自主体验：促进学生学会学习的有效路径①——以“向量的加法运算及其几何意义”教学为例

许兴震

(江苏省扬州市邗江区教育局教研室 225009)

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)指出：全面落实立德树人的要求，深入挖掘数学学科的育人价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程．在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯，要努力激发学生数学学习的兴趣，促使更多的学生热爱数学．可见，要让核心素养培养落地，就要改革现有的教与学的方式．笔者近期从课堂观察中发现，不少教师对引导学生如何会学数学重视不够，影响了核心素养落地的效果．如何引导学生会学数学？《课标》又给出了具体的教学建议：教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等．教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联．如何在教学中落实上述要求，笔者以执教人教A版·数学4(必修)2.2.1“向量的加法运算及其几何意义”为例，谈一谈我们的做法与思考.

2 教学过程

2.1 创设情境，提出问题

师：上节课，我们以几何、物理对象为原型，抽象出向量的概念，也学习了向量的几何表示、相等向量和共线向量，请大家回忆我们的研究方法是什么？

生：把向量与实数进行类比.

师：顺着这个思路，请同学们回想研究实数的顺序和内容分别是什么？你能设计出研究向量的方案吗？

生：我们先后研究实数的概念、实数的运算、实数的运算律、实数的运算应用举例等.上节课我们研究了向量的概念，接下来我们应该分别研究向量的运算、向量的运算律、向量的运算应用举例.

意图类比是基本数学思想方法之一.在其指引下，能充分调动学生已有的学习经验，让学生自主地制定学习方案,并激发学生自主体验的欲望.

问题1如何定义向量的加法？

师：请大家回答下面两个实际问题．

背景1：过去春节期间，由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要从上海(用A表示)到香港(用B点表示)，再从香港到台北(用C点表示)，这两次位移合成的结果是什么？如何用等式来表示这三个位移之间的关系？

背景2：一根弹簧在两个力F1、F2的作用下，向下伸长了5cm；撤去这两个力，用一个力F作用在这个弹簧上，使弹簧向下伸长了5cm，改变F1、F2的大小与方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？如何用等式来刻画这三个力之间的关系？

追问1：你所说的“和”是什么意思？“+”是什么意思？

追问2：上述两个问题，有什么共同点？

生：位移、力都是向量；都涉及到三个向量，其中两个向量的和等于第三向量；两个向量的和仍然是向量．

意图以学生熟悉的位移、力等物理量为情境，便于学生找到物理量之间的关系，发现其共性，让学生逐步学会抽象数学概念的一般方法．

2.2 意义建构，解决问题

问题2你能从上述两个背景中，给出两个向量和的定义吗？

生：把位移、力抽象为向量，把合位移、合力抽象为向量的和，把求合位移、合力抽象为向量的加法运算．在此基础上，我们给出两个向量的和的定义.

图1

师：请大家思考两个问题：

1．两个向量a、b的起点与终点有什么关系？向量a+b的起点和终点分别是什么？

图2

2．如图2所示的三个向量，你能给出三个向量满足的等式吗？

师：上面给出的定义，是不是就可以看成是两个向量和的定义？

问题3对于给定的两个非零向量(图3)，如何定义它们的和呢？

图3

学生活动已知非零向量a、b，作出a+b．

教师选择一名学生的作品投影，与学生作如下互动交流.

追问1：是否可以平移？平移的目的是什么？

追问2：你能借助几何直观，用自然简洁的语言给出两个非零向量a、b和的定义吗？

师：这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型.

追问3：用三角形法则求向量和的过程中关键步骤是什么？

生：平移两个向量使他们首尾顺次相连.

意图两个向量和的定义的形成是顺应学生思维过程自然生成的，如果直接提出问题3，因未在学生“最近发展区”设计问题，通过学生自主体验、建构向量和的定义难度较大.学生先给出了“首尾相接”的两个向量和的定义，再通过平移将任意两个非零向量情形化归为“首尾相接”的情形，使得自主建构顺利推进.

问题4还可以用什么方法求向量的和呢？

学生活动用力的合成平行四边形法则作图.

师：你能用简洁的语言总结出用平行四边形法则作两个向量和的主要步骤吗？

追问：在物理学科中学习矢量合成时，我们已经学习了平行四边形合成法则，在数学上有必要学习向量加法的平行四边形法则吗？

问题5用向量加法两个法则求和，结果是一样吗？

意图通过自主观察、比较、分析，学生发现求向量和的两个法则的本质是一致的，通过教师的质疑，学生加深了对概念本质的理解，并把新知纳入到已有的知识体系中.

图4

例1如图4，已知非零向量a、b，作出a+b．

学生根据向量加法的定义，准确作出结果．

探究1如果两个向量a、b中，向量b是零向量，向量加法的两个法则适用吗？你能得出什么结论？问题3讨论的是作两个不共线向量和a+b，那么两个向量共线时，又如何作出a+b呢？

学生活动学生分别作图、比较、思考，分小组交流，教师深入学生中间，了解学生的想法.学生总结，虽然上述问题的条件不满足三角形法则，但可仿照向量加法的三角形法则，紧紧抓住首尾相接的特征，作出和向量，说明了三角形法则有着广泛的适用性.通过自主体验，学生感悟到教材中规定(a+0=0+a=a)的合理性．

探究2对任意两个向量a、b，|a+b|、|a| 、|b|的大小关系是什么？

学生活动在学生自主作图、分析、思考的基础上，开展小组讨论、全班交流展示，通过对自己和同伴结论的反思、质疑，在师生合作中共同得出结论:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|．

师：通过探究2，我们知道了向量的加法与实数加法的区别和联系，这些知识如果不通过数形结合来解决就比较难以理解.

意图指向核心素养的数学教学，要将合适的教学内容设计成具有探究性的问题，学生在自主探究、交流合作的过程中解决问题，自主建构知识意义，提高自主体验的能力.

师：请大家回忆实数的加法有哪些运算性质？请大家分组讨论，在此基础上，回答下面的问题.

探究3向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？

学生活动1学生回忆实数加法的交换律、结合律，把向量与实数进行类比，猜想出类似的运算性质：(1)a+b=b+a；(2)(a+b)+c=a+(b+c).

学生活动2学生各自作图，小组交流，教师巡视，与学生进行互动.学生通过画出平行四边形(如图5)，验证交换律成立.对于结合律的验证，教师在巡视中发现，一些学生受交换律的影响，用平行四边形法则作图验证，难以画出有说服力的图形，教师鼓励学生尝试其它作图方法，部分学生作出典型的图形如图6.教师选择多个学生的作品进行投影，并让学生叙说其中的道理.

图5

图6

意图向量加法运算律是学生通过类比、猜想、作图验证得到的，再现了数学家的“发现”过程，让学生感受到“数学研究”的乐趣，享受到解决问题的喜悦，进而培养学生数学学习的兴趣.

2.3 操练拓展，反馈矫正

例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水速度之间的夹角表示，精确到度)

师：通过这个例子，请大家总结一下应用向量知识解决实际生活中问题的一般思路.

生：把一些物理量用向量表示出来；借助于向量之间的运算，研究物理量之间的关系；最后把运算结果翻译成物理量.

意图一个完整的自主体验过程，还要求学生把所学知识运用于新的情境，检验结论的合理性，帮助学生理解和把握向量加法的本质，学会用数学建模的方法解决实际问题的一般步骤．

2.4 归纳反思，总结提升

师：请大家总结一下本课研究向量加法定义的方法．

生：先从物理模型抽象出向量这个数学模型，在此基础上，我们初步研究了向量模型，最后应用到生活实践中去．这说明数学来源于生活，又服务于生活．

物理模型⟹数学模型⟹研究模型⟹应用模型

意图在教师的点拨下，学生自主提炼解决实际问题的一般思路，让学生逐步养成归纳、反思、提炼的学习习惯.

3 教学思考

3.1 创设情境，激发自主体验欲望

本节课中，教师首先调动学生已有的经验，回顾学习实数的顺序和内容，让学生自主编制研究向量的方案，这个具有挑战性的任务激发了学生自主体验的兴趣，使其进入一种跃跃欲试的状态，也为学生自主提出核心问题“如何定义向量的加法运算”奠定了基础．由于学生在物理学科中学过位移的合成和力的合成等矢量的加法，教师以此为背景创设问题情境，激活学生思维，引发师生互动.通过启发思考，学生舍去了具体情境中的物理属性，提炼出向量加法的本质属性，进而抽象出向量加法的定义.在此过程中，让学生感悟数学抽象过程，体会具体和抽象之间的差异，积累从具体到抽象的数学学习经验.

3.2 巧设问题，搭建自主体验平台

本节课，教师将教学目标进行了分解，设计了两个核心问题：(1)如何定义向量的加法？(2)向量的加法是否也满足这样的性质？如果满足，具体形式是什么？这两个核心问题，把知识的逻辑结构和学生的思维过程有机地联系起来，将知识的逻辑结构转化为学生的认知结构．其次要设计好派生问题，教师在设计派生问题时，要以层层递进的问题串形式，让学生在分析问题、解决问题的过程中，发现数学的内在规律，认识、理解数学本质．本节课，在提出核心问题“如何定义向量的和”之后，教师提出了以下四个派生问题，形成问题串：(1)你能从上述两个背景中，给出两个向量和的定义吗？(2)对于给定的两个非零向量，如何定义它们的和呢？(3)还可以用什么方法求向量的和？(4)用这两个方法求和结果是一样吗？这四个派生问题，逐步引领学生走向向量和的定义的“核心地带”，学生也逐步学会了研究数学概念的一般方法．

3.3 合作探究，提升自主体验能力

本课中，共设计了三个合作探究活动：探究1，让学生通过作图，亲身感受三角形法则的应用更具一般性，使学生更深刻地理解教材中规定的合理性．探究2，在自主体验的基础上，通过交流展示，完善了问题的解决方案，让学生逐步学会了用分类讨论的数学思想解决复杂数学问题的方法．探究3，让学生类比实数的运算律，提出猜想，引导大家通过自己作图、小组交流、大组展示来进行验证．在这个过程中，学生领悟到类比思想、数形结合的思想方法对解决向量问题的重要价值，亲身感受到解决问题的具体方法需要尝试和选择．通过合作探究活动的开展，学生经历了知识的发生、发展和形成过程，提升了学生自主体验的能力.

3.4 反思质疑，积累自主体验经验

本课中，教师在新旧知识的节点处提出质疑，在物理中学习矢量合成时，我们已经学习了平行四边形合成法则，在数学上有必要学习向量加法的平行四边形法则吗？这样的质疑，有助于学生进一步理解矢量和向量的区别和联系，把新知识纳入到学生已有的知识体系中，实现概念的同化．在解题过程中对不严谨的解法提出质疑，探究2的实施过程中，不少学生的解题过程不够严密，教师引导学生对一些问题解法提出质疑，并让学生自己阐述思维过程，从源头上查清楚错误的原因，有利于师生精准纠错．在课堂小结时引导学生对本节课的内容进行反思回顾，引导学生自觉地把新知纳入到已有的知识体系中，归纳知识要点，反思学习态度，总结学习方法，促进学生学会学习．