高中数列内容设置的国际比较—基于八个国家高中数学课程标准的研究

四川省绵阳第一中学(621000) 何志远

重庆市西南大学数学与统计学院(400715) 魏文

一、研究背景

通过在知网上检索关键词“数学课程标准”,并按发表时间的先后排序, 发现我国对数学课程标准的研究大致从20世纪80年代就开始了.若按教育层次来划分,则主要涉及了学前教育、义务教育、高中教育、中职教育、高职教育、高等教育.研究的主要内容包括两个方面：一方面,通过对数学课程标准中某部分内容的分析,并结合各个学段进行的理论及实证研究,换句话说,即是基于数学课程标准下的研究;另一方面,是针对数学课程标准本身的研究,且关于数学课程标准的比较研究较多,既有国内数学课程标准的纵向比较,也有国际间同学段数学课程标准的横向比较.

为了进一步完善普通高中数学课程的体系,深化普通高中课程改革,我国学者们对高中数学课程标准的比较研究日益增多,尤其是国际间的比较.相关研究既有对各国高中数学课程标准的评介,又有对世界主要国家高中数学课程的教育理念和课程目标、主要内容、课程标准呈现方式及各个知识专题(如函数、立体几何、解析几何、概率与统计、微积分以及信息技术)等不同方面进行系统、深入的国际比较研究[1-10].

数列是高中数学重要内容之一,不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用,一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备.近年来越来越多的学者对“数列”的教学有了深入研究[11],对数列部分的教学内容有了激烈的讨论,若对各国数学课标中数列知识主线的顺序进行梳理和比较,可作为我国数列教学的参考.另外,高考历来将“数列”作为重要的考察部分,占据了很大一部分比重.因此,本研究将进一步探讨高中数学课程标准中数列内容的设置,以期对我国高中数学课程的进一步完善提供借鉴.

二、研究设计

(一) 研究问题

本研究主要对八个国家的高中数学课程标准中的数列内容作以下四方面的研究：(1)数列知识总广度如何? 各知识主题的广度如何? (2)数列知识总深度如何? 各知识主题的深度如何? (3)各个国家是如何编排数列内容的知识主线?(4)数列与其他知识的整合情况如何?

(二) 研究对象

研究选取的八个国家分别为中国、韩国、新加坡、日本、澳大利亚、英国、法国、芬兰.从地理位置上看, 八个国家遍布了全球的三大洲,包含发达国家和发展中国家,各国家的经济水平、文化背景各不相同,在挑选的八个国家中,亚洲和欧洲地区的国家比较集中,分别同属于各自的文化圈,有可比性.从国际比较项目来看,国际测试TIMSS 项目和PISA项目中都选择了澳大利亚作为研究对象, 并且澳大利亚在PISA 项目中连续多次高于OECD 平均水平[4].所选取的高中数学课程标准文本材料来源于史宁中、孔凡哲主编的《十二个国家普通高中数学课程标准国际比较研究》[12]和曹一鸣、代钦、王光明主编的《十三国数学课程标准评介(高中卷)》[13](其中芬兰和法国的课程标准文献来源于后者),以便于比较为出发点选取具体版本如下：

表1 八国高中数列内容设置比较的文本

(三) 研究工具与方法

本文主要采用了定性分析与定量分析相结合的方法,在各个国家是如何编排数列内容的知识主线? 数列与其他知识的整合情况如何? 的定性研究中采用比较研究法,在数列内容的知识广度与深度的定量分析中采用内容分析法.

1.广度

课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度[12].为便于统计,本研究用数列内容的知识点数量刻画课程的广度,并延用曹一鸣等人的研究方法[4-6]确定广度基准知识点.由于我国在数列部分的知识点较为详尽,且考虑到语言方面的限制,选择我国的高中数学课程标准作为划分知识主题的基础.在我国的数学课程标准中,数列知识主要包括四个方面的内容：一是数列概念,主要是数列概念和表示方法;二是等差数列,包括等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式、等差数列的应用等;三是等比数列,即等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式、等比数列的应用等;四是数学归纳法.再结合各个国家课标中数列知识的组成,本研究将数列分为五个主题,分别为数列的概念、等差数列、等比数列、数学归纳法、递推公式.在形成知识点框架时,同样以我国的课程标准为基础,分别梳理各个知识主题下的知识点数量,尽可能统计到最小知识点,再依次对其他国家课标中的知识点进行梳理.

2.深度

课程深度泛指课程内容所需要的思维深度[12].本文同样延用曹一鸣等人的研究方法[10],在认知水平划分的4 个层次的基础上,再结合各个国家数列内容设置的实际情况进行了修改(见表2),对于A 层次,B 层次,C 层次,D 层次,分别赋值1、2、3、4,若一个短句中出现两个行为动词,则以较高者统计,然后进行求和,再计算出算术平方根,以此量化数列内容的课程深度.

表2 八国课标中数列内容的认知水平参照表

三、研究结果

(一) 广度的比较结果

从图1 可以看出,中国课标中数列内容的总广度位列第一,领先于其他国家,其次是日本、韩国、澳大利亚、法国、新加坡、芬兰,广度最低的国家为英国.对八国数列内容广度进行求和,计算平均值为9.25,中国、日本、韩国、澳大利亚这四个国家均高于平均值,法国、新加坡、芬兰、英国均低于平均值,且后者与前者差异较大,高低分界比较明显.究其原因,可以发现由于各国家的文化教育背景不同,对内容的设置有所不同.例如英国虽然从统计的结果来看,数列内容的广度最低,但其在数与代数领域的其他内容上有所偏重[4].而中国课标中数列内容广度最高的原因在于中国的课程知识体系下,将数列作为基础知识考察,将知识点细化,考察内容较细.

图1

1.“数列的概念”主题的知识分布

“数列的概念”这部分主要是数列概念、数列的表示、数列的简单计算、数列解决实际问题等内容,是数列内容的基础知识.从知识点数量上来说,数量为3 的居多,其余数量为4,1,0,具体情况如下表：

表3 “数列的概念”主题的知识点分布

通过对表3 的分析可以得出：①澳大利亚没有涉及该主题的知识点, 该部分知识主题最广的是韩国和新加坡,其次中国、日本、法国居于第二位,芬兰和英国居于第三位;②数列的概念作为八个国家课标中较为集中的知识点,其次求和符号的含义与使用、计算数列的各项、数列的一般项以及数列的前n 项和分别都有两个国家涉及,其他知识点较为分散; ③有多个知识点只存在于某一个国家的课标中,且这些知识点较为新颖,例如数列是一种特殊的函数,强调数列与函数的关系;用数列对某现象建模和研究,强调数列作为一种工具在数学建模中的使用;用图表示数列各项,强调数列的另一种特殊表示.

2.“等差数列”主题的知识点分布

“等差数列”这部分主要包括等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式、与函数的关系以及实际问题的解决等内容.中国的知识点数量最多为6,其次是澳大利亚数量为5,日本和韩国的数量为3,新加坡不涉及该部分的知识点,具体情况如下表：

表4 “等差数列”主题的知识点分布

通过对表4 的分析可以得出：①求等差数列的通项公式作为八个国家课标中较为集中的知识点,其次等差数列的前n 项和公式有四个国家涉及,等差数列的概念、等差数列解决实际问题以及等差数列与一元一次函数的关系分别都有三个国家涉及,其他知识点则较为分散; ②中国涉及的知识点较为全面和详细,除去等差数列的递归定义、求等差数列的通项公式和证明等差数列的形式这三个知识点以外,其余知识点均包含.

从以上对“等差数列”这一主题知识点的分析,可以发现“等差数列”这一部分主要注重等差数列相关公式的推导及应用, 有五个国家将求等差数列的通项公式纳入课程标准,四个国家将等差数列的通项公式纳入课程标准,三个国家将等差数列解决实际问题纳入课程标准.另外,在关系研究上,我国课标中不仅提到了等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系,还提到了等差数列与一元一次函数的关系,澳大利亚和法国也关注到了这一点.

3.“等比数列”主题的知识点分布

“等比数列”这部分包括等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、与函数的关系以及实际问题的解决等内容,和等差数列部分的主体内容大同小异.和“等差数列”主题知识点分布相比较,中国、日本、韩国、法国、新加坡、芬兰的知识点数量没有发生改变;英国则没有这一主题的知识点;澳大利亚增加了等比数列中的n 趋于无穷大时表现出来的极限特征这一知识点.由此可鉴,澳大利亚注意到了在引入数列时,数列的极限特征,为数列极限的学习打下了基础,这是在我国数学课程标准中未得到体现的.具体情况如下表：

表5 “等比数列”主题的知识点分布

4.“数学归纳法”主题的知识点分布

“数学归纳法”这部分包括数学归纳法的定义、原理以及应用等内容.包含该主题的国家只有中国、日本、韩国,其他国家没有该部分知识的涉及.这三个国家在知识点数量上几乎没有什么的差异,并且在知识点上都注重了数学归纳法的原理以及利用数学归纳法证明简单例题,都注重了数学归纳法的应用,但在实际问题的解决上只有日本在课标中提到了.具体情况如下表：

表6 “数学归纳法”主题的知识点分布

5.“递推公式”主题的知识点分布

“递推公式”这部分包括理解递推公式、递推公式表示简单数列的一般项以及形如xn+1=f(xn)的简单的递归关系产生的数列这三方面内容.和“数学归纳法”主题一样,也只有三个国家涉及该部分内容,分别是日本、新加坡、芬兰.值得一提的是,日本将“递推公式”这一主题作为单独的一小节内容,可鉴日本对该部分内容的重视程度.另外,对该小节内容仔细研究发现,日本更加倾向将递推公式作为一种工具使用.

表7 “递推公式”主题的知识点分布

(二) 深度的比较结果

图2

从图2 可以看出, 芬兰的课标中数列内容的深度最高,值为3,对数列内容的认知水平主要要求达到D 层次,要求利用数列解决实际问题.澳大利亚位居第二,日本和英国分别居第三、第四.中国的课标中数列内容的深度最低,其原因在于认知水平主要为A 层次和B 层次,这与中国课标中数列内容的广度最高,形成巨大反差.

下面分别从数列内容的五个知识主题进行比较分析,具体情况如下表：

表8 数列各内容主题的总赋值分布

横向观察表8 可以发现,同一知识主题各国的深度不同.“数列的概念”这一主题课程深度的最深的是韩国,“等差数列”最深的是中国,“等比数列”对应于澳大利亚,“数学归纳法”和“递推公式”对应于日本.纵向观察不难发现,同一国家课程标准中不同知识主题的深度不同.中国、澳大利亚、芬兰这三国的课标中“等差数列”和“等比数列”两个主题的深度较深; 日本课标中“数学归纳法”较深; 英国课标中“等差数列”较深;韩国和法国课标中“数列的概念”较深.

中国的课标中“等差数列”和“等比数列”的深度较深也是有据可循的.该部分知识主要位于我国课标中的选择性必修课程,虽然是选择性课程,但迫于我国高考的压力,多数教师讲解的主要内容为“等差数列”和“等比数列”,对于“数学归纳法”、“递推公式”和“数列的概念”讲解较少,必将加大课程的难度.

(三) 各国课标中数列内容的知识主线

表9 八国数列内容的知识主线

对各国数列内容的知识主线进行梳理后(见表9)可以发现,除新加坡外,各国的知识主线中都包含等差数列和等比数列或包含其中之一.特别地,澳大利亚的课标中数列内容的知识主线主要由等差数列和等比数列生成.尽管有这些相同之处,但仍存在着差异：①各国在一般数列和等差、等比数列的编排上有所不同,中国、新加坡、法国、英国、芬兰先学习一般数列再学习等差、等比数列,韩国、日本先学习等差、等比数列再学习一般数列,这体现了从一般到特殊和从特殊到一般的两种不同安排; ②各国家课程标准中数列的递归定义的编排有所不同,中国、日本、新加坡、芬兰先学习数列的一般定义再学习数列的递归定义,而澳大利亚和英国则先学习递归定义.

(四) 各国课标中数列与其他知识的整合情况

表10 八国课标中数列内容的整合情况

从表10 可以看出,中国、韩国、日本、法国、澳大利亚、芬兰都强调利用数列解决实际问题和利用数列对某种现象建模或居其一;中国、澳大利亚、法国都强调了数列与函数的关系;新加坡和英国的课标中无数列内容与其他知识整合的迹象.整合情况较好的是法国,其次是中国和澳大利亚,较差的是新加坡和英国.

四、结论与不足

通过对八个国家高中数学课程标准的比较研究,基于上述四方面的分析,有以下结论：

(一) 各国数列内容的设置差异较大

从知识主题上看, 我国课程标准中共有数列内容的四个主题,分别为“数列的概念”、“等差数列”、“等比数列”和“数学归纳法”.与我国课标知识主题相同的国家只有日本和韩国,其他国家课标的知识主题在这基础上有删减,也有增加.其中,“数学归纳法”和“递推公式”属某些国家特有的知识主题,“数学归纳法”只在中国、日本、韩国的课标中有体现,“递推公式”只在新加坡、日本、芬兰的课标中有体现.

从某个知识主题上看,各国的课标中具体知识的设置和掌握程度不尽相同.例如在“等差数列”这一主题中,日本、韩国、新加坡、英国只要求到等差数列的定义、通项公式、前n项和公式,甚至有些课标中前n 项和公式都没有做要求,但中国、澳大利亚、法国的课标中已经明确要求体会等差数列与一元一次函数的关系,认识其线性特征.再如,关于等差数列前n 项和的公式有的国家课标中要求“会求”即可,而有的国家课标中要求“探索并掌握”.

(二) 我国课标中数列内容的设置呈“广而浅”的特点

在高中数学课程标准的相关研究中,已经有较多研究表明我国的课程标准呈“广而浅”的特点[3][10],对于数列内容的设置也不例外.我国课标中数列内容的总广度位列第一,值为17,但深度的排名却是最低,“等差数列”与“等比数列”这两个知识主题的广度排名最高,但两者的深度却不是最高的.

(三) 我国课标中数列内容的要求与现实情况差异较大

从比较结果来看,我国课标中对数列内容的要求与现实的教学、考试等情况相差较大.例如课标中强调用等差、等比数列解决实际问题,感受数学模型的现实意义与应用,而高考考察的内容几乎没有实际问题的涉及,通常仅是复杂的计算,这不得不引发对数列内容设置的进一步思考.

当然,由于各国的文化背景不同、教育环境和教育手段也不同,本文的研究也不完善,缺乏落地的考察.对数列内容设置的比较,仅通过对课标的解读是远远不够的,例如我国普通高中课程标准实验教科书数学必修5 人教A 版[15]中对“递推公式”作了简要的介绍,而课标中没有明显的说明.因此,还需对各国教材数列内容的编写、教师的教学等方面进行探讨.