制设计时，所设计的算法往往不能保证系统有限时间收敛，因此很难适用于容量、内存和时间受限的网络.鉴于此， F. Pasqualetti 等学者利用有限域来建模网络化多智能体系统，即每个自主体的状态分量在一个合适的有限域上进行取值，从而提出了有限域网络的模型[10].

有限域网络由四部分组成: (i) 有限域Fp={0,1,…,p-1}，其中p是素数.(ii)n个自主体，每个自主体都从Fp取值. (iii) 有向图G=(V,E).其中V:={1,2,…,N}表示节点集，E∈V×V表示边集.i∈V表示第i个节点.如果存在自节点i到节点j的有向边，则(i,j)∈E. (iv) 线性分配协议: 每个自主体根据它的入度邻居的加权平均来更新自己的状态.

作为多智能体系统中最重要的问题之一，一致问题在机器人等工程领域有着广泛的应用[122].特别是领导者-跟随者一致问题得到了广泛的研究[123，124].有限域一致作为一种特殊的一致问题，近十年来得到了广泛的研究[125，126].

x(t+1)=Ax(t),

(4)

其中A表示网络图的邻接矩阵，且式(4)中所有运算都是有限域上的模运算.

F. Pasqualetti 研究了这种有限域网络的一致性，从网络拓扑的角度给出了判断有限域网络一致性的充要条件，并且说明与实数域上的一致不同，有限域一致能够在有限时间实现[127].文献[10] 给出了具有离散时间迭代的固定网络有限域一致的充要条件，与此同时，作者还提供了它在传感器网络中平均一致性和姿态估计中的应用.文献[128]研究了有限域网络的结构能控性和能观性, 利用有限域上的线性系统理论给出了有限域网络结构能控和能观的判据. 研究结果表明, 如果图包含生成森林, 则有限域上的多智能体系统是结构能控的.

具有时滞的有限域网络表示如下：

(5)

文献[129]分别研究了具有单常时滞、多常时滞和时变时滞的有限域网络的一致问题，给出了多项式形式的判定条件.文献[130] 研究了具有切换拓扑和时滞的有限域网络的一致性问题，并利用有限域趋同矩阵的性质建立了趋同的分布式控制协议.文献[126] 利用矩阵半张量积方法给出了具有切换的有限域网络的一致性的矩阵判定条件，这一条件与之前的结果相比更容易验证.

5.2领导者-跟随者模型考虑有限域Fp上由一个领导者和N个跟随者构成的多智能体系统，领导者的动态方程描述如下：

x0(t+1)=Ax0(t)，

(6)

xi(t+1)=Axi(t)+bui(t)，

(7)

文献[131]研究了有限域上多智能体系统的主从一致问题，利用有限域线性系统理论给出了主从一致的分布式控制协议.文献[132]考虑了具有二阶非线性动力学的领导者-跟随者多智能体有向网络的鲁棒有限时间一致问题.利用矩阵理论，代数图论和有限时间控制方法，给出了使得领导者-跟随者系统在有限时间内实现一致的连续分布式控制设计算法.文献[133]研究了领导者-跟随者多智能体系统的能控性，并说明了领导者-跟随者多智能体系统能控性与图的连通性之间的关系.文献[134]在跟随者系统中引入时滞，并利用矩阵半张量积方法给出了有限域上具有时滞的领导者-跟随者多智能体系统主从一致的充要条件.文献[135]在文献[136]的基础上在领导者系统中引入时滞，研究了领导者系统跟随者系统都有时滞的情况下的有限域上的领导者-跟随者多智能体系统主从一致问题.

6 非线性反馈移位寄存器研究进展

随着网络信息技术的迅猛发展，信息安全不仅对于个人十分重要，甚至可能影响到社会稳定和国家安全.因此，随着人们对信息安全要求的不断提高，密码技术得到了迅速发展.密码学中有两种常见的密码体制：一种是单钥密码体制，一种是公钥密码体制.序列密码作为一类特殊的单钥密码体制，因其具有硬件实现简单、有限的错误传播以及加密和解密速度快的优点，序列密码在军事和外交等领域得到广泛应用.2004年以前，线性反馈移位寄存器是用于序列密码设计的主要序列源生成器，例如日本政府征集的Toyocrypt算法等[137].然而近年来，随着相关攻击[138，139]及代数攻击思想[140]的相继提出，基于线性反馈移位寄存器的序列密码算法面临很大的安全威胁.于是非线性反馈移位寄存器得到越来越广泛的关注[13].

一个带有n个寄存器的Galois型非线性反馈移位寄存器可以被表示为如下n阶非线性方程组：

(8)

其中fi:Dn→D,i∈{0,1,2,…,n-1}是逻辑函数，并且xi(t)表示第i个寄存器在t时刻的值，(x0(t),x1(t),…,xn-1(t))表示Galois型非线性反馈移位寄存器在t时刻的状态.

一个有n个寄存器的Fibonacci型非线性反馈移位寄存器可以表示为如下形式：

(9)

其中xi(t)表示第i个寄存器在t时刻的值，xi(t)∈D，i∈{0,1,2,…,n-1}.

Galois型线性反馈移位寄存器和Fibonacci型线性反馈移位寄存器之间存在一个映射，一个Galois型线性反馈移位寄存器可以产生一个给定的Fibonacci型线性反馈移位寄存器同样的输出序列.对于非线性反馈移位寄存器来说，这个映射不一定存在.近年来，文献[141]利用代数方法研究了Galois型线性反馈移位寄存器和Fibonacci型线性反馈移位寄存器之间的映射，并且给出了一个将Fibonacci型线性反馈移位寄存器转化成等价的Galois型线性反馈移位寄存器的代数方法.文献[142]用矩阵半张量积方法重新解决了这个问题，并给出了一个转化等价的算法.

近年来，随着矩阵半张量积方法的引入，国内外学者对于非线性反馈移位寄存器的研究取得很多优秀的研究结果.文献[143]利用布尔网络方法实现了非线性反馈移位寄存器的线性化，构造的新的状态转移矩阵比现存的更容易计算.文献[144]将这一结果推广到多值非线性反馈移位寄存器的情况.非线性反馈移位寄存器是驱动稳定的当且仅当可达集是吸引盆的子集.由于缺乏有效的代数工具，对具有输入的非线性反馈移位寄存器的驱动稳定性的研究较少.文献[145]将具有输入的非线性反馈移位寄存器看作布尔控制网络来解决这一问题.文献[146]将非线性反馈移位寄存器作为一种特殊的布尔网络，利用矩阵半张量积和逻辑的矩阵表达式，将其动态方程转化为等价的代数方程.在此基础上，提出了一些新的、通用的方法来研究非线性反馈移位寄存器.文献[147]给出了最大长度非线性反馈寄存器的充要条件.

7 开放性问题

近年来，有限值动态系统由于其在基因调控、电路设计、信息安全、博弈论等众多领域中的重要应用而得到国内外学者的广泛关注.针对有限值动态系统的分析与控制这一课题，目前已取得了一系列优秀的研究成果，然而仍有许多问题尚未解决.

首先，有限值动态系统中的基本问题仍需完善.如何将经典线性、非线性系统中的控制方法，如模型预测控制、自适应控制等引入到有限值动态系统的研究中，从而推动有限值动态系统控制理论的发展，是一个重要的研究课题.

其次，利用有限值动态系统理论，文献[148]已实现了对电动汽车的建模.随着人工智能的发展，从数学上对更多智能系统，如无人机，机器人等，进行有限值动态系统建模，将会是未来的研究方向.

再次，对于由逻辑动态系统和一般微分/差分系统构成的混杂系统的研究，目前仅是初步尝试阶段[149，150]，仍有许多问题亟待解决.

最后，代数状态空间方法为利用现代控制理论来研究有限值动态系统奠定了基础.作为代数状态空间方法的主要数学基础，如何进一步完善矩阵的半张量积理论，并将其应用到扩维系统的研究中，是一个有意义的研究课题.