从思路解析到“一题一课”：考题研究的追求——以2019年河北省中考卷第25题为例

福建省厦门市同安区教师进修学校 杨建强

较难的中考综合题讲评时往往需要精心预设，将其作为“一题一课”来研发.这就要求我们在研习各地优秀考题时要注意深入进行解析与教学构思，而不是“分离”开来.本文结合2019年河北省中考卷第25题，先给出思路解析，再构思“一题一课”的铺垫设问，供研讨.

一、考题及思路解析

考题：（2019年河北第25题）如图1和图2，▱ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=.点P为AB的延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x.

（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；

图1

图2

（2）如图2，当x=4时，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小；

（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.

思路解析：（1）当圆心O落在AP上时，CP⊥BP，可利用Rt△CBP中推知的和BC=15这两个条件，解出x的值为9（善于利用“3，4，5”三角形的边角关系能快速读取解答）.此时PE与BC的位置关系是互相垂直.

（2）①先求∠CAP的度数.如图3，过点C作CK⊥AP于点K.

②再求弦AP与劣弧PQ的长度并比较它们的大小.弦AP的长度直接可知，即AB＋BP=7，主要在于求劣弧PQ的长度.要求弧长，就涉及半径和所对圆心角，连接OP、OQ，弧PQ所对圆心角为∠QOP，∠QOP的度数为弧PQ所对圆周角∠QAP的2倍，即90°.如图3，过点O作OH⊥AP于点H.可证得利用，可求出半径OP的长为所以劣弧PQ的长度为比较可得所以弦AB较长.

图3

图4

（3）⊙O与线段AD只有一个公共点，且⊙O一定过点A，说明与线段AD的一个交点就是A.点P可以看作在线段AB的延长线上向右运动，起点是B，随着点P往右移动，圆心O从AP的上方下降到AP的下方，⊙O与直线AD的交点也从2个变为1个再变为2个.其中⊙O与直线AD相切时，如图4，△APQ、△BCP都是等腰三角形，作CK⊥AP于点K，由前面求解经验可知CK=PK=9，于是x=18.点P继续向右运动，交点再次变为2个，并且另一个交点落在线段DA的延长线上，也就是符合与线段AD只有1个公共点.综上，x≥18.

回顾反思：本题综合圆与三角形、四边形，主要考查平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形、三角函数、弧长计算等.第（1）问比较基础，难度不大.第（2）问的主要难点在于求圆的半径，解题的关键在于构造相似三角形，可以看出此处互相垂直的OP和PC与HK组成了常见的相似三角形的基本图形（简称“K型”，如图5）.而第（3）问的难点在于构图分析，要构造出符合要求的等腰三角形进行分析，有助于快速“看出”答案.这大概也是命题组将这一小问设置成“直接写出答案”的意图，即让思维层次高的学生可以通过洞察问题结构，直接看出答案.当然，这里“算法简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价”（史宁中教授语）.

图5

图6

二、围绕考题的“一题一课”教学设计

教学环节（一） 铺垫设问，拾级而上

例1如图6，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.点P为AB的延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x.当圆心O落在AP上时，⊙O的半径是多少？

教学预设：这是上面考题的第（1）问，“单独”列出来让学生先想清辨明，教学时通过恰当的追问使得更多学生都理解清楚，有利于继续向后续问题前进.

教学环节（二） 变式跟进，成果扩大

例2如图7，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.点P为AB的延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x.当圆心O落在AP上方时，你能不能用含x的代数式表示出⊙O的半径？

图7

图8

教学预设：已知△CBP中两边长，要求圆的半径，连接OP.由于已知的两边长之比不是熟知的特殊角的边角关系，所以不太方便直接使用边的关系得出角度.而考虑到本题是圆与三角形的综合题，要注意使用圆中特殊角度，尤其是隐含的直角（往往是直径所对的圆周角）.如图8，连接OP，∠OPC=90°，过点C作CK⊥AP于点K，过点O作OH⊥AP于点H，可以构造出一对相似三角形.在Rt△CPK中，CK=12，PK=BK-BP=9-x.在Rt△OPH中，，根据相似三角形的性质，可以用含x的代数式表示出OP，即为圆的半径.

变式追问：如图9，当圆心O落在AP下方时，用含x的代数式表示出⊙O的半径.

图9

图10

教学预设：随着点P继续在AB的延长线上向右移动，点O落在了AP下方，但是题目内在联系依旧存在，仍然可以构造出一对相似三角形，充分利用相切这个条件.如图10，连接OP，∠OPC=90°，过点C作CN⊥AP于点N，过点O作OM⊥AP于点M，可以构造出一对相似三角形.在Rt△CPN中，CN=12，PN=BP-BN=x-9.在Rt△OPM中，MP=（3＋x）.根据相似三角形的性质，可以用含x的代数式表示出OP，即为圆的半径.

教学环节（三） 考题呈现，独立挑战

呈现上文“考题”，学生可以在以上铺垫问题的启示之下独立挑战，再全班交流讲评.

三、进一步的思考

较难题的讲评需要在教学讲评之前精心预设，这里的精心预设不只是教师本人贯通思路、获得解答，而且需要在此基础上思考“一题多解”，并善于比较和优化不同思路，明确哪些方法或解题路径是最优路径，然后研判学情，明辨学生可能的难点、障碍点、易错点，在这些基础上预设出一些铺垫式设问，帮助学生理解题意并启示学生独立探索解题思路，一些启发式设问都可成为学生以前“自我发问”的思考出发点，比如，“题中有哪些条件”“题中哪些条件是确定的，并能带来点、图形位置的确定”“图中哪些条件是不确定的，对应着哪些点是运动的，哪些线或图形的位置是不确定的”“随着问题的深入，图形在不同位置状态下有哪些状态是特殊位置关系”，等等，这些设问都能帮助学生获得思路或校正思考方向，有助于最终解答.事实上，通过精心预设的解题教学，最终要达到“教，是为了不教”，也就是“通过解题，学会解题”.