玻恩-黄昆方程的历史回顾——纪念黄昆先生诞辰100周年

王炳燊 葛惟昆

(1中国科学院半导体研究所，北京 100083； 2北京大学物理学院，北京 100084； 3香港科技大学，香港 999077)

在黄昆先生诞辰100周年之际，作为黄先生子弟和亲近后辈，我们缅怀先师的辉煌业绩，重温他对凝聚态物理学的卓越贡献。

黄昆先生生前多次说过，他自己最满意的工作有两件，第一件就是1950年对离子晶体中的长波光学声子和宏观电磁场的相互作用的研究，即黄昆方程(有时也称Born-Huang方程，即玻恩-黄方程[1])；另一件则是与晶格弛豫有关的多声子光跃迁[Huang-Rhys参数，是黄昆与妻子A.Rhys(中文名李爱扶)合作的成果]和无辐射跃迁理论。

本文将集中讨论黄昆方程出现的历史背景以及这一组方程的方法和结论对固体物理学(即现在统称的凝聚态物理学)在当时和对后来发展的重大意义。

20世纪40年代，固体的电子态理论才起步不久，对于实际材料的各种性质的理论计算刚刚开始，此时对于固体的物理性质的理论研究都是从理论上认识比较清楚的离子晶体开始。黄昆先生那一代物理学家，都注意到介电函数是关键的物理量，因为它不仅决定物质的电学性质，而且决定物质的光学性质。对许多纯净的离子晶体而言，在可见光波段它们是透明的，而在红外波段则有许多丰富的现象。而这又与固体的一类晶格振动即光学声子谱紧密联系。光学声子即晶格内原子的相对振动,在离子晶体中是正负离子的相对振动。

黄昆方程正是把光波与光学声子关联起来。一开始人们没有意识到它的重要价值。一个真实的故事是，当黄昆方程的论文[1]1投稿时，审稿人认为该文只是重新证明了著名的Lynddan-Sache-Teller关系，坚称黄昆的论文只是LST关系的另一种证明而拒稿。幸亏黄昆先生的老师莫特教授(N.F.Mott，1977年获得诺贝尔奖)了解这篇文章的重要意义，亲自出面推荐才得以发表(1)事实上黄先生的这一工作在公开发表之前，先发表在一个内部报告上：K.Huang, The Phenomenological equations Motion for Ionic Crystal Lattices, E.R.A. Report(1950), Ref. L/T239)。另外 乌克兰科学家К.Б.Толпыгоб[5]在1950年也独立提出了相似的理论，但他的工作并未产生广泛的影响。。

现在我们首先来看LST 关系的提出和意义。1938—1940年间，Lyddane[2]和Frohlich and Mott[3]分别独立证明了横光学声子 TO(振动方向与传播方向垂直)的频率ωt低于纵光学声子 LO(沿传播方向振动)的频率ωl。这些研究都需要对电子和离子的微观状态作详细计算，这在当时的条件下，无论是在理论方法和计算条件上，都是极端困难的任务。1941年，Lyddane[4]引入了有效电荷的概念，通过这一概念，他们得出以下的LST关系

其中ε∞和ε0分别为高频(频率远高于声子频率)和静态(ω=0)的介电常数。

LST关系把声子的两种本征频率和作为宏观可测量的介电常数联系起来，并不需要离子晶体内部相互作用的细节，因此是一个普遍的关系，具有重要的意义。

现在我们来分析黄昆先生的工作[1]与Lyddane等人的LST关系的工作有什么不同。从具体的物理图像对应的基本原理出发，而不是跟随别人已有的工作，是黄昆科研实践的一个显著特点，也是他能够成功原始创新的重要因素。黄昆天才地把电场E和磁场H所满足的麦克斯韦方程和光学声子的振幅w的动力学方程联合起来，他所提出的光学声子振幅的动力学方程为

这就是著名的黄昆方程，它把光学声子的振动动力学与晶体的极化和外加电场(即光波中的电矢量)巧妙而合理地联系起来。这组方程在本质上与许多重要的物理方程一样，不是推导的结果，而是基于高度的洞察力和对物理原理的抽象概括。物理学中最重要的牛顿方程和薛定谔方程也是这样产生的。首先将这个方程与麦克斯韦方程中的电位移矢量的散度方程相联合，

k·(E+4πP)=0

其中P是极化矢量，k为波矢，ω为频率，c为光速。经过严密的数学推导和物理分析，把黄昆方程中4个b系数用物理上宏观测量可以得到的静电介电常数ε0和高频介电常数ε∞，横波光学声子频率ωt，纵波光学声子频率ωl表达出来，就得出，对于纵波，有k∥E∥w，同时k·D=k·(E+4πP)=0，进而得出：

这个结果与LST关系式完全一致，但出发点完全不同，而且不是黄昆方程最重要的意义。

黄昆的新贡献更在于，他进一步引入了电磁波传播的迟滞(retardation)效应，即离子之间库仑相互作用不是瞬时发生的。此时必须考虑麦克斯韦方程组中的其他几个与磁场有关的方程：

再代入LST关系，即得到一种全新的介电函数的色散关系：

这是前人从未得到过的结果。用这个介电函数来研究电磁波在固体中的传播时频率和波矢的关系，结果如图1所示。横向光学声子的特殊性，恰好反映了光波的横波性质。

图1 离子晶体中光的色散

让我们具体来分析黄昆的工作与LST工作的区别和革命性进展。首先，这里考虑了迟缓效应，这是LST完全没有考虑的，而这一个非常明显的区别，在物理上的差异是很大的；其次，LST对纵向电场和横向电场的极化效应的处理，是采用普通物理中对于静电场极化的冗长的讨论，虽然其结果是正确的，但逻辑并不严密，而黄昆利用的是严密的数学推导(他的原始论文“On the interaction between the radiation field and ionic crystals”中推导长达14页)，简洁而优美地阐明了横向电场和纵向电场的区别(2)严格来讲,在晶格动力学中,只有在Brillioun区高对称方向,纵模和横模才可以完全分开。但在长波情况下,晶体完全可以用连续介质来描述,这一点在黄昆先生的原始文章中已经说明。在严格意义上，介电函数和介电屏蔽也分为纵向和横向，但当波矢趋于零时，两者是相等的，因此本文中不再区分。此外，黄昆方程中虽然没有包括由于声子散射导致的声子寿命和谱线展宽，但这个效应很容易加入方程中以便与实验比较，在此不再详述。；第三，黄昆的结果完美地表现了离子晶体的红外色散特性，明了地解释了剩余射线(reststrahlen)[3]带的物理起因，他指出，如果把图1旋转90度，就直观地解释了色散现象。

黄昆方程最重要的意义，可以用美国著名物理学家E.Burnstein[6]在第17届国际拉曼会议上对黄昆的评价来概括：“Huang has changed our way of thinking about propagating EM mode in crystalline mediums”，即：“黄昆改变了我们关于电磁模在晶体介质中传播的思维方式”。其实这里的介质，不止是离子晶体，而是包含了一切有光在其中传播的介质。由于黄昆方程直接利用了电场与偶极子的相互作用，它也同样适用于一切具有偶极矩的元激发与光波的相互作用，具有普遍意义。这也正是后来光波与激子(exciton)耦合的极化激元(polariton)的原始物理基础。

在人们传统的理解中，光进入固体以后，就以真空光速除以(介电常数)的速度传播，再通过电场的极化作用，激发光学声子或其他元激发。而黄昆指出，事实并非如此，光进入固体后，就与贡献介电常数的元激发(不只限于横偏振光学声子)相互作用而耦合在一起传播，且对同一个波矢，会存在两个频率的波，其中每一个波的电磁波和机械振动成分和相应的能量所占的比例随频率变化。特别是，横、纵元激发的频率不同，而在这两个频率之间，电磁波不能传播。这是一个全新的物理图景，彻底颠覆了光波独立传播、不与元激发耦合的传统观念。这一思维方式的转变，在各种物理现象中具有普遍的和重要的意义。黄昆方程也使人们对介电常数的意义有了更深入的理解并达到一个新的高度。这样表示的介电常数，也与后来由严格的线性响应理论导出的结果完全一致。

必须指出，尽管黄昆方程组是以经典电动力学和经典力学来表述的，但是其实质内容和结论与量子力学和量子方法的表述完全一致。J.J.Hopfield[7]在1958年关于光子与激子耦合的工作就证明了这一点：激子与光子耦合的色散曲线与图1所表示的完全一致，只是纵横声子变成纵横激子。事实上，把黄昆方程开创的这种电磁波(光子)与晶格振动(声子)的耦合予以量子化，就成为一种新的准粒子。S.Pekar (Пекар)[8]在1957年将其命名为polariton(3)polariton 一般翻译成极化激元，有人提议翻译成电磁耦合子，黄先生自己在私下则表示应当称为色散子，因为它完整地描述了固体的色散。，中文一般译为为极化激元(有人提议翻译成电磁耦合子，黄先生自己在私下则表示应当称为色散子，因为它完整地描述了固体的色散)，现在甚至出现了polaritonics的名词，俨然已经成为一门新的子学科，可见其在学术和应用上的巨大影响。由于黄昆在论述过程中已经成功地把宏观电场和微观电场分离，之后几十年间虽然固体中电子和声子态的理论研究已经有了非常大的改变和发展(4)介电函数理论现代形式,即动力学非局域介电矩阵,其中微观场和宏观场的联系是其在倒格子空间的非对角元来体现的，而黄昆方程得出的介电函数，通过高频介电常数和静态介电常数和纵横光学声子频率，完美地描述了声子态对长波下宏观介电函数的贡献，而不用去关心宏观场与微观场关系的细节。而在实际问题中，人们只会涉及长波下宏观介电函数。感兴趣的读者可以参看有关的文献。，但黄昆方程仍然保持着它旺盛的生命力。

物理学本质上是一门实验科学，这样一种物理上全新的图景，不仅引起理论工作者的注意，也理所当然地激发了实验工作者以极大热情用各种实验来证实polariton的存在。如C.H.Henry 和J.J.Hopfield[9]在磷化镓(GaP)中用拉曼散射证明了polariton的存在，准确测量了其中polariton上下两支的色散曲线，证明了polariton理论的正确性(见图2)。

图2 GaP中声子polariton的色散曲线理论值和Raman散射实验结果

由于半导体中绝大部分激子(exciton)也有偶极距，因此也能形成polariton，由于激子具有明显的色散，尽管原始的黄昆方程中没有包括色散(光学声子一般色散比较小，通常可以忽略，这也是晶格振动Einstein模型的由来)，但是方程完全可以不加改变地扩展到包括色散的情形。J.L.Birman等人[10,11]发展了exciton-polariton的布里渊散射理论，1977年C.Weisbush等[12]在砷化镓(GaAs)中进行布里渊散射实验，结果完全与理论符合(见图3)，进一步证明了Polariton理论的正确性。

说到激子的色散，Polariton理论还预示了一个新的物理现象，即某一频率的光进入固体后，在一定条件下会变为两支快慢不同的波，被称为附加波(additional wave)[13]，同时引出了所谓附加边界条件ABC(additional boundary condition) 问题，在一段时间内成为研究热点。而光学声子的色散所引起的半导体超晶格中与电磁波相互耦合所产生的复杂现象，直到20世纪80年代末才由黄昆先生本人和朱邦芬[14]提出的黄-朱模型予以阐明。

实际上，固体中能与电磁波耦合的元激发不限于声子和激子，而涉及的相互作用也不限于光与电偶极子。在电偶极子被禁戒的情况下，与磁偶极子等都可以形成polariton，因此在现代物理中，有各种各样的polariton，如自旋波polariton等。polariton这一概念已经深入到物理学的许多领域。比如plasmon、表面plasmon与电磁波的耦合，光子晶体等领域，都是这一理论的扩展。1972年，在意大利的Taormira召开了第一届polariton国际学术会议，由于时值“文化大革命”，黄昆没能参加会议，但他在1951年的开创性工作得到与会者的高度评价，而他那篇20多年前的文章被列入会议文集[15]，这几乎是史无前例的。黄昆先生是当之无愧的polariton理论的开创者。

1905年，玻恩把长声学声子的微观参量和宏观参量即弹性系数和泊松比联系起来，35年后黄昆方程把长光学声子的微观参量和宏观的介电常数与色散性质联系起来。这是一个伟大的传承和发展。同时，黄昆方程把纵光学长波振动与宏观电场相联系，也为后来H.Frohlich[16]提出著名的电声子极性相互作用理论奠定了基础。从更广阔的视野来看，黄昆先生这件工作的重大意义还不止于此。一般来说，相互耦合的两个系统是同质的，而polariton是由声子和光子两种不同的玻色子耦合而成的，这是量子力学态叠加原理的体现，具有启发性的意义。

图3 GaAs中激子polariton的Brillioun散射. (a) 计算出的polariton色散曲线; (b) Brillioun散射的理论曲线(实线); (c) 实验点(空心和实心园点; 散射光强度随入射光频率的变化)

时至今日，如果以“polariton”作为搜索词来检索，将会得出成千上万的结果。可以毫不夸张地说，任何与物质的光学性质相关的研究和技术应用，都与以黄昆命名的方程或远或近地相关联。黄昆方程和同样由黄昆先生开创的与晶格弛豫相联系的多声子光跃迁理论和无辐射跃迁理论，以及黄散射等一系列原始创新的理论成果，都是凝聚态理论发展道路上光辉的丰碑，是值得我们永远纪念和学习的！

先生的音容笑貌依然历历在目，先生的谆谆教诲永远牢记心中。谨以此文，献给敬爱的黄昆老师和李爱扶(A.Rhys)师母！

作者对朱邦芬院士的宝贵意见深表谢意。