“点到直线的距离”教学实录

广东省珠海市第一中学(519000)乐锐

关键字 公式推导;公式应用

1、引言

2018年5月广东省中学青年教师数学问题讲授核心片段展示决赛在广州拉开了序幕,笔者有幸代表珠海市参加了此次比赛,执教了一节研究课——“点到直线的距离”.由于笔者所在学校是一所国家级示范普通高中,学生的数学基础扎实,有较强的逻辑思维,所以笔者将“点到直线的距离”的第一课时的教学目标定为学生能掌握公式的推导过程,通过引导学生从代数和几何两个视角解读公式的推导过程,启发学生自主探究,不断优化公式的推导过程,提升学生逻辑推理素养、运算素养和数学建模素养.下面将本节课的核心教学片段予以展示,与同行交流.

2、教学实录

2.1 课前活动

课前十分钟提醒学生复习“两条直线的交点坐标”和“两点间的距离”的内容,预习今天上课的内容“点到直线的距离”,并提问“回忆之前有没有学习过符合点到直线距离的几何概念”.一方面是使学生温故而知新,对即将学习的知识有初步的感知;另一方面是激发学生的探索精神,主动构建点到直线的数学模型,感受几何图形的魅力.

2.2 情境创设

问题1如果你是一位工程师,现在需要你设计一个方案,(多媒体演示)如图1,在铁路的附近,有一座仓库,现要修建一条公路使之连接起来,那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少?

图1

教师：请同学们拿出纸、笔、直尺动手画一画,然后告诉老师你的设计方案.

学生：可以从仓库向铁路做垂线,沿垂线段铺设公路可使其最短.

教师：把仓库记为点,铁路记为直线,刚才的方案设计就是今天学习的内容“点到直线的距离”如何给点到直线的距离下个定义呢?

学生：过点做已知直线的垂线,垂线段的长即点到直线的距离.

教师：课前给同学们提的问题现在有想法了吗?

学生：三角形的高.

教师：同学们说的很好,三角形的高其实就是顶点到底边所在直线的距离.

设计意图1、进新概念、新理论时,让学生先有准备,能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的.只有利用这种方法,学生才能更直观地理解并有兴趣掌握所学的知识.因此,通过实际问题,创设情境,呼应数学来源于生活,激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望.2、从感性认识上升到理性认识,用数学语言表述需准确、精炼、具有高度概括性.此处,为了训练学生的表达能力而设计,同时为用定义法求点到直线的距离埋下伏笔.

2.3 点到直线公式的推导

问题2已知点P0和一条直线l,求点P0到直线l的距离,让学生进行分组讨论,合作探究,并请各小组选派代表详细阐述距离公式的推导过程.

第一小组：要求点要线的距离,已知P0的坐标,根据点到直线的距离的定义即可转化为已知点到垂足的两点距离,这就需要求垂足Q的坐标,再由两点间的距离公式即可求出距离,垂足Q是由直线与其垂线相交形成的,那么只要把两条直线的方程联列,解方程组就可以得到Q的坐标,这么现在就需要已知直线的垂线方程,根据垂直的判定定理可以求出垂线的斜率,而此垂线是经过已知点的,再根据点斜式求出垂线方程即可.

第二小组：将证明思路整理成为流程图如下

第三小组：给出了严谨的代数证明

证明根据定义,点P0到直线l的距离是点P0到直线l的垂线段的长,设点P0到直线l的垂线为l′,垂足为Q,由l′⊥l可知l′的斜率为所以l′的方程为：y-y0=与l联列方程组解得交点则根据两点间的距离公式

第四小组：以上几组都没有考虑特殊情况,即直线l和其垂线l′两条直线有一条斜率不存在的情况,所以证明是不严谨的,应该先从特殊情况入手,直线l平行于x轴时,距离为直线l平行于y轴时,距离为但观察得到当A= 0 或B= 0 时点到直线的距离也可以适用于此公式,比如当A= 0 时,所以,得到结论点P0到直线l:Ax+By+C= 0 的距离公式统一为

第五小组：由之前的讨论,角形的高其实就是顶点到底边所在直线的距离,可以从几何角度出发构造直角三角形模型,通过面积相等推导得出点到直线的距离公式,证明如下：

证明过点P0作P0N平行于x轴交l于N点,过 点P0作P0M平 行 于y轴 交l于M点,求得M点的坐标为所以|P0M|=同理求得点N的坐标为所以|P0N|=在R t△MP0N中,P0Q是斜边上的高,所以得证.

教师：同学们充分利用所学知识,比如流程图、分析法、代数法和几何法得到点到直线的距离公式的统一形式,观察可以发现：公式的分子部分的绝对值里面的多项式是将点P0(x0,y0)代入直线l:Ax+By+C= 0 方程的左边得到的;分母部分的开方里面的多项式是直线方程x系数的平方加上y系数的平方.公式具有结构美、和谐美、容易记忆的特点.第四小组的同学发言完善了其他小组的证明过程,得到了公式的统一形式,进一步体现了数学思维的严谨性.那么,请问第二小组的同学,你们用代数法给出了详细的证明,在推导过程中有怎么样的感觉?

第二小组：1、Q点坐标很难求; 2、即使求出Q点坐标,使用两点间的距离公式计算|P0Q|时计算量太大;3、需要多人合作探究,很难独立完成公式的推导.

问题3同学们感受到求Q点坐标后带入两点间的距离公式求距离的计算量很大之后,这时候能不能设出Q点坐标Q(x1,y1)而先不去求该点坐标,只是作为中间变量呈现,此时,已知P0(x0,y0),结合Q点在直线l上也在垂线l′上,构造出两点间距离公式中的(x0-x1)和(y0-y1)呢? 请同学们独立思考后尝试给出推导过程,是否减少了计算量呢?

五分钟后请学生板书如下：

垂线方程：(x0-x1).

设Q(x1,y1),则将两式分别平方并相加,得A2+B2(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2,所以

教师：这种设出点的坐标但又不直接求出来的方法称为“设而不求”,在使用过程中还往往伴随着“整体代换”思想,大大减少了计算过程,体现了数学的内在美,结构美,实在是妙!

这种方法在今后学习解析几何知识时会经常应用到.观察出现,使得点到直线距离公式时,直线要先化成一般式方程,这一点尤其重要.接下来,我们通过例题来熟悉一下公式,请同学们动手动脑,快速做出答案.

设计意图这一部分应该是本节课的亮点,由于计算量过大,同学们在计算过程中也意识到“求出垂足的坐标后再带入两点的距离公式”这部分过程应该可以简化,但确不知该如何简化,这时候引入解析几何中较为重要的“设而不求”的思想方法最为合适,大量降低了计算量,在学生亲自动手实践之后,经历对比,极大的引起学生的兴趣,而且构造的多项式对称美观,感受数学的魅力.通过对知识的及时升华,学生有意识的进行创新,教师的启发会促使学生实现知识的迁移,进而解决其它同类型的问题.

2.4 学以致用

例1求点P(-1,2)到下列直线的距离：

(1)3x=2; (2)2x+3y-1=0;

(3)y=-2x+10.

教师：请同学们来回答一下.

三位同学回答正确.

例2已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.

教师：我们通过多媒体展示某同学的解答,该同学提供了两种解法：1、将△ABC补成矩形再减去三个小的三角形面积得到答案;2、将线段AB作为底边,运用距离公式求出点C到直线AB的高,再通过三角形面积公式求出面积.

2.5 巩固提升

1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( )

2.若点P在直线3x+y -5 = 0 上,且点P到直线x-y-1=0 的距离为则点P的坐标为( )

A.(1,2)B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)

3、点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0 的距离等于3,则a的值等于____.

教师：第一小题大家一起说出答案.

学生：第二小题设点P(x0,-3x0+5),通过点到直线的距离得到关于x0的方程,进而可以解出x0,得到P的坐标,第三小题同样是构造关于a的方程解出a的值.

教师：同学们回答的很好,能运用距离公式解决有关距离的综合问题,能解决含参数的问题,非常好!

2.6 课堂小结

教师：回顾本节课,同学们学到了哪些知识?

学生：(1)学习了点到直线的距离公式以及推导; (2)解析几何的学习要加强计算能力的培养; (3)学习了“设而不求”法、“数形结合”和“整体代换”的思想.

教师：大家总结的很好.数学学习不仅仅需要善于思考,更需要大胆探索的精神,要敢于表达自己的想法,善于和别人合作.