具有代数运算的集合构成群的条件

常娟　刘云云

摘   要：近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系，群是一个具有代数运算的代数系。在当今数学界，几乎各门数学课程中都能看到近世代数的影子，所有的数学分支都会用到近世代数的相关知识，经过大量的实践发现，不同的逻辑结构经过一系列的类比，能够产生一个或几个极其简练的由若干公理构成的核心，从而产生了群的定义。本文总结和探讨了具有代数运算的集合构成群的条件。

关键词：群  代数运算  群同態  群同构

中图分类号：0153                                    文献标识码：A                       文章编号：1674-098X（2019）06（b）-0209-02

1  引言

群是一个具有代数运算的代数系， 群的理论是近世代数的一个重要分支，它在物理、化学、信息学等许多领域都有广泛的应用。本文总结和探讨了具有代数运算的集合构成群的条件。

定义：设G是一个具有代数运算的非空集合，如果G关于所给的运算满足：

（1）G的运算满足结合律;

（2）G中有一个元素e （称为G的左单位元），使得对任意的，有ea=a;

（3） 对G中每一个元素a，存在（称为G的左逆元），使得，这里e是G的左单位元。

则称G按此运算构成一个群，简称为群G。

[注] 易证左单位元一定是右单位元;左逆元一定是右逆元。

2   具有代数运算的集合构成群的条件

2.1 定理

设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明：如果G满足结合律，有左单位元

且右消去律成立，则G是一个群。

证  只需证G的每个元素都有左逆元即可。设

则对任意的，在集合中考察元素aia与aja。如果，则由右消去律得，于是i=j。这说明元素a1a，a2a，…，ana是集合G中n个不同的元素。又因为|G|=n，所以

于是，对G中任取的元素a及G的左单位元e，因，所以必有，使得，即e有左逆元ai。

从而由定义1.1知，G为群。

[注] 易证，设G是一个具有乘法运算的非空有限集合。如果G满足结合律，有右单位元且左消去律成立，则G是一个群。

2.2 定理

设G是一个群，G'是含有代数运算的集合。若存在G到G'的同态满射，则G'也是群。

证：不妨设G'的代数运算是乘法运算，是G到G'的同态满射，即

因为是满映射，所以G'中的每个元素都是G中元素的像。

（1）对任意的，都存在，使得

又因为，所以

，即G'中的元素满足结合律。

（2）对于任意的，存在与之对应，且

所以是G'的左单位元。

（3）对于任意的，存在与之对应，且

所以有左逆元。

从而由定义1.1知，G'为群。

[注] 易证，设G是一个群，G'是含有代数运算的集合。若存在G到G'的同构映射，则G'也是群。

2.3 定理

设G是含有代数运算的集合，G'是一个群。若存在G到G'的同构映射，则G也是群。

证：不妨设G的代数运算是乘法运算，是G到G'的同构映射，即

（1） 对任意的

又因为=，所以，即G中的元素满足结合律。

（2） 因为G'是一个群，所以G'中有单位元，设为，则存在G中的元素e在映射下的像为。

因为对于任意的，，即ea=a，所以e是G中的左单位元。

（3）对于任意的，存在与之对应。因为G'是群，所以必存在，使得。

不妨设元素a-1在映射在映射下的像为，则

即a-1a=e，所以a-1是元素a在G中的左逆元。

从而由定义1.1知，G为群。

2.4 定理

设G是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则G构成群的充要条件是对G中每个元素a，在G中都有唯一的元素a*，使得对G中任意元素b，有

证（必要性）：设G是一个群，取a*=a-1，则显然有，又因为在群G中元素a的逆元a-1是唯一的，所以必要性得证。

（充分性）：任取，由已知条件知存在唯一的元素使得对G中的每个元素b都有，则可得a*仅仅只是与a有关，而与其余元素无关（类似x*仅与x有关）。

（1）任取，存在唯一的元素使得对G中的每个元素b都有，所以，即a*a是G的左单位元，不妨设a*a=e。

（2）由（1）得，任取，存在唯一的元素使得a*a=e，则说明唯一的元素a*是元素的左逆元。

从而由定义1.1知，G为群。

参考文献

[1] 张元康，齐雪.群的定义详解与经典例题探讨[J].科技经济导刊，2018，26（32）：129-130.

[2] 韩士安，林磊.近世代数[M].2版.北京：科学出版社， 2009.

[3] 张天德，刘红星.抽象代数习题精选精解[M].第1版.山东：山东科学技术出版社，2014.