在初中数学教学中有效渗透分类讨论思想

茹峰

摘 要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

关键词：初中数学;参透;分类讨论;数学思想

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。

一、分类讨论一般应遵循的原则

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

二、有意识地分阶段渗透分类讨论思想

初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。初一数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏;标准不同则分类不同的基本原则。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括出a>0，a=0，a<0时，应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。例如去掉，中的绝对值符号，在解题的过程使学生体会分类讨论的思想方法，学会初步应用。这个让学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程。

三、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。

例1  方程kx2-2x+3=0有几个实数根？

学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分△>0，△=0，△<0三种情况进行讨论。

例2   二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

这两道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之;其次，有时分类并不是一次就可完成，需逐级分类。在此阶段的教学中，应结合具体的例题，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。使学生进一步加深对分类讨论的理解。

四、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

1、有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等

2、数和式的变形中需要附加条件

3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解

4、涉及几何图形的形状和位置的问题

5、开放性的数学问题

6、一般地，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况

例3  解方程：∣X-2∣+∣X+3∣=5

分析：该题是含有绝对值的方程，怎样去掉绝对值的符号化为一般的一元一次方程为解题的关键。由绝对值的定义，求出各绝对值的零点：2，-3，把数轴分成三段：x≥2，-3

五、分类后结论如何归纳

一般情況下，分类讨论后都要对结论进行归纳，这也是解决这一类问题必须的步骤。常见的有三种结论归纳方式：并列形式、并集形式、交集形式。我们把后两种合称为集合运算形式。

（1）并列形式  将分类讨论的结果用并列复句的形式给出。

（2）并集形式  对每类的结果求并集作为最后的结论。

（3）交集形式  对每类的结果求交集作为最后的结论

总之，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。

参考文献

[1]刁卫东：如何运用分类讨论思想解题。《中学数学》1997.5

[2]王燕春：学会分类方法，提高分类意识。《中学生数学》.1998.5

[3]彭林、刁卫东：中考数学命题热点与规律探折。《中小学数学》2001专刊