七桥问题

马兆兵

18世纪初，在波罗的海南海岸有一座景色迷人的小镇——普鲁士的哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒），被一条河穿过。河中有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连了起来（如图1）。这里的桥和景色每天都吸引了无数的游客流连忘返。

城中有位聪明、爱思考的少年。一天，这位少年提出了这样一个问题：一个人能否从某地出发，穿过所有桥不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？

问题提出后，很多人对此感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。因而，这个问题在那时成了一道著名的难题，也就是“哥尼斯堡七桥问题”。

1735年，有几名大学生写信给在彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉实地观察之后，认真思考走法，但始终没能成功。

欧拉思考：人们多次失败是否预示着这样的路线根本不存在？该如何说明呢？

欧拉用数学分析法，将其中的四块陆地抽象为四个点A、B、C、D，将陆地之间架设的七座桥梁用线来表示，分别表示为a、b、c、d、e、f、g。经过抽象之后，图1就变成了由点和线组成的图形（如图2），这个图形被称为“欧拉图”。于是，“七桥”问题就转化为是否可以“一笔画”的问题。什么叫“一笔画”呢？那就是笔不准离开纸，一笔画成整个图形，且每一条线只许画一次，不得重复。

接下来，欧拉找到了“一笔画”的规律，并以此规律为判断准则，很快就判断出：要一次不重复地走遍哥尼斯堡的七座桥是不可能的。也就是说，这么多年来，人们费脑费力寻找的那条不重复的路線，根本就不存在。

欧拉的思考方法非常巧妙，也非常重要，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型法”。