准同步DFT谐相角的线性修正算法

傅中君 王建宇 欧云 周根元 白凤娥 赵小荣

摘要：针对准同步DFT谐波分析方法在信号频偏时的短范围泄漏问题，研究准同步DFT谐相角的线性特性，建立准同步DFT谐相角与信号频偏率、谐次、迭代次数之间的线性修正模型，给出了准同步DFT谐相角的线性修正方法。该方法首先根据相邻采样点之间的基波相角差只与信号频率和采样频率相关的原理来测量信号频偏率，再按照只与信号频偏率、谐次、迭代次数相关的谐相角线性修正公式对准同步DFT的谐波分析结果进行修正。实验表明准同步DFT谐相角线性修正算法能够有效抑制短范围频谱泄漏，在较宽信号频偏范围内获得高精确度的谐相角分析结果。

关键词：谐波分析;准同步DFT;频谱泄漏;谐相角;线性修正

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.014

中图分类号：TM 935

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2019）09-0108-07

Linear correcting algorithm for quasi synchronous DFT′s  harmonic phase

FU Zhong jun1，2，WANG Jian yu2，OU Yun3，ZHOU Gen yuan1， BAI Feng e1，ZHAO Xiao rong1

（1.School of Computer Engineering，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001， China;  2.School of Automation，Nanjing University of Science & Technology， Nanjing 210094， China;  3.Changzhou Foreign Languages School， Changzhou 213001， China）

Abstract：

Aiming at the short range leakage problem of quasi synchronous DFT （QSDFT） harmonic analysis method when signal frequency deviated， the linear characteristics of QSDFT′s harmonic phase angle were studied， and linear correction model between QSDFT′s harmonic angles and signal frequency deviation rate， harmonic order and iteration number were established. Furthermore， the linear correction method of QSDFT′s harmonic phase was given. Firstly， the signal frequency deviation rate was measured by the principle that the fundamental phase angle difference between adjacent sampling points is only related to the signal frequency and the sampling frequency. And then， the harmonic analysis result of QSDFT was corrected through the phase linearity correction formula. Simulation and experiment results show that this proposed algorithm can increase the accuracy of harmonic phase efficiently in the wide frequency range by minimizing short range spectral leakage.

Keywords：harmonic analysis; quasi synchronous DFT; spectral leakage; harmonic phase; linear correction

0引言

諧波分析技术能够把复杂信号分解成简单周期信号来认识事物的本质，因此它在电能质量监控、电子产品生产检验、电器设备监控等众多领域应用广泛。谐波分析的主要参数有谐幅值、谐相角两个，通常谐幅值应用较多，但是在应用谐波法进行相位测量的场合同样需要高精度的谐相角参数。在工程应用中，最常用的谐波分析方法是离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）和快速傅里叶变换（fast Fourier transformation，FFT）。进行谐波分析时，总是有限点的采样和难以做到严格意义的同步采样，这样，在应用DFT和FFT进行谐波分析时就会存在由于截断效应导致的长范围泄漏以及栅栏效应导致的短范围泄漏，使得分析结果精度不高，甚至不可信。通常情况下，采用加窗插值修正算法来抑制频谱泄漏。

文献提出了一种新的解决思路——准同步DFT（quasi synchronous DFT，QSDFT），其核心思想是：将准同步采样算法和DFT相结合，通过多次迭代运算以梯形法或其他积分法求面积和抵消非同步采样造成的误差。准同步DFT具有采样长度短、算法简单、系统开销小、程序易于实现等技术优势，并且信号频偏频率测量精度高，但是准同步谐波分析算法对信号频偏导致的短范围频谱泄漏抑制不足，即信号频偏时尤其谐相角的分析精度不高，需要进一步的完善。目前常用的改进方法有参数自适应准同步采样算法、周期点数修正法、锁相环技术、最小二乘法等，但是以上方法都不能完全有效地抑制准同步DFT的频谱泄漏。文献在准同步DFT 谐波分析算法的基础上，提出了一种基于非整数波概念的谐波分析算法，该算法可以获得极高精度的谐波分析结果，但是需要两次迭代运算才能获得分析结果，不适合进行实时运算。

准同步DFT采用多次迭代的积分方法来抑制频谱泄漏，导致准同步频谱函数极为复杂，也就无法通过反演来推导精确的、能够适应不同频偏情况的修正算法。本文避开准同步谐波分析算法反演推导修正的难点，在总结仿真实验规律和进一步理论证明的基础上获得准同步DFT信号频偏与谐相角误差之间的关系函数，并根据这个函数规律给出了准同步DFT谐相角的线性修正算法（phase linear correcting algorithm for QSDFT，QSPLCA）。仿真和应用实验表明，该方法正确有效。

1准同步DFT算法分析

1.1准同步DFT

设一周期信号

f（t）=A0+∑Mk=1Aksin（2πkf1t+φk）。（1）

式中：fs=1/Ts为采样频率;f1=Ts /N为f（t）频率;N为周期内采样点数。对其在区间内按fs进行等间隔采样W+1次，获得采样数据f（i）。

对采样获得的数据f（i）按式（2）进行运算可以获得k次谐波的实部ak和虚部bk。

ak=2Fnak（j）=

2Q∑Wi=0γif（i+j）cos（k2πNi），

bk=2Fnbk（j）=

2Q∑Wi=0γif（i+j）sin（k2πNi）。（2）

式中：j为运算起点，一般为0;n为迭代次数;W由积分方法决定，例如复化梯形积分方法W=nN;γi为一次加权系数;Q=∑Wi=0γi，为所有加权系数之和，W=nN时Q=（N+1）n。

1.2准同步DFT对长范围频谱泄漏的抑制

在谐波分析中，所要处理的信号一般为采样和A/D转换后得到的数字信号。也就是说，进行谐波分析的信号相当于对无限长的信号做了持续时间为T=NTS 的截断，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象（图1）。

应用准同步谐波分析算法进行谐波分析时，基于准同步采样的收敛作用，离散谱线的主瓣将加宽，旁瓣被抑制。图1还分别给出了迭代次数为n=2、4、8时的离散频谱，随着迭代次数的增加，主瓣逐渐收敛，旁瓣抑制越发明显，能量趋于集中。当n=4时，旁瓣已经基本被抑制;n=8时，主瓣已经收敛到各次谐波泄漏的能量相互之间影响极其微小的程度。从这个角度讲，准同步采样是一个良好的窗函数，对长范围泄漏的抑制作用明显，所以有时也称之为准同步窗。

1.3信号频偏对准同步DFT的影响

实际测量中，受采样时钟精度、采样时钟整数倍误差、信号频率漂移等多种因素的影响，采样过程难以做到严格的整周期同步采样，而其中信号频率的漂移是造成短范围泄漏的主要原因。理论上说，基于多次迭代收敛特性的准同步DFT对频率漂移所造成的短范围泄漏具有一定的抑制作用。但是在实际应用中，准同步DFT对短范围泄漏的抑制作用并不明显，图2给出了当信号频率从49.5 Hz到50.5 Hz漂移时应用准同步DFT算法（迭代次数n=8）对式（3）所产生的波形进行谐波分析所产生的误差。

f（t）=∑7k=0A2k+1sin[（2k+1）ωt+φ2k+1]。（3）

式中：A2k+1、φ2k+1均为任意给定。

通过图2可以看出，准同步DFT算法的谐相角除了50Hz时其余均误差极大，基本不可信。因此准同步DFT算法只能应用在信号频偏较小、对幅值精度要求不太高的场合，并且基本不能应用于谐相角分析的场合。

2准同步DFT算法分析谐相角误差的线性特性

为了分析准同步DFT谐相角误差影响因素和规律，进而得到谐相角误差的关系函数，首先从理论上来探讨准同步DFT谐相角误差的线性特性，进而设计了一系列的实验来考察准同步DFT谐相角误差与信号频偏、谐次、迭代次数、采样点数等之间的相互关系。

2.1准同步DFT谐相角的线性误差特性

由文献可知，当N>（2+Nf/fS）、fS/N>2M|f|、n>4时，有

Fnka≈（γkk）nAksin（2πf1NTsCn+φ′k），

Fnkb≈（γkk）nAkcos（2πf1NTsCn+φ′k）。（4）

式中：f为信号频偏;M为最大谐次;

Cn=i0N+n1212N;（5）

γkk=1Nsin（πfNTs）sin（πfTs）。（6）

即

φnk=tg-1FnkaFnkb≈φk+C。（7）

式中：C為与信号频偏f、迭代次数n和谐次k等相关的常数。

式（7）表明，各次谐波的谐相角分析结果与真实值之间存在线性关系。但是文献并未给出常数C的确定方法，因此无法直接应用该结论进行谐相角修正。

2.2准同步DFT谐相角误差与信号频偏之间的关系

为考察准同步DFT的谐相角绝对误差与信号频偏之间的关系，选择n=8、N=128，分析信号为f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意的正弦信号，谐相角绝对误差与信号频偏之间的关系如图3。

由图3可知：（1）谐相角绝对误差和信号频偏之间存在线性关系;（2）信号每频偏0.1 Hz谐相角偏差2.88°。

2.3准同步DFT谐相角误差与谐次的关系

为考察准同步DFT的谐相角绝对误差与谐次之间的关系，选择n=8、N=128，分析信号为f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意、谐次为1～15次的信号，考虑信号的周期性，谐相角绝对误差与信号谐次之间的关系如图4。

由图4可知：（1）不同频率下谐相角绝对误差和谐次之间存在线性关系;（2）各次谐相角绝对误差=基波谐相角绝对误差*谐次。

2.4准同步DFT谐相角误差与迭代次数的关系

为考察准同步DFT的谐相角绝对误差与迭代次数之间的关系，选择n=4～8、N=128，分析信号为f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意的正弦信号，谐相角绝对误差与迭代次数之间的关系如图5。

由图5可知：（1）不同频率下谐相角绝对误差和迭代次数之间存在线性关系;（2）各次谐相角绝对误差随着迭代次数的增加而成倍数增加。

另外，仿真实验还表明常数C只与信号频偏f、迭代次数n和谐次k相关，与采样点数N等其他参数无关，限于篇幅不再给出实验数据。

3准同步DFT谐相角的线性修正算法

3.1线性修正公式

定义：信号频偏率μ为信号频率的漂移程度。

μ=Nf1/fs。（8）

显然，信号频率无漂移时μ=1;信号频率漂移时，μ≠1。

综上，准同步DFT谐相角与信号频偏、迭代次数n、谐次k之间存在线性关系。结合实验数据分析，可以得出准同步DFT谐相角的线性修正公式

φk=φnk+C=φnk+kn（1-μ）π。（9）

式中：C=kn（1-μ）π。

3.2信号频偏率

由式（4）可得

Fn1a≈（γ11）nA1sin（2πf1NTsCn+φ′1），

Fn1b≈（γ11）nA1cos（2πf1NTsCn+φ′1）。（10）

对于从第i个采样点进行准同步DFT谐波分析，其基波初相角φ1 （i）为

φ1（i）=tg-1Fn1a（i）Fn1b（i）=

2πfNTsiN+n12-12N+φ′1。（11）

那么，对于两个相邻采样点，其基波初相角差为

φ1（i+1）-φ1（i）=2πf1/fs。（12）

工程应用时，可以从i=0和i=1两个起点应用式（2）进行计算获得两个相邻采样点的基波初相角φ1 （0）和φ1 （1），然后计算出μ。其算式为

μ=Ntg-1Fna1（1）Fnb1（1）-tg-1Fna1（0）Fnb1（0）2π。（13）

基于准同步DFT谐相角误差的线性特性，相邻采样点之间的基波相角差只与信号频率f1和采样频率fs有关。

3.3线性修正算法

线性修正算法的分析过程包含5个步骤，具体如下：

1）采样W+2个数据（W由积分方法决定）。标准的准同步DFT算法需要采样W+1个数据，由于需要从j=0和j=1两个起点进行谐波分析，所以需要增加一个采样点。

2）从j=0应用式（2）计算Fna1（0）和Fnb1（0）;

3）从j=1应用式（2）计算Fna1（1）和Fnb1（1）;

4）应用式（13）计算信号频偏率μ;

5）应用式（9）计算各次谐波的谐相角。

4实验

为了验证改进算法的有效性，对式（3）产生的波形进行谐波分析。信号频率漂移的范围为49.5～50.5 Hz、幅值和谐相角任意，并按照fs=6 400 Hz、N=128、迭代次数n=4、6、8进行采样。

4.1信号频偏率的仿真结果

线性修正算法的分析精度直接依赖于信号频偏率μ的分析精度。表1给出了改进算法下μ的仿真结果的相对误差。仿真结果表明可以获得极高分析精度的μ。

4.2谐相角的仿真结果

限于篇幅，本文只给出线性修正算法下的谐相角绝对误差图（图6）。n=4时，最大相角误差=-0.004 912 235（°）;n=6时，最大相角误差=-5.580 0×10-6（°）;n=8时，最大相角误差=-2.544 8×10-8（°）。

对照图2和图6，可以得出以下结论：

1）线性修正算法获得的谐相角具有极高的分析精确度。

2）迭代次数对分析精确度有较大的影响。迭代次数每增加1次，分析精确度几乎可以增加一个数量级。系统开销允许的情况下选择更高的迭代次数，线性修正可以获得更高精确度的分析结果。

3）随着信号频率的漂移的增加，谐相角的分析误差会增加。

4）高次谐波的谐相角分析精确度略低于低次谐波的分析精确度。

5应用

为验证方法的可行性，应用本文方法到容性设备在线监测装置JCQ-5中（图7）。容性设备是电力系统非常重要的运行设备，为评估其当前运行状态，通常需要在線监测它的电流i、介损角或者介损因子tg。其中

=2π-（φi1-φu1）。（14）

式中：φi1是i的基波初相角;φu1是u的基波初相角。

JCQ-5包含4个部分：电压/电流互感器、信号调理电路、同步ADC AD7606和CPU STM32F103。JCQ-5装置分别同步采样i和市电信号、u，采样频率fs=6 400 Hz、N=128、迭代次数n=8。然后计算相对于市电信号的相位差φi1和φu1，最后汇总计算和tg。

作为比较，分别嵌入FFT、QSDFT和QSPLCA谐波分析算法到JCQ-5中测量，持续记录72小时的数据进行分析。它们的具体表现见表2。

表2表明：QSPLCA谐波分析算法相对于QSDFT和FFT而言具有较大的优势。

6结论

准同步DFT谐相角线性修正算法不需要增加系统的硬件成本，而且只用较少的采样点数就能够达到极高的谐相角分析进度，相对而言具有以下优势：

1）准同步DFT谐相角线性修正算法弥补了准同步DFT算法的对于短范围泄漏抑制不足的缺陷，放宽了准同步DFT对于同步采样的要求，显著提高了各次谐波的谐相角分析准确度。

2）该算法相对于标准准同步DFT算法而言，只需要增加1个采样点和增加1次基波初相角的计算，就可应用线性修正公式获得极高的谐相角分析精度。

3）应用线性修正算法进行谐相角分析时，合理设计程序，仍可进行实时计算。

4）该算法采样点数少，算法简单，分析精度高，并且不需要增加现有系统的硬件成本，具有较高的实用价值。

该方法已应用于江苏顺创电气有限公司的电力系统容性设备在线监测装置JCQ-5和氧化锌避雷器阻性电流在线监测装置中，获得了非常好的测量效果。

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