明辨未知数、变量和字母符号*

广东省中山市中山纪念中学(528454)赵桂枝

在研究有理数运算律的课堂教学中,笔者提出问题：在a+b=b+a中的a和b表示什么? 全班学生异口同声回答：“未知数”.在单项式概念教学中,笔者请学生观察式子：100t,0.8p,mn,a2h,-n,寻找它们的共同特征.部分学生脱口而出：“含有未知数.”由此可见,学生对于用字母表示数和用字母表示未知数的理解存在偏差.随着学习的深入,这种认知偏差的负面作用会越来越明显.因此,在教学中,引导学生正确理解字母符号及其意义是十分必要的.

一、字母符号和含字母的式子

符号是某种事物的记号,在生活中随处可见.如：通用公共信息标志、道路交通标志、消防标志等,这些标志多以图形符号的形式呈现.除此之外,学生习以为常的文字、数字、字母也是符号.

数学符号是数学科学专门使用的特殊符号,是数学的特殊文字.字母符号是数学符号中的一种.在初中代数中,字母符号的主要作用是表示数,用字母和用含字母的式子(代数式)可以表示数和数量关系.用含有字母的式子表示数时,从整体的角度理解式子,它和单个的字母符号表示数的作用是相同的.

案例1用含字母的式子表示数(人教版教材《整式的加减》第1 课时)

教材章引言中提出以下问题：

青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段,列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100km/h和120km/h,在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1 倍,如果通过冻土地段需要th,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗?

对于该问题的处理,在学生给出答案：100t+120×2.1t后,师生进行如下对话：师：式子100t表示什么?生1：列车行驶的路程.师：准确地讲是列车在冻土地段行驶t 小时的路程.式子120×2.1t表示什么?

生2：列车在非冻土地段行驶2.1t小时的路程.

师：式子100t+120×2.1t表示什么?

生3：铁路的全长.

师：根据小学学过的“用字母可以表示数”,你能进一步发现什么?

生4：用式子也可以表示数.

师：是的.用含有字母的式子也可以表示数.正因为用字母和用含有字母的式子可以表示数,所以用字母和用含有字母的式子也可以表示数量关系.

该案例从求列车行驶的路程到求铁路长,让学生体会用含有字母的式子可以表示数和数量关系,初步建立数和代数式之间的联系.通过问答,引导学生说出含有字母的式子的实际意义,加强学生对“含有字母的式子可以表示数”的理解,提高学生的抽象能力,培养整体意识.

字母符号不仅可以表示数,还可以表示图形.在人教版第四章几何图形初步中,会遇到用一个大写字母表示点,用两个大写字母或一个小写字母表示线.但是用字母表示数和用字母表示图形本质上是不同的.用字母表示数具有替代作用,即字母可以替代数,可以像数一样进行加减乘除等运算.而用字母表示图形实质上是用字母给图形命名,只在证明、说理过程中具有替代作用,并不能像图形一样进行平移、旋转等变换.在教学中教师应根据学生的具体情况,结合具体的例子引导学生多方面、多角度观察字母符号.体会相同的字母,在不同情境中表示的意义不同.打破学生对字母符号狭隘的固定的理解.

二、字母符号和未知数

为什么学生看到字母就想到未知数? 笔者在以下三幅图中找到了答案.第一幅图是一位教师在《一元一次方程》的示范课教学中展示的一张PPT,第二幅图是人教版数学教科书五年级上册第63 页的“做一做”,第三幅图是人教版教师用书七年级上册第195 页目标检测设计的两道题.在这三幅图中所呈现的数学问题都将字母默认为了未知数,这是对学生的误导.

图1

图2

图3

张奠宙教授曾在接受时代学习报记者采访时指出：将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的.“含有字母的等式”种类很多,可以具有不同的意义.这就是说“含有字母的等式”未必都是方程.方程只是“含有字母的等式”的一种情形.

字母可以用来表示未知数,但并不是所有背景中的字母表示的都是“未知数”.“未知数”可以用字母表示,但并不是只能用字母表示.因为我们习惯上用字母符号表示未知数,所以有些学生甚至老师都认为未知数就是字母,字母就是未知数,这种认识是错误的.为了避免出现这样的错误,笔者在人教版七年级上册第三章一元一次方程第1 课时的教学中处理如下：

案例2《一元一次方程》概念教学

师（提出问题）：一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B 地,A,B 两地间的路程是多少?

师：请大家用列算式和列方程两种方法来解决这个问题.

生3：设A,B 两地间的路程是x km,列方程：

师：列算式和列方程两种方法最大的区别是什么?

生4：方程有x.

师：这里的字母x表示什么?

生5：A,B 两地间的路程.

师：A,B 两地间的路程在这个问题中是未知数,怎样表示未知数呢?

生6：用x.

师：必须用x吗?

生7：也可以用y.

生8：可以用a.

师：未知数的表示方法有很多.古埃及曾用“堆”表示未知数,印度人曾用0 下加一条竖线表示,宋元时代的中国用“元”表示未知数.现在世界通用的方法是用字母符号表示未知数.最为常用的是字母x.

该案例通过介绍未知数的多种表示方法使学生理解字母只是表示未知数的一种方法,建立字母、未知数和方程之间的联系.理解字母可以表示未知数,因此可以用含字母的式子表示数量关系,建立方程和代数式之间的联系.

三、字母符号、未知数和变量

如果说在方程问题中,想当然地认为字母x就是未知数,对解决问题并没有明显的负面影响,那么在函数问题中,对变量的理解和表示,对函数和方程之间关系的理解,学生的“晕车”症状就十分明显了.字母x 和y 在方程问题中常用于表示未知数.在初中函数概念中,用于表示变量.这看似简单的问题,给很多学生带来困扰,致使对函数概念的理解模糊不清.笔者认为厘清字母符号、未知数和变量之间关系的最佳时机在人教版八年级下册第十九章一次函数第1 课时《变量与函数》概念教学中.

案例3《变量与函数》

师：一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.在函数的概念中,有哪几个关键点要特别注意?

生1：两个变量x与y.

生2：对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应.

生3：x是自变量,y是x的函数.

师：变量是否一定要用字母x来表示?

生4：不一定.

师：在函数概念中字母x和y仅仅是表示变量的一种通用形式,习惯上用字母x表示自变量,用字母y表示自变量的函数.在具体的问题背景中,可以选用不同的字母表示变量.如：在行程问题中,如果保持速度不变,行驶路程随着行驶时间的变化而变化,一般用字母s表示行驶路程,用字母t表示行驶时间,这时候表示变量的字母是s和t,其中字母t表示自变量,字母s表示自变量t的函数.

以字母x和y为例,在不同的问题背景下,表示的意义不同.如在整式的运算中表示任意实数.在方程问题中,表示未知数.在直角坐标系中,表示横轴和纵轴.字母的“身份”在一定的问题背景下可以相互转换.如在函数问题中,当已知一个变量x（或y）的值,求另一个变量y（或x）与其对应的值时,函数问题转化成方程问题,表示“待定值”的字母y（或x）转化前的“身份”是变量,转化后的“身份”是未知数.

用字母符号表示数具有任意性、简明性和概括性的特点,用字母符号表示公式、法则和运算律更能彰显数学的本质.在教学中,教师应重视字母符号意识的培养,让学生理解字母符号只是一种表现形式,这种表现形式具有很强的灵活性,可以任意选取,但在特定的背景下又有其常用的、通用的方法.当明白字母符号是数学表达的一种方式,学生就不会被形式所困扰,而能利用这种简洁的表达更清晰的理解数学的本质.