输入受限的倒立摆系统变结构PID控制研究

路莹昕 韩光信

摘 要：针对输入受限的直线一级倒立摆系统控制问题，本文提出了Anti-windup变结构PID控制器。在输入受限的倒立摆系统中，对传统PID与Anti-windup变结构PID的两重算法仿真实验对比研究，结果显示：Anti-windup变结构PID不仅可以满足输入受限倒立摆系统的控制要求，还具有良好的稳态效果、较短的调节时间和较小的超调量。

关键词：倒立摆系统;Anti-windup;变结构PID

中图分类号：TP13文献标识码：A文章编号：1003-5168（2019）16-0037-02

Abstract： For the control problem of linear inverted inverted pendulum system with limited input， this paper proposed an Anti-windup variable structure PID controller.In the input-constrained inverted pendulum system， the simulation experiments of the traditional PID and Anti-windup variable structure PID were compared. The results show that Anti-windup variable structure PID can not only meet the control requirements of the input-constrained inverted pendulum system， but also have good steady-state effect， shorter adjustment time and smaller overshoot.

Keywords： inverted pendulum system;Anti-windup;variable structure PID

倒立摆系统是一个具有高度非线性动力学性质的固有不稳定系统，对其的控制是一项具有挑战性的任务[1]。作为控制理论的一个典型应用实例，倒立摆系统具有典型的非线性、多变量、强耦合性的特点。该系统属于欠驱动机械系统，控制输入量小于系统自由度，使控制任务更具挑战性。

Windup（积分饱和）现象指由于输入限制或者置换的存在，使实际被控对象的输入和控制器的输出不等，由此引起的闭环系统响应变差的现象，是一种产生于控制器PI/PID积分部分的不良现象。在实际过程中，当有大信号输入或者其他情况，使系统进入饱和状态时，系统的性能会大幅度降低，这时引入适当的补偿环节，能够使系统在饱和状态下也达到其性能指标，而Anti-windup（抗积分饱和）技术就是能实现这种控制目标的技术。本文考虑了倒立摆系统实际存在的控制输入受限情形，研究了基于Anti-windup技术的倒立摆控制系统的建模与仿真。

1 系统数学模型

假设摆杆为刚體，建立坐标系，其中[xt]为小车位置，[?t]为垂直向上方向与摆杆间的夹角。根据牛顿力学原理分析，系统在x轴方向上的力为：

（1）

其中，球的重心随时间的变化由坐标（[xG，yG]）如下：

（2）

把式（2）代入式（1），就得到系统的一个运动方程：

（3）

进一步化简得到系统的简化模型：

（4）

对式（4）进行拉普拉斯变换，得到：

（5）

令[v=x]，则倒立摆的传递函数为：

（6）

2 Anti-windup变结构PID控制

在对倒立摆系统的运动性质和控制性质进行详细分析后可知，倒立摆的平衡状态是使实际位置角度达到的目标位置角度。设定实际位置角度为[?]，目标位置角度为[?d]，为使倒立摆达到平衡，只需[?d-?=→0]即可。因此，本文设计了以角度为目标控制量，以角度偏差为调节量的单回路控制方案。

Anti-windup变结构PID控制思想为对控制输入饱和误差[un-us]进行积分，并通过自适应系数调整将其添加到积分项中。

抗饱和的变结构PID控制器控制思想为加入系数[η]实现积分项的自适应调整，自适应变化率为：

（7）

3 仿真分析

对一级倒立摆系统中各物理参数设定为：

将一级倒立摆模型的实际参数带入式（6）可以得到系统传递函数：

（8）

对传统PID控制的直线一级倒立摆进行Simulink仿真。通过试凑法，得出[Kp=110，KI=200，KD=7.5]时，系统的稳定性好。由于PID控制器为单输入单输出系统，所以控制理想阶跃响应为1，最终通过其达到理想状态的时间来判断倒立摆系统的性能。仿真结果如图1所示。

由图1可知，传统PID控制可以使倒立摆达到理想的平衡位置，但超调量较大，达到稳定时间较长，所以要使实际倒立摆系统得到较为理想的控制，必须采用其他控制方法。通过试凑法寻找PID的参数值，很难寻找最优的参数，并且需要花费大量时间。对Anti-windup变结构PID控制的直线一级倒立摆进行Simulink仿真，设控制输入限制在[-10，10]，且理想的阶跃信号为1，由上述试凑法得到[KP]、[KI]、[KD]分别为110、200、7.5。传统PID的仿真曲线和Anti-windup变结构PID仿真曲线如图2所示。

从仿真结果图中可以清晰看到，在加入约束后，传统PID的仿真曲线在0.2s左右失去控制，远远脱离理想目标曲线，原因在于加入约束后积分饱和系统性能下降，而传统PID控制器是一种线性控制器，只能对某个平衡点及其邻域使用，如果邻域很小，一旦超出，系统就会不稳定，所以传统PID对于输入受限的系统的控制具有局限性。为了解决上述问题，引入了Anti-windup变结构PID，由图2可以看出，在加入约束后，Anti-windup变结构PID仿真曲线在0.8s时达到理想控制状态，调节时间减少，且没有产生超调量，稳定性变好，控制效果比较理想。

4 结论

由于输入受限，实际倒立摆系统输入有时会和控制器输出不等，由此引起系统闭环响应变差，出现大超调现象，从而导致系统不稳定。因为传统PID并不能满足输入受限的倒立摆系统的控制要求，所以本文针对输入受限的倒立摆系统研究了变结构PID，并对其进行Simulink仿真，仿真结果显示，Anti-windup变结构PID不仅可以满足输入受限倒立摆系统的控制要求，而且还具有良好的稳态效果、较短的调节时间和较小的超调量。

参考文献：

[1]温淑焕，朱奇光，王洪瑞.基于RBF神经网络的不确定机器人的自适应控制[C]//第二十三届中国控制会议论文集（下册）.2004.