整体思想的解题方法与技巧

黄剑瑜 南安市联星中学 福建南安 362311

许多代数式的求值没有给定具体字母的取值，而是给出一个代数式的值，且已知代数式中的字母的值无法直接计算出来，这时，我们应想到运用整体代入的思想方法来解决问题，用整体思想求值时，关键是要如何确定整体。下面我就举例探讨如何用整体代入思想来求代数式的值：

一 .直接代入法

例1已知x2-x=3则(x2-x)2-2(x2-x)+2=__

分析 本题是直接代入求值的一个基本题型，x虽然不知道，但我们发现已知式与未知式之间都有x2-x，只要把x2-x看作一个整体代入所求的代数式即可。

解(x2-x)2-2(x2-x)+2=32-2×3+2=9-6+2=5

针对训练 已知x-y=2,则(x-y)2-4(x-y)+3=__

二．变形未知式再代入

例2已知a2-3a=6，则6a-2a2=__

分析这两个式子看起来好像没有太大的联系，其实却存在非常紧密的内在联系，未知式是已知式的-2倍，可对未知式作适当的变形再代入求值。

解6a-2a2=-2(a2-3a)=-2×6=-12

针对训练 已知a-b=4,则6-a+b=__

三．变形已知式再代入未知式

例3 已知a-b=3,a-c=1则 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=__

分析 观察已知式和未知式，它们都含有a-b,c-a=-(a-c),可以整理b-c=(a-c)-(a-b)=-2，再分别代入求值。

解 由a-b=3,a-c=1可得b-c=-2

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=32+(-2)2+(-1)2=9+4+1=14