“新知”遇上“旧知”：引导学生想通想透——从一篇学生写作说起

江苏省海安市海陵中学 吴 晶

一、从一篇学生习作说起

这是笔者所带班级在初学一元二次方程后，安排学生所写数学周记，从中收集的一篇优秀学生写作.

当一元二次方程遇上线段

小柯（学生化名）

从小学开始，我们便与线段打交道，有关线段的问题更是数不胜数，那么，当线段遇上一元二次方程时又会擦出什么样的火花呢？下面，我将用一道例题和大家探讨一元二次方程与线段的关系.

问题：如图1，线段AB的长为1.

图1

（1）线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度.

（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度.

（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度.

解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x.

因为AC2=BC·AB，所以x2=1×（1-x）.

整理得x2=1-x，解得（不合题意，舍去），所以AC的长度为

类似的，可设AD=x，则CD=AC-x.

因为AD2=CD·AC，所以x2=AC·（AC-x），则x2+AC·x-AC2=0.

经整理发现：AB∶AC=AC∶BC.我在网上检索了一下这种奇异的性质，发现这是一种“黄金分割”的概念，也就是若线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.据网上介绍，黄金分割在大自然界、动植物、艺术、建筑等领域有着非常广泛的存在.看来当一元二次方程遇上线段之后，又得到了线段的一个奇异性质“黄金分割”，数学的世界真是博大、美妙，有待我们进一步探索和发现.

简评：小柯同学这篇数学写作关注了线段“黄金分割点”问题，运用新学一元二次方程的工具研究了这个新的概念.小文章的标题中有关键词“遇上”，这个“遇上”是值得一说的.因为数学来源于生活，抽象于生活，并获得了一种数学活力，继续生长，不断扩张，几千年来，越来越多的数学概念被创造（发明）或发现，而运用这些新的数学概念或新的数学工具解决（有时换一种视角进行再认识）一些“旧问题”或“经典问题”，往往就能获得更多、更新及更有深度的认识和理解.

二、初中数学“新概念”遇上“旧概念”的案例

由学生提到的一个新概念遇上之前的旧概念，引发我们思考在初中阶段的很多类似案例，下面列举一些案例，供研讨.

案例1：“新的运算”遇上“运算律”

初中阶段数系进一步扩充，从七年级一开始就引入负数，数系扩充到有理数范围，在有理数的一些相关概念（如相反数、数轴、绝对值等）学习之后，就是学习有理数的运算，有理数的加、减、乘、除、乘方运算都有各自的运算法则，都不同于小学阶段的整数和分数的运算法则.然而它们遵循一个共性——“运算通性”（加法交换律、结合律，乘法对加法的分配律）.这就是说，当一类新数（或式）的运算引进之后，先讨论了它的运算法则，接下来还需要灵活运用“运算通性”（运算律）进行简化运算，这也就使得运算不只是机械、死算，而是需要“相机行事”和智慧决策.在初中各个阶段教学进程中，要注意向学生传递数式运算的研究路径：数式的概念及相关概念→数式的运算→灵活利用“运算通性”简化运算.

案例2：“平行”遇上“平分”

七年级图形初步认识学习时，往往对几何的基本图形直线、射线、线段研究之后，就重点学习“角”.而与角相关的一个要素或概念就是角的平分线，对角的平分线的研究只涉及它的定义、性质（由定义得到的性质）.当后续继续学习平行线之后，在同一个图形中，角平分线往往会与平行线相遇，这时就会得到基本图形（如图2），AB∥CD、AD平分∠CAB.一定有∠CAD=∠CDA.

图2

图3

七年级平行线学习之后对这类问题要重视从正、反角度进行变式训练，上述3个条件可以帮助学生总结出“知二推一”.因为这种基本图形很容易在八年级等腰三角形中得到进一步的应用.比如给出图3，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，可以安排学生证明DE=BD+CE，或者给出AB、AC的长，求△ADE的周长.我们一直强调要从学生已有经验出发，从学生最近发展区出发，如果能多重视之前学习路上一些经典问题，则学生往往会有一种亲切感，并且运用新知识之后可以获得对原有问题更加深刻的理解.

案例3：“完全平方公式”遇上“非负数”

在七年级引入负数之后，数系很快扩充到有理数、实数，并且随着相关概念如绝对值、乘方的出现，有一类“非负数”的概念常常出现，并且在不少解题中作为关键步骤需要攻克.这里应用较多的关于非负数的性质就是：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，比如|x-2|+（y+5）2=0.

到了学习整式乘除与因式分解之后，又出现了完全平方式这个重要概念，形如y2+10y+25的式子可以分解为（y+5）2，称这样的二次三项式为完全平方式.类似的，可以得到：如果几个完全平方式的和为0，则它们都为0.所以，在学习完全平方式之后常常有类似的练习，比如，已知△ABC的三边分别是a、b、c，且它们满足等式2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，试判断△ABC的形状.

案例4：“二次函数”遇上“根的判别式”

学习一元二次方程的解法时，通过配方法演算出求根公式法，根据配方法的限制条件可知，在启动代入公式运算之前，要先计算出根的判别式（b2-4ac）的值，为后续求解提供关键一步，因为随着根的判别式取值的正、0或负，一元二次方程在实数范围内解的情况就能得到确定.二次函数的学习，是引导学生进一步理解数形结合的好机会，比如，二次函数y=ax2+bx+c的图像是抛物线，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的探究往往对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数解问题，可以利用根的判别式进行演算分析，从而把抛物线的图像问题用数式进行理解，也就是所谓“以数驭形”.

案例5：“锐角三角函数”遇上“特殊直角三角形”

初中阶段三角函数安排在最后一学期才接触，并且只是涉及非常简单的锐角三角函数，又是基于直角三角形进行定义和研究的，初中阶段对锐角三角函数的学习与研究非常依赖特殊直角三角形，比如含30°或含45°的直角三角形，也就是学生画图工具中的一个三角尺形状的三角形.另外，还有一些特殊形状的直角三角形（如两条直角边之比是1∶2，或两条直角边之比是1∶3，还有两条直角边之比是3∶4等）也值得重视.教学时可引导学生对此前已接触的一些特殊直角三角形，从三角函数的边角关系的视角出发进行研究和理解.从目前应试指导的现实考虑，要引导优秀学生摆脱过分依赖勾股定理求边长的方法，而要善于基于锐角三角函数的角度利用边角关系直接“看”或“读”出这些特殊直角三角形中相关线段的长.

三、结束语

李大潜院士曾说数学学习要让学生感受到一种愉悦感，并且认为这种愉悦感应该来自数学在发展过程中对之前一些疑惑问题的释然.比如，小学阶段用算术解法处理鸡兔同笼问题是“超级难题”，但是到了初中七年级运用一元一次方程可轻松解决，可以引导学生体会其中的愉悦感，感受到数学发展、工具引入的优越感.我们在上面由学生的一篇习作出发，思考了初中阶段一些新知“遇上”旧知的案例，并不全面，也不一定准确，敬请批评指正.