发挥数学的内在力量实现教“数”育人——以新人教A版教材“指数函数”的教学为例

斯理炯

(浙江省杭州第二中学 310053)

以《普通高中数学课程标准(2017年版)》为依据的新教材即将于2019年下半年启用.新课程基于新一轮课程改革“立德树人、数学育人”的理念，充分体现了“一切为了学生的发展”的宗旨，以核心素养为导向，通过落实“四基”，培养“四能”，达到“三会”，即“会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，着眼于学生的长远发展，展示了其全面的育人功能.

与人教A版原教材相比，2017版新教材会有哪些变化？我们应如何以新教材为线索，在课堂中践行以核心素养为导向的教学呢？笔者因为参与人教A版教材教师用书的“指数函数”示范课录制工作，得以对新教材先睹为快，并在这堂课的教学研讨中，对课堂教学中如何落实核心素养形成一些粗浅认识.本文对这些认识做了梳理，呈现给广大读者，希望得到大家的批评指正.

1 新教材中“指数函数”内容的变化

1.1 注重背景的真实性

美国著名的教育家威金斯曾经说过：“学校教育的目标是使学生在真实世界能得心应手地生活.迁移，即对理解的反映，是指能够熟练地解决核心任务中的真实挑战.”新人教A版“指数函数的概念”的两个引入问题均来源于真实情景.

问题1(游客人数·增长模型)

随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表格中给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.

表4.2-1

问题2(考古·衰减模型)当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

问题1来源于杭州西湖景区取消门票以来游客数量的真实数据；问题2来源于良渚遗址的考古发现.这与原人教A版有较大的不同.真实的数据拉近了教材与生活间的距离，可以让学生产生一种解决实际问题的使命感，使学生充分认识到“数学是有用的”.

1.2 尊重学生的认知规律

1.2.1研究顺序的变化

新教材在基本初等函数的顺序上作了调整，把“幂函数”提到了 “指数函数”的前面.

新教材调整后顺序框图

显然，函数的一般概念和性质，是指数函数研究的上位知识；指数幂及其运算，是指数函数研究的基础.调整后，幂函数的研究过程和方法，可类比迁移到指数函数的图象与性质.也就是说，在指数函数图象性质的研究之前，幂函数的研究已经提供了活动经验.

这一调整有两方面意义：一是在“幂的运算”中把指数的范围很自然的从“整数指数幂”拓展到了“实数”，突破了指数函数定义域在由实际问题引出时的“x∈R+”到“x∈R”这个难点；二是通过对幂函数的研究，形成了较为清晰的研究一类函数的基本套路，积累了研究一类函数的活动经验，为指数函数的研究提供了思想方法的基础，对降低指数函数学习难度有很大帮助.

1.2.2注重数学规律的发现过程

爱因斯坦曾经说过：“发现问题比解决问题更重要”.人教A版原教材是直接通过两个问题的引入得出指数函数的概念.而新教材则是“用运算来发现数学规律”，即要求学生根据问题1中给出的两组数据，通过运算探究和发现数据中蕴含的规律.这一改变的意义在于，学生在指数函数概念的形成过程中，由原来的“被告知”转变为“我发现”，强化了用数学的方法探究现实事物规律的过程体验.

1.2.3重视借助信息技术发现数据规律

2 新教材中“指数函数的图像和性质”的变化

在指数函数的图像和性质的研究过程中，新教材延续了原教材由特殊到一般的探究过程，注重借助信息技术画图，由图像进行直观想象，并通过逻辑推理进行归纳、类比、提炼，着重培养学生的直观想象、逻辑推理等素养.

2.1 明确性质的涵义

研究性质，首先必须明确需要研究的问题是什么，指数函数的性质是如何表现的.由于在指数函数概念的形成过程中，学生已经了解了增长和衰减两类模型，他们很容易联想到，对指数函数的研究，可将底数分为两类(即01)进行研究，而且这两类函数的增减性与底数a的取值(与1比)有关.同时，也要让学生明白，研究指数函数的性质既可以从代数(即数量关系)角度入手，也可以从几何(即图像特征)角度入手.从代数角度分析，就是从数量关系入手，用不等式、方程等为工具刻画函数的变化规律以及特殊的取值(函数图像过定点).从几何角度分析，通过指数函数的图像不难发现，指数函数图像都经过定点(0,1)，函数的单调性取决于底数a的取值.而且，从位置看，指数函数的增减性取决于点(1，a)(自变量的值为1时，函数值为底数a)在直线y=1的上方还是下方.

2.2 明确研究性质的方法

2.3 重视知识的实际应用

新教材“指数函数”不仅注重问题背景的真实性，还强调了知识的实用性.新教材不仅对原教材例8(人口增长模型)进行了改编(改编后为例4)，还增加了例2(经济模型和考古模型).

例2：(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.

(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？

浙江大学刘徽教授曾经说过：现代教学应该“为真实而教，为真实而学，为真实而考”.从今年的高考数学全国Ⅰ、Ⅱ卷的命题变化可以发现，这也是新课程理念在高考命题中的一种体现.只有这样才能让学生意识到数学与生活密不可分，才能凸显知识的实用价值和教育的时代力量.

3 如何在课堂教学实践中落实核心素养

章建跃博士明确指出：“数学教育要着眼于学生的长远利益，数学育人要发挥数学的内在力量，充分挖掘数学课程所蕴含的价值观资源，围绕学生数学学科核心素养的发展需要，以培育学生的理性精神、提高学生的数学思维能力为核心，使学生掌握‘四基’、‘四能’，学会有逻辑地、创造性地思考，成为善于认识问题、解决问题的人才.”[1]因此，在课堂教学实践中，我们必须积极落实新一轮课程改革“坚持以人为本，以核心素养为导向” 的教学理念.坚决抵制把课堂演变成以应试为目标的解题教学模式.

3.1 重视探索核心素养的培养途径

3.2 突破核心素养的形成难点

“指数函数”这一节内容的难点是从给出问题中抽象出指数函数的概念、通过数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.例如在突破“指数函数的概念”这一难点时，可以借助研究方法和途径的多样性，通过运算来发现数的变化规律，利用增长率和衰减率抽象出指数函数的概念.因此，教师在课堂教学中应注重对“利用运算来发现代数规律”这一研究方法的引导，渗透数学抽象素养的培养.一方面，面对课本提供的问题1中两组数据的规律探究，利用第一组数据的“增长量不变(定差)”的类比和迁移，突破第二组数据“增长率不变(定商)”的规律发现；另一方面，鉴于函数模型源于生活实际，数据较多，不易处理，学生对“具体情境——发现问题——数学问题——数学表征——数学概念”这样的抽象过程存在一定的困难(学生不习惯从运算的角度去研究两个变量之间的关系，对层层递进的代数化过程，有一定的障碍).在具体教学过程中，借助信息技术的条件支持，利用信息技术的运算功能和作图功能，佐证学生在数学抽象过程中的直观想象，帮助学生对数据规律作出理性判断，从而弥补学生在对“用运算来发现数学规律”的认识上存在的不足.

3.3 落实素养，要着眼于学生的长远发展

在课堂教学中渗透核心素养，不仅仅是培养学生显性的数学学习能力，更主要的是培养学生隐性的可持续发展的能力.英国教育家怀海特曾经说过：“教育是教人们如何运用知识的艺术.当你丢掉你的课本，烧掉你的听课笔记，忘掉你为了应付考试而背诵的细节，你的学习对你来说才是有用的.你所需要的那些细节的知识就像头顶上的太阳和月亮一样，都是显而易见的事实；而你偶尔需要的，都能在任何参考文献里找到答案.”这样的教育，才能够“把营养输送给人生.”[2]

在新教材“指数函数的概念”这一节课的设计中，教材提供的两组数据，是学生自主探究的好素材，在引导学生探究的过程中，教师对自己的角色定位非常重要.在学生探究过程中，教师既要放手让学生探索，又要把握时机恰当适时地引领；同时，在探究中要鼓励学生学会合作和成果分享，共同解决困难，培养学生的团队协作意识；再次，通过对问题中数据规律的研究，让学生学会用数学的方式研究一类变化规律，以及用数学的语言表达规律，在丰富的生活实例中，培养学生终身学习所必需的学习素养和创新能力，感受数学的文化价值、科学价值与应用价值，这样才能使学生牢固树立正确的价值观，才能凸显数学的育人价值.