把握数学概念本质，促进学生深度体验

冯小辉

摘要：数学概念教学实“双基”教学的核心，一切数学教学都基于概念产生，因此把握数学概念本质，既是促进学生深度体验，又是实现对数学知识与方法更高程度的理解。本文以《函数的单调性》的概念教学案例让学生真正经历函数单调性概念化的过程，并对学生的有效深度体验进行分析，真正促进学生对概念本质的理解与反思，以实现体验向高层次的转化，从而探究出数学学科背后所反映的知识、方法、态度、价值观“产生情感且生成意义”，提高了学生数学的学科素养。

关键词：数学概念    核心问题    深度体验    反思

概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。高中数学人教A版的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”我认为，这应该成为概念教学的基本指导思想。数学课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”。从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应该包括两个方面：一是知识的逻辑顺序自然;二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然。“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合。在引导学生展开对数学相关概念的学习过程中，主要强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，适时恰点地“以问题引导活动”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果。^[1]

学校二十年磨一剑的核心问题教学更是提出概念课教学研究的着眼点不只在于对文本数学知识意义的理解与掌握，而是在获得对数学概念本质理解和掌握的同时形成学生在活动体验基础上的学习，更需要着眼于数学学科教育的特点和目的，在获得知识与方法的背后以实现体验向高层次的转化，实现教学的结果性目标与体验性目标获得更高达成度的教学活动规范形式。笔者采用核心问题教学的提出问题——解决问题——反思提升——运用反馈四个环节^[3]进行了《函数的单调性》进行概念教学，下面就以本节课为案例，促进数学课堂上的深度体验进行剖析。以下是课堂实录片段：

一、课堂实录

数学概念课首先对教师就需要深挖概念的本质，需要创造性地使用教材，也就是深刻理解教材，教什么比怎么教更重要，要教数学这就要求教师自己先理解好数学：了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的“多元联系表示”，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性精神等情感、态度、价值观资源。本节课从温度变化图、股票价格走势图让同学们初步体验到生活中有许多数据变化规律的例子，而且贴近生活，视角新颖，并与学生生活实际和思维水平密切关联，学生能很快进入对“图象”的描述。而从函数的观点看，它反映的就是函数值随自变量的变化在变大还是变小，同学们在初中对这种函数的性质就有一定的认识，但没有严格的定义，这就能激发内在的缄默知识显现，此时就需要一个核心问题来调动，激发学生自主探究的热情，顺理成章的给出核心问题：“请任画一个函数图象，用符号语言描述其函数值随自变量变化的增减规律。” ^[4]

（一）恰当的核心问题是促进学生理解数学概念的基石

核心问题前半节：“请任画一个函数图象”，学生都能画一些一次和二次函数图象探究，学生个体能够亲身经历，就有了体验，就会引起感觉，这就达到了体验的最低层次—经历。

核心问题后半节：“用符号语言描述其函数值随自变量变化的增减规律。”学生脑海中自然就会闪现出用图象研究函数性质的缄默知识与思想方法，从而引起一连串的思考：“所画的图象特征是什么”，“图形特征如何转化自然语言”，“自然语言如何转化数学符号语言”，这就是学生亟需解决的客观问题，过程中让学生经历特殊到一般，从具体到抽象概括出增（减）函数的定义，真正体会到了三种语言在转化中的关联，产生了新旧知识的关联，进一步让学生进行了思维深层次的体验，把所有的感觉，情感融入图象的情境中，这是一种具体的体验，具体的体验就促进了学生深度体验，形成了知识方法的表象特征打下了坚实的基石。

这样的核心问题力求使学生了解函数单调性概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的课题。这实际上学生对概念的深度体验就是靠学生亲身去践行，处在情境中感受的一个过程，那么就要一个主线引领学生去践行，从上面核心问题的定义与表达要求，完成核心问题的过程就是学生体验的过程，同时，更为重要的，本节课的核心问题前后两半节就是相互关联的，关联的体验就调动了学生的多种器官，激发他们的情感，由此学生完成核心问题的过程就是进行关联体验的过程，教师也忘掉“结论性的知识”，亲身体验知识的发展轨迹，体验知识的成长过程与成长方法。

（二）深度体验促进学生理解数学概念化过程的催化剂

在引导学生展开对函数单调性概念的学习过程中，主要强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，适时恰点地“以问题引导活动”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果。

课堂上学生在理解核心问题之后，大多数同学能作图一次、二次、反比例、分段函数，能作出这些类型的函数比如（1）（2）（3）（4）……等等，學生在画图的过程中，能够从图形的走势来理解函数的单调性，形成形象化的视觉经验。教师通过展示学生作的图，提供丰富的感性材料，让学生从图形语言体验函数单调性的概念。学生能从图象直观感知函数单调性，再用自己的语言表达出来，用自然语言（文字语言）表达自己对函数单调性概念的理解。同时也间接提供了判断函数单调性的方法——图象法。在实施过程中学生能够用最直接浅显的语言：“从左向右看，如果函数在某个区间上图象上升，称函数在该区间上为增函数;如果函数在某个区间上图象下降，称函数在该区间上为减函数”，或者“从左向右，若图象成上升趋势，称函数为增函数;从左向右，若图象成下降趋势，称函数为减函数”来描述所理解的增函数和减函数。

学生小组交流讨论后，对具体函数表达了探寻的本质属性后，笔者引导学生回顾学习过程，要求学生从具体函数单调性的定义，迁移到一般意义的函数，抽象概括出增函数准确的定义（符号语言），然后类比得出减函数的定义。由于有了具体函数的单调性定义，学生能够很容易得到一般意义上的单调性定义：对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量，都有，称为该区间上的增函数;若都有，称为该区间上的减函数。至此学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，生成对抽象函数单调性的符号语言上的认识。

本节课，师生对对所探究了函数单调性的来源、成长过程与成长方法、本质与结构等有着透彻的认识。课堂上思维的碰撞不仅是师生之间与生生间智慧的交锋，更是学生与学生，老师与学生情感的沟通，达到了“产生情感而生成意义”的体验性目标，进一步促进了学生心灵深处的深度体验。

（三）反思提升是促进学生概括概念本质的升华

数学概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。

在反思提升环节，教师还要适时适切的引导学生概括出知识中蕴含的思想方法和探究知识的思维方法：①函数的图形语言、文字语言、符号语言的等价转化.②特殊到一般的思想方法.③直观到抽象.④数形结合.⑤类比等。笔者根据学生具体情况，通过符号语言的转化，促进学生对函数单调性的深度体验（差商理解）。用差商描述“时，” ， 将基于的大小关系来讨论对应的的大小关系的方法转变成了一个统一的差商式子與0比较的关系。差商的结果不仅可以用来判断函数的增减性， 而且可以反映关于的变化率。它还有明显的几何意义，为以后的导数理解做好铺垫。

这样让学生“既形成了知识又有数学思想方法，将核心问题解决问题中涉及的关联体验进一步提升，这样本节课又上升了一个层次，上升到形—数—形的关联，体验三种语言间的关联。

（四）结果性与体验性目标的达成更是促进学生对概念理解的内化

学生经历了数学概念的生成过程，我们需要对概念的理解进行内化，可以从三个方面进行。一是进行概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）;二是概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤;三四概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。^[2]本节课的最后，在运用反馈环节侧重检测学生深度体验图形语言、自然语言及符号语言在相互转化中的关联情况。选取了生活的应用举例进行课堂检测：

学生将自己探究出的数学知识与方法解决来实例，让学生将三种语言在转化中的关联应用，反思解题思路，再次深度体验到定义证明函数性单调性的步骤，让学生有一定的成就感，学生不仅实现了体验性目标的达成，也完成了本节课的结果性目标，最终内化成自己的数学知识方法，逐渐形成了学生内在的缄默知识，也为以后的课堂探究函数的其他性质做好了铺垫。实际上是辨析、运用、“精致”函数单调性的概念。

二、课后教学反思

李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”课后笔者认真进行了，数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要。但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程。^[1]结合本节课的核心问题数学，认识到概念教学促进学生深度体验的实质就是是理解数学、理解学生、理解教学，它是一个多侧面、多层次、无止境的过程

第一，理解数学，是指对所教数学知识的来源、成长过程与成长方法、本质与结构等有着透彻的认识。即对数学知识既“知其然”，也“知其所以然、所以不然”，知其“来自何处、去向何方”，知其本质、结构与教育价值。以核心问题教学促进理解数学的实质是把静态的、成熟的、不利于学生接受和消化的学术形态的数学转化为动态的、发展的、更利于学生接受与消化、更富营养的教育形态的数学。

第二，理解学生是指教师清楚学生的认知起点;清楚学生已有认知结构与新知识之间的潜在距离;清楚学生的认知障碍;清楚学生的认知规律;清楚不同学生间的认知差异。以核心问题教学促进理解学生的实质是教师准确地把握学生学习的基础、潜能、需求、困难与差异，为以学定教、以导促研提供准确的信息与依据。

第三，理解教学是指教师清楚教学的本质与功能，掌握一定的教学方法与教学艺术;清楚学生的认知规律和教学的基本原則，能够把教与学作为有机的、相互促进的整体来加以处理;清楚数学的教育价值，能为不同的学生提供不同的数学;清楚将不同类型的知识用不同的方式呈现给不同学生的策略与方法。以核心问题教学促进理解教学的实质是以研定导，以导促研，实现教育价值与效益的最大化。

总而言之一定要重视概念教学，数学核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”。这是因为“数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材。在恰当核心问题的的数学概念教学中，课堂上，学生感觉不是老师在灌输知识，而是同学亲身体验探究出新的知识与思想方法，获得了丰富而深刻的体验，不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是让他们从中体验概括数学概念的心路历程，领悟用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力，进一步体会数学学科背后所反映的知识、方法、态度、价值观“产生情感且生成意义” ，在数学概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目，那么数学知识思想方法都能在潜移默化中形成，从而促进学生的深度体验，培养了学生的创新精神和实践能力进一步提升师生自我的数学学科素养。

参考文献：

[1]张峰《浅谈新课标下的高中数学概念教学》[J].《江苏教育学院学报》

[2]张富培《浅谈素质教育形势下的高中数学概念教学》[J].《教育科学研究杂志》

[3]周光岑《核心问题教学研究》.电子科技大学出版社

[4]周文良《核心问题教学的深度体验实践研究》.电子科技大学出版社