农作物种植结构的模糊随机优化模型与方法

张春琴

摘要指出了农业发展统筹规划中存在的最优化问题，运用多目标模糊随机优化模型对农作物种植结构的优化配置进行研究。模型同时考虑模糊性因素和随机性因素对优化问题的影响，并以经济效益、商品化程度、环境效益和成本需求最小為主要目标，寻求农作物的最优种植模式。利用模糊定权的方法计算各个目标的权重，以便更加客观、合理地体现各个目标在优化过程中的重要程度。模型理论严谨、计算简易、操作方便，可实现农村人力资源、农业资金以及水-土-作物系统的最佳配置，使各种有限的资源得到充分、合理利用，为区域农业的可持续发展提供优化模型与数学方法，促使农业发展获得更高的综合效益。

关键词种植结构;模糊随机优化;综合效益;模糊数学;相对优属度

中图分类号S 11+5;O 159文献标识码A

文章编号0517-6611（2019）18-0243-04

doi：10.3969/j.issn.0517-6611.2019.18.067

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Fuzzy Stochastic Optimization Model of Crop Planting Structure

ZHANG Chun-qin（Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence/College of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding， Hebei 071002）

AbstractThe optimization problems in the overall planning of agricultural development were pointed out.Using multi-objective fuzzy stochastic optimization model， the optimal allocation of crop planting structure was studied.The model considered the influence of both fuzzy and stochastic factors on the optimization problem， and took economic benefits， commercialized degree， environmental benefits and minimum cost needs as the main objectives to seek the best mode of crop planting.In order to more objectively and rationally reflect the importance of each objective in the optimization process， the weight of each objective was determined by the method named fuzzy decision weight.The model was rigorous in theory， simple in calculation and convenient in operation， it could realize the optimal allocation of rural human resources， agricultural funds and water-soil-crop system， make full and reasonable use of all kinds of limited resources，and provide an optimization model and mathematical method for sustainable development of regional agriculture， so as to achieve higher comprehensive benefits.

Key wordsPlanting structure; Fuzzy stochastic optimization; Comprehensive benefits; Fuzzy mathematics; Relative optimal subordinate  degree

现代农业虽然提供了丰富的物质产品，但化肥和农药的滥用造成了土壤侵蚀等生态危机。如果人们在农业发展过程中片面追求经济利益而忽视了对生态环境的保护，则会进一步加深农业生态环境的恶化，严重影响农业的可持续发展。此外，我国水资源分布不均（北方地区缺水严重）、大量农村人口涌入城市务工都加剧了农业水资源和农村人力资源供需的矛盾。因此，只有通过环境、经济、社会等多维度的协调发展，优化农作物的种植结构以缓解水资源和人力资源的供需关系，获取最佳的综合效益，才能使农业获得可持续发展[1-2]。

农业发展是一个复杂的过程，对它进行管理规划时常常面临许多最优化问题，如水土资源的优化配置、农业机械的最佳配备、制定农业资金的最优投资方案、确定农业生产的最佳过程和拟定种植结构的最优模式等。目前，已有不少学者对最优种植模式进行了研究[3-10]，但对农作物种植结构的多目标模糊随机优化配置的研究却鲜见报道。事实上，农业发展不但要追求经济效益，还要重视生态效益、社会需求等目标;农作物种植模式的优化过程往往会受到气候、资源、技术、人口和社会等因素的影响，这些因素相互依存、交叉作用，既有人为的模糊性特征，又有客观的随机性存在，但以往的很多研究都是仅仅考虑在模糊不确定性或是随机不确定性的环境下研究种植结构的优化问题。例如，马建琴等[3]、刘潇等[4]、熊黑钢等[5]、黄丽丽等[6]和高明杰[7]研究了模糊环境下的作物最佳种植模式;而张帆等[9-10]考虑了随机环境下的种植结构优化方案。但模糊环境和随机环境往往不是独立存在的，而是相互作用地交织在一起，模糊随机性就是一种具体的表现[11-13]。为了使作物种植结构的优化模型客观、合理并与事实相符，需要在模糊性和随机性的混合交互式环境下建立多目标的模糊随机决策模型，为农作物种植模式的优化提供决策支持和数学方法。鉴于此，笔者运用多目标模糊随机优化模型对农作物种植结构的优化配置进行研究，旨在为区域农业的可持续发展提供优化模型与数学方法，促使农业发展获得更高的综合效益。

1种植结构的多目标模糊随机优化模型

为了满足人们生活的各种需求，一个地区往往需要种植多种农作物。只有科学有效地使用有限的水土资源、人力资源和农业资金，優化农作物的种植结构，农业发展才能获得最佳的综合效益。在多目标优化问题中，由于决策者对方案的评价含有模糊信息，他们对同一目标也可能存在不同的满意程度。因此，在优选识别过程中，农作物种植结构方案的优劣既没有严格、清晰地划分，也没有绝对分明的界限，它们具有中介过渡性，属于模糊概念。另外，环境的变化、资金和劳力的可利用量、市场供需关系等都具有随机性特征。例如，农产品的市场需求是一个服从正态分布的随机变量，因而市场需求是一个具有随机性特征的现象，需借助概率论的相关知识来解决有关问题[14-15]。

1.1相对隶属度矩阵的确定设需种植n种农作物，它们构成方案集为：

X={x1，x2，…，xn}

设优化模型有m个目标，它们构成目标集：

S={s1，s2，…，sm}。

对于方案xk（k=1，2，…，n），按第i个目标si进行评价，得到的评价值记为x ik，从而xk可表示为：

xk={x 1k，x 2k，…，x mk}T

于是，方案集X可用m×n阶矩阵表示：

X=（x ik） m×n

优化模型中的目标通常有2种类型，即效益型和成本型。效益型目标是越大越好型目标，而成本型目标是越小越好型目标。在实际应用中，目标的物理量纲往往不同，为避免不同量纲对优化问题的影响，需将矩阵X变换为相对隶属度矩阵

R=（γ ik） m×n=γ 11γ 12…γ 1n

γ 21γ 22…γ 2n

…

γ m1γ m2…γ mn

其中，相对隶属度γ ik按照实际情况，利用下面的式（1）或（2）计算得到。

当目标为越大越好型时，

γ ik=x ik-min xkmax xk-min xk        （1）

当目标为越小越好型时，

γ ik=max xk-x ikmax xk-min xk        （2）

式中max xk、min xk分别是n个方案中目标si的最大、最小值。

显然，0≤γ ik≤1，i=1，2，…，m;k=1，2，…，n。

1.2相对优属度的确定

一般而言，不同的目标在优选中的地位是不同的，需赋予不同的权重以体现它们的重要程度。设目标权向量为w=（w1，w2，…，wm），且mi=1wi=1。

在多目标规划问题中，如果目标在整体优化中对优的相对隶属度大，那么该目标的客观地位就高，通常会引起更多的关注，也会被赋予更大的权重值。根据模糊数学知识[16-17]，可将隶属度定义为权重，即将R转置得到目标对“重要性”这个模糊概念的相对隶属度矩阵[18]：

W=RT=γ 11γ 21…γ m1

γ 12γ 22…γ m2

…

γ 1nγ 2n…γ mn

记

W=w 11w 12…w 1m

w 21w 22…w 2m

…

w n1w n2…w nm=（w ki） n×m

则w ki=γ ik;k=1，2，…，n;i=1，2，…，m。

从矩阵W可以看出，目标si对于“重要性”的相对隶属度向量为：

w（i）=（w 1i，w 2i，…，w ni）T

利用文献[1]提供的模糊定权方法，目标的权重wi（i=1，2，…，m）按式（3）计算

wi=11+nk=1（1-w ki）nk=1w ki2（3）

根据两级模糊优选模型，方案k对最佳综合效益的相对优属度uk（k=1，2，…，n）按式（4）计算

uk=11+ni=1wi（1-γ ik）mi=1wiγ ik2（4）

1.3多目标模糊随机优化模型利用前面得到的数据，建立农作物种植结构的多目标模糊随机优化模型。

目标函数为：

MaxV=nk=1ukak

式中，ak为作物k（k=1，2，…，n）的最优种植面积。

在以下约束条件求解目标函数：

①面积约束

nk=1ak≤A

min ak≤ak≤max ak（k=1，2，…，n）

式中，A为可利用的耕地面积总数;minak，maxak分别为作物k的最小和最大种植面积，它们由市场需求、自主需求或专家经验确定。

②水量约束

nk=1bkak≤B

式中，bk为作物k的灌溉定额;B为可利用的农业用水总量。

③成本约束

nk=1ckak≤C

式中，ck为种植作物k的单位面积所需成本;C为可利用的农业资金总额。

④人工需求约束

nk=1dkak≤D

式中，dk為作物k在某个时期单位面积需求的人工数;D为在相应时期农业可利用的人工总数。

⑤非负约束

ak≥0，k=1，2，…，n

2实例分析

设某酒厂老板承包了12 000 hm2耕地，用于种植小麦、玉米、高粱和大麦。假设酒厂每年至少需要小麦4 600 t、玉米6 200 t、高粱12 000 t和大麦8 400 t为酿酒材料。同时，老板为回报社会，每年向国家提供500 t小麦和3 000 t玉米作为粮食或其他应急之用。以往资料表明，小麦、玉米、高粱和大麦的平均产量分别为6.0、10.0、7.4和5.6 t/hm2。农作物收割后，酿酒所需的部分储仓备用，再留下回报社会的部分，其余的全部出售。假设该老板有可支配的农业资金总数为142.02×106元，下面应用所建立的模糊随机优化模型去寻求这4种农作物的最优种植面积：

2.1确定各个目标的权重和各种作物的相对优属度

为了得到小麦、玉米、高粱和大麦的最优种植结构，使该酒厂老板获得最佳的综合效益，优化模型以经济效益、商品化程度、环境效益和成本需求最小化为评价指标。部分定量指标值参考文献[5]中的数据，具体详见表1。其中，经济效益指标值为灌溉效益分摊值[1];商品化程度指标值为农产品的商品产量比例;成本需求指标值为种植各作物单位面积所需的 成本。

对于定性指标“环境效益”，借助定性指标的定量化方法，根据实际问题构造恰当的模糊隶属函数进行量化。假设各作物对“环境效益”的影响分为{很好，好，较好，不太好，很不好}5个等级，且将这5个等级依次对应为{5，4，3，2，1}。利用模糊数学连续量化的方法，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数[16，19]，即

μ（x）=11+α（x-β）2，1≤x≤3

alnx+b，3≤x≤5

式中α，β，a，b均为待定常数。

根据专家的经验和知识，可得到如下评定结果：

当作物对“环境效益”的影响等级为“很好”时，对应的隶属度为1.00，即μ（5）=1.00;

当作物对“环境效益”的影响等级为“较好”时，对应的隶属度为0.80，即μ（3）=0.80;

当作物对“环境效益”的影响等级为“很不好”时，对应的隶属度为0.01，即μ（1）=0.01。

由此计算得到α=1.108 6，β=0.894 2，a=0.391 5，b= 0.369 9。于是隶属函数为

μ（x）=11+1.108 6（x-0.894 2）2，1≤x≤3

0.391 5lnx+0.369 9，3≤x≤5

根据实地调查和专家经验可知，小麦、玉米、高粱和大麦对“环境效益”的影响等级分别为4、5、3、2，因此这4种作物对于“环境效益”的隶属度为

γ 3k=（0.913，1.000，0.800，0.524）

由表1的数据和γ ik的计算方式可知，相对隶属度矩阵 R为：

R=0.1980.8821010.33300.0830.91310.8000.52400.1870.9501

将R转置得到目标权重矩阵W：

W=RT=0.19810.91300.8820.33310.187100.8000.95000.0830.5241

利用式（3）计算，得到目标的非归一化权重向量为

w=（0.540，0.231，0.947，0.568）

将权重向量w归一化为

w=（0.24，0.10，0.41，0.25）

利用式（4）计算μk（k=1，2，3，4），构成4种农作物的综合效益的相对优属度向量为

μ=（μ1，μ2，μ3，μ4）=（0.544，0.847，0.945，0.826）

2.2确定各种作物的最小、最大种植面积

市场调查显示，酒厂所在区域小麦的市场需求量X（单位t）是1个服从正态分布的随机变量，且X～N（30 000，5 00 02）。小麦每售出1 t可获利720元;若供过于求，卖不出去的部分积压在库，则需支付储存管理费240元/t;若供不应求则从外地调货供应，此时仅获利420元/t。

为求得最大的平均收益，设酒厂小麦的供应量为y（单位t），总利润为（单位元），于是

Y=g（X）=720y+420（X-y），y≤X720X-240（y-X），y>X

另设X的概率密度和分布函数分别为f（x）和F（x），则有

E（Y）=∫+∞ -∞g（x）f（x）dx=∫y -∞（960x-240y）f（x）dx+∫+∞y（300y+420x）f（x）dx

=∫y -∞960xf（x）dx-240yF（y）+300y（1-F（y））+∫+∞y420xf（x）dx

利用数学分析求极值的方法，令E（Y）关于y求导，并令其导数为0，得到

E′（Y）=300-540F（y）=0

利用概率论知识可得

F（y）=Φy-30 0005 000=300540≈0.556

其中，Φ（x）为标准正态分布函数。通过查标准正态分布表，解得y=30 700（t），即卖出小麦30 700 t时，平均收益达到最大。

下面确定小麦的最小和最大种植面积。由于酒厂分别需要4 600和500 t小麦作为酿酒材料和回报社会，于是至少需要5 100 t小麦，对应的种植面积为5 100÷6=850 hm2，即为小麦的最小种植面积。而酒厂向市场供应30 700 t小麦时期望获利最大，再加上酿酒等所需用量，最好能够产出 35 800 t小麦，对应的种植面积为35 800÷6=5 967 hm2，即为小麦的最大种植面积。

同样，调查资料表明，玉米的市场需求量Z（单位t）是一随机变量，且Z～N（40 000，5 2002）。玉米每售出1 t可获利 450元;若供大于求卖，不出去的部分積压在库，则损失 150元/t;若供不应求，则从外地调货供应，此时获利270元/t。

利用类似的计算方法求得，当卖出40 650 t玉米时可获得最大的平均收益。于是，为满足酿酒用量和完成社会责任，酒厂至少需要9 200 t玉米，对应的种植面积为9 200÷ 10=920 hm2，即为玉米的最小种植面积。而酒厂向市场供应40 650 t玉米时期望获利最大，因此最好能够产出49 850 t玉米，对应的种植面积为49 850÷10=4 985 hm2，即为玉米的最大种植面积。

此外，酒厂需要12 000 t高粱和8 400 t大麦作为酿酒材料，故高粱和大麦的最小种植面积分别为 1 621.6和 1 500.0 hm2。由以往资料和专家经验得到，酒厂高粱和大麦的最大种植面积分别为2 580和2 410 hm2。

至此，各农作物种植面积的范围已被确定完毕。

2.3确定各种作物的人工需求

下面仅考虑种一季作物所受的人工需求约束。一般春耕和秋收是农民最繁忙的一段时间。每年的3—5月为种植各作物的准备期和播种期，这段时间需要大量的人工进行整地和播种，包括犁地、旋地、耙地、浇地、施肥和播种。根据详细调查得知，这个时期小麦、玉米、高粱和大麦所需的人工分别约为小麦60工日/hm2、玉米45工日/hm2、高粱54工日/hm2、大麦52工日/hm2。由于城镇化进程的加快，农村劳动力大量流失，打破了农村人力资源配给结构的平衡，出现了农村劳力紧张的局面。该区域在3—5月期间可提供的劳力总数为68.2×104工日。

在各作物的生长期间也需要人工进行浇水、追肥和打药等作业，但需求的人工数量少，一般不受人工需求的约束。

7—9月为各作物的成熟期和收获期，这段时间需要许多人力进行收割、运输、晾晒和入库等操作。根据经验和调查数据知，该时期小麦、玉米、高粱和大麦所需的人工分别约为小麦50工日/hm2、玉米35工日/hm2、高粱41工日/hm2、大麦40工日/hm2;该区域在7—9月期间劳工可利用总数为49.27×104工日。

2.4求解模糊随机优化模型

设该区域农业的用水总量为6 261.5× 104m3;小麦、玉米、高粱和大麦在灌溉制度下的灌溉定额依次为6 200、4 800、4 500、6 000 m3/hm2[5]。

利用有关数据，建立农作物种植结构的多目标模糊随机优化模型为

Max V=0.544a1+0.847a2+0.945a3+0.826a4

式中，a1、a2、a3、a4分别为小麦、玉米、高粱和大麦的最优种植面积。

约束条件有：

①面积约束

a1+a2+a3+a4≤12 000

850≤a1≤5 966.7

920≤a2≤4 985

1 621.6≤a3≤2 580.0

1 500≤a4≤2 410

②水量约束

6 200a1+4 800a2+4 500a3+6 000a4≤6 261.5×104

③成本约束

10 900a1+10 450a2+8 610a3+8 490a4≤142.02×106

④人工约束

60a1+45a2+54a3+52a4≤68.2×104

50a1+35a2+41a3+40a4≤49.27×104

⑤非负约束

ak≥0，k=1，2，3，4

根据最优化理论[20]，对变量有界的线性规划进行求解，得到该模型的最优解为：

（a1，a2，a3，a4）=（2 025，4 985，2 580，2 410）

于是，这4种农作物的最优种植面积分别为小麦 2 025 hm2、玉米4 985 hm2、高粱2 580 hm2、大麦2 410 hm2，耕地总面积达到最大面积12 000 hm2;各农作物在灌溉定额一定条件下，相应的灌溉水量分别为小麦1 255.5×104 m3、玉米 2 392.8×104 m3、高粱1 161×104 m3、大麦1 446×104 m3，用水总量高达6 255.3×104 m3，逼近最大用水限度6 261.5× 104 m3;秋收时期需要人工总数为477 905工日，接近最大可利用人工数49.27×104工日。

3结论

为了使农业发展取得最大综合效益，克服片面追求经济效益而忽视环境效益带来的弊端，建立了农作物种植结构的模糊随机优化模型。模型推理严谨、计算简便，利用相对优属度作为决策变量的权系数，从而更好地解决多目标规划问题，为区域农业的发展提供了优化理论与方法。实例表明，在农业水资源供需矛盾突出、农村人力资源不足的情况下，要使农业综合效益最大，必须优化农作物的种植结构。通过求解模型发现，对于综合效益优属度高的农作物玉米、高粱和大麦，其种植面积均达到了约束上界;而对综合效益优属度低、单位面积用水量最高的作物小麦，其种植面积仅为 2 025 hm2。事实上，在水资源缺乏、农村劳动力紧张的情况下，应增加种植单位面积用水量少和人工需求量低的农作物。而玉米单位面积的用水量较少、且人工需求最低，对综合效益优属度较高，因而适宜大量种植，其种植面积高达 4 985 hm2。由此可见，该模糊随机优化模型是客观、合理和可行的，所得结果符合实际情况，实现了农作物的种植面积、水资源、农业资金和劳动力的最佳分配，取得了最大的综合效益。因此，该优化模型值得推广和应用。

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