2019年高考全国I卷数学试题特点分析与教学思考

广东省广州市教育研究院(510030) 曾辛金

2019年全国高考数学I卷命题的主要依据是《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)、《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲—数学(文、理科)》(以下简称《考试大纲》)和《2019年普通高等学校招生全国统一考试(课标卷)考试大纲的说明—数学(文、理科)》(以下简称《考试说明》).

2019年高考数学I卷试题突出学科素养导向，彰显数学学科特色，注重理性思维能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，适度创新，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，重点考查考生分析问题、解决问题的能力.在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务.

一、2019年全国高考数学I卷试题特点分析

(一)考查内容分布

2019年全国高考数学I卷试题考查的知识点涉及集合，函数、导数与不等式，数列、推理与证明，算法，平面向量与三角，概率与统计，立体几何，解析几何，复数，计数原理(理科)等必考知识板块，以及坐标系与参数方程、不等式选讲等选考内容，并渗透了数学文化的考查.具体考查情况见如下的表1、表2.

表1：2019年全国高考数学I卷文科数学试卷考点分布

表2：2019年全国高考数学I卷理科数学试卷考点分布

说明(1)2019年全国高考数学I卷考查的覆盖面广，每个模块的内容都有涉及，且基本与教学课时的比例相当.除了考查了《考试说明》中界定的“数学基础知识”(包括函数和导数、数列、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、统计与概率、算法)外，还考查了集合、复数等数学基础知识，并根据《考试大纲》修订的要求，考查了数学文化.

(2)为了与新一轮课程改革对接，有些知识点的考查作了适应的调整，如2019年全国高考数学I卷文理科都没有考查“三视图”和“线性规划”这两个往年的常考问题； 必考解答题的顺序作了一定的调整，如概率统计题，文科放在第17题，理科放在第21题；选考题的考查方向有所调整、难度有所加大.

(3)2019年全国高考数学I卷文理科相同的题目明显增多，除了两道选做题文理科内容与要求完全相同外，文理科相同的题目还有7 道(选择题6 道，填空题1 道)，文理科立体几何解答题第(1)问也相同，相同题目的分值达到51 分，占总分三分之一强，为新一轮高考数学不分文理科的改革继续进行积极的探索.

(二)试题特点分析

2019年全国高考数学I卷文理科试卷遵循《考试大纲》和《考试说明》的各项要求，注重基础、体现方法、突出思想、考查能力，考查考生的数学素养和探究意识，注重能力立意，突出考查考生的逻辑推理能力，体现数学的科学价值和理性价值.文理科两份试卷覆盖中学数学的主干内容.试题科学、规范，设问新颖、灵活.将知识、能力和素养融为一体，全面检测考生的数学核心素养，力争体现“多考点思维，少考点运算”的命题指导思想.试题彰显“基础性、综合性、应用性、创新性”.

1.突出基础知识，力求全面考查.

《课程标准》认为，学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容.评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧.

2019年全国高考数学I卷文理科试题的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能和基本方法.如文科试卷中的1-10 和13、14、17、18、19，理科试卷中的1-9 和13、14、17、18、19 等都是直接考查基础知识和基本方法的试题.试卷还注重对高中所学内容的全面考查，集合、复数、程序框图、平面向量等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查.试题有利于引导中学注重基础知识、基本概念的教学.

例1(文科10)双曲线C := 1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )

A.2 sin 40°B.2 cos 40°C.D.

说明本题主要考查双曲线渐近线方程、离心率的概念，以及同角三角函数的运算等基础知识，重在对概念的理解与数学运算的素养.

例2(文理科13)曲线y = 3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____.

说明本题主要考查导数的几何意义、直线方程等基础知识，是考生耳熟能详的问题，但尚若求导不过关将前功尽弃.

2.强化综合训练，凸显主干内容.

《考试大纲》指出：对数学基础知识的考查，要求既全面又突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.

也就是说，对数学基础知识的考查有三方面的要求.一是在全面考查的基础上，以较大的比例突出对重点知识的考查，以此构成数学试卷的主体；二是并不刻意追求考查的知识点的百分比，而是强化知识的纵向发展与横向联系，把握知识的综合性；三是站在学科的整体高度和思维价值的高度，将试题设计的着眼点定格在知识网络的交汇点处.2019年全国高考数学I卷文理科试题基本上体现了这三方面的要求.特别着眼在知识网络交汇点设计试题.

2019年全国高考数学I卷文理科试题，对数列，三角函数，概率与统计，立体几何，解析几何，函数与导数等主干知识进行了重点考查，必考题部分文理科均为115 分，占必考题部分分值的76.7%.

例3(文科18)记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=-a5.

(1)若a3=4，求{an}的通项公式；

(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n 的取值范围.

说明本题主要考查等差数列的概念、通项公式、前n项和公式、解不等式等基础知识，重在考查方程思想.本题第(2)问的设计不落熟套，不是简单的数列求和，而是与不等式结合在一起，看似简单的问题蕴含着思维的严谨性，给人耳目一新的感觉.

例4(理科20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x).f′(x)为f(x)的导数.证明：

(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；

(2)f(x)有且仅有2 个零点.

说明本题主要考查函数的导数、极值、零点等基本概念.考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.本题一改往年以求解问题为主，两问均以证明的形式出现，实属少见，另外已知函数为三角函数与对数函数的组合函数，也罕见出现.

3.加强应用意识，体现“五育”并举.

《考试大纲》指出：对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.

2019年全国高考数学I卷文理科试题对应用能力与数学文化进行了适当考查，文理科第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育；文科第6题以学校对学生体质状况进行调查为背景考查学生的系统抽样知识，理科第15题以乒乓球比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育；理科第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合问题，体现了中国古代的哲学思想；文科第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果.这些情境结合社会现实，问题背景贴近个人实际生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，在培养考生的应用意识、提升考生解决实际问题的能力方面有着很好的引导作用，体现了新课程注重情感态度价值观、过程、实践与应用的教学理念.

例5(文理科4)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )

图1

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

说明本题主要考查黄金分割比例的含义、应用比例式列方程求解等基础知识，考查考生阅读理解能力和估算等能力，考查类比归纳与合情推理，体现了逻辑推理和数学运算素养，既渗透了数学文化，又融入了美育教育.题目所涉及的知识点并不是高中教学内容，但《考试大纲》明确指出：能根据要求对数据进行估计和近似运算，体现了对学生创新能力和创新意识的考查要求.

例6(理科6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是( )

图2

说明本题主要考查排列组合的概念与计算、古典概型等基础知识，本题只要理解了阳爻“——”和阴爻“——”的区别，转化为重复元素的排列问题即可解答，让考生在答题中了解我国的优秀传统文化.

4.适度创新尝试，落实数学素养.

《考试大纲》指出：对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.

以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，是多年来我国高考数学命题的基本指导思想.2019年全国高考数学I卷文理科试题在创新方面作了一定的尝试，如理科第21题将概率统计问题与数列问题融为一体，选做题的形式一改往年的“固定模型”，考了平时复习认为“偏门”“冷门”的题型，这一信号再次说明依靠“题海战术”的备考思路已成死路.

新一轮的课改即将实施，数学核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析)等考查在数学I卷试题中得到充分体现，数学运算几乎涉及到所有题目；文科第16、19题，理科第12、18题考查了直观想象；文科第6、17题，理科第15、21题考查了数据分析和数学建模；文理科第4、20、21题，理科第6、21题考查了逻辑推理和数学抽象等.

例7(理科21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X 的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i =0,1,··· ,8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0= 0，p8= 1，pi=api−1+bpi+cpi+1(i = 1,2,··· ,7)，其中a = P(X = -1)，b=P(X =0)，c=P(X =1).假设α=0.5，β =0.8.

(i)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

说明本题主要考查随机变量的概念、变量的分布列、等比数列的定义等基础知识，本题将概率统计问题与数列有机地结合在一起，用数列求解的数据说明“实验方案的合理性”，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理素养，凸显了对学生创新能力和创新意识的考查要求，为“服务选拔、导向教学”给予了较好的诠释，让靠“题海战术、刷题取胜”的备考做法无果而终.

例8(文理科23)已知a,b,c 为正数，且满足abc = 1.证明：

说明本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需考虑取等号的条件能否成立.老师和学生在平时的备考中对不等式证明关注不够.

2019年的选做题的命题方式与难度较往年有明显差异，第22题难在“消参”，第23题难在“1”的活用与“三元均值不等式”的运用，虽是“预料之外”，却在“情理之中”.

2017年版《高中数学课程标准》明确指出“命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，…”，2019年全国课标I卷试题在开放性问题和探究性问题方面也作了大胆的尝试.如全国I卷文科第21题第(2)问就是开放性的探究问题；理科第11题是一道开放型的多选题.

例9(理科11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数；

③f(x)在[-π,π]有4 个零点；

④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是( )

A.① ② ④ B.② ④ C.① ④ D.① ③

说明本题主要考查三角函数的基本性质与图像，考查考生分类讨论的数学思想.考生需要根据题目所给的函数，逐步判断四个结论的真假，做出正确的选择.本题通过组合式选择构成单选题，意在为未来可能命制的“多选题”做铺垫.

二、几点教学思考

高考数学试题是高考试题中的一个组成部分，在为高校选拔新生中具有较强的选拔功能.高考数学的考试宗旨是测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查数学核心素养.近几年来的全国卷高考数学试题，始终坚持以《考试说明》作为高考命题的依据，从整体来说既有稳定的风格，又有新颖的创意，布局合理，考查全面，强化基础，突出能力，对中学数学教学具有良好的导向功能，对数学教学改革有较好的推动作用.通过对全国卷高考数学试题命题的研究与分析，提出如下几点教学思考：

(一)了解内容变化，紧扣《考试说明》.

《考试说明》是高考数学命题的“航标”，对《考试说明》与《考试大纲》的比较研究很有必要.

1.必考部分考试范围与要求

2019年考试__大纲__________内容2019年考试说明内容______________________________________________________考试说明对比考试大纲主要区别增加的内容：1.函数分段不超过三段.2.会画底数为2,3,10, 1 2, 1函数概念与基本初等函数3 的指数函数的图像.3.会画底数为2,10, 1 2 的对数函数的图像.减少的内容：根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的_________________________________________________________________________________________________________近似解.立体几何初步减少的内容：1.会用中心投影的方法画出简单空间图形的三视图和直观图.__________________________________________________________________________________________2._会画某些建筑物的视图与直观图.平面解析几何初步改变的内容：空间两点间的距离公式由“会推导”改为“会简单应__________________________________________________________________________________________________用”，加深了考查力度.统计增加的内容：_____________________________________________________________________________________________线性回归方程系数公式不要求记忆.概率减少的内容：在计算古典概型中，删去了“用列举法”，对计算方____________________________________________________________________________________________________法的要求不作限制.数系的扩充和复数的引入(理科)增加的内容：能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上用点或向量所对应的复数用代数形_________________________________________________________________________________________________________式表示.计数原理(理科)减少的内容：_______________________________________________________________________________________________能用计数原理证明二项式定理.概率与统计(理科)增加的内容：会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.减少的内容：在独立性检验中，删去了“只要求2×2 列联表”.改变的内容：将“理解超几何分布及其导出过程”改为“了解超几__________________________________________________________________________________________________何分布”，降低了要求.统计案例(文科)减少的内容：在独立性检验中，删去了“只要求2×2 列联表”.改变的内容：对回归分析与独立性检验都“通过典型案例”了解，_______________________________________________________________________________________________________降低了要求.推理与证明减少的内容：删去了“了解间接证明的一种基本方法—反证法”，____________________________________________________________________________________________________没有改变考查要求.框图(文科)改变的内容：对程序框图、流程图、结构图都要求“通过具体实__________________________________________________________________________________________________例”了解，降低了要求.

2.选考部分考试范围与要求

2019年考试_大纲内________容2019年考试说明内容___________________________________________________考试说明对比考试大纲主要区别坐标系与参数方程减少的内容：删去了“通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义”和“了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别”；删去了“了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程”和“了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用”.改变的内容：将“能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程”改为“能选择适当的参数写出直线、圆和_________________________________________________________________________________________________椭圆的参数方程”.不等式选讲减少的内容：了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；会用向量递归方法讨论排序不等式；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；会用数学归纳法证明伯努利不等式，了解当n 为大于1 的实数时伯努利不等式也成立； 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值； 了解证明不等式的基本方法：…、反证法、_____________________________________________________________________________________________________放缩法.

通过上述比较，使得我们对备考内容有了更加微观的了解，备考的针对性更强.

(二)明晰教材作用，切实抓好“双基”.

高中数学教材的编写是以《课程标准》为依据，其中的基础知识和基本训练，是学习数学的主体，因此，教师不但在平时的教学中要教好课本，用好课本，就是到了复习阶段，也要以课本为主，充分发挥教材中知识形成过程和例题的典型作用.基本训练也要以课本的习题为主要素材，一定要克服“眼高手低”的毛病，在没有扎实抓好基础知识和基本训练之前就去攻难题、搞综合提高，肯定不会有好的效果.即使解难度较大的压轴题时，也要不断联系基础知识和基本训练，充分体会基础数学的通性通法在解题中的作用，做到基础知识和基本训练常抓不懈，因为压轴题也是由若干道基础题综合而成的.

在复习备考时，要以课本知识为本，对课本上的例题、知识点加以概括、提高和延伸，使之起到举一反三，逐类旁通的效果.在复习时，要充分挖掘教材例、习题的功能，深刻理解教材实质，挖掘教材内涵，利用课本辐射整体，实现“由内到外”的突破.在每年的高考数学试卷中都有部分试题源于教材，高于教材，特别是选择题与填空题，绝大多数是教材上的例、习题改编的，在解答题中也不乏有教材上试题的影子(或直接用教材上的定理或公式).

例1(2013年全国课标I卷理20 文21)已知圆M : (x+1)2+y2= 1，圆N : (x-1)2+y2= 9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A,B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

说明本题主要考查两圆的位置关系、椭圆的定义等基础知识，考查逻辑推理和数学运算素养，以及数形结合、化归与转化的数学思想方法.本题源于教材(见2007 版人教A 版教材“选修2-1”第50 页B 组第2题)，高于教材.这种直接以教材例习题为素材，以学生熟悉的内容为考题的命题思路已频繁出现在高考试卷中，需要在教学中不断落实.

(三)发展数学能力，着眼创新实践.

高考作为高校选拔人才的考试，能力考查始终摆在重要的位置上.为了更好地突出高考的选拔作用，数学试题的命题强调“以能力立意”.以能力立意命题，是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合性和灵活运用.这要求考生能善于抓住问题的实质，能对试题提供的信息进行分检、组合和加工，寻找解题途径.这样的问题，无现成的题型、模式或方法可套用，需要的是创造精神和创新意识，因此，在教学和复习的过程中，培养和逐步提高学生的创新能力就尤为重要.

图3

例2(2017年全国课标I卷理16)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分 别 是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为____.

说明本题主要考查图形折叠、三棱锥体积、函数与导数等基础知识，考查直观想象和数学运算素养，以及数形结合、化归与转化的数学思想方法.本题由立体几何中的折叠问题演化而来，以三棱锥体积的最值为突破口，以导数为计算工具，既有综合性又有一定的创新，需要掌握“空间问题平面化”等解题手段.

(四)注重解题研究，强调通性通法.

“问题是数学的心脏”.学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，因此要重在研究解题的方向和策略，要强调通性通法是学会解题的灵魂.要善于在解题过程中不断总结经验，积累解题思维方法，不仅要“知其然”更要“知其所以然”.

解题的具体表现为：能否从题目的条件或结论中获得确切的信息；能否从记忆系统中提取与题目有关的信息；能否将从两方面提取的信息有机地对接；能否条理化地整理形成解题过程；能否对解题过程进行有效的反思，这些都是数学能力的体现，其中具体地融化了数学运算、逻辑推理、直观想象等数学素养，以及分析问题与解决问题的能力.

例3(2019年全国课标I卷文20)已知函数f(x)=2 sin x-x cos x-x，f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a 的取值范围.

说明本题主要考查函数的导数、零点、单调性等基础知识，考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学素养，以及数形结合、等价转化等数学思想方法.解决不等式成立问题常有三种常规方法：一是通过作差比较，然后判断符号；二是通过分离参数，重新构造函数；三是通过分离函数，利用数形结合.

(五)加强心理疏导，提高应试能力.

培养与提高学生的心理素质，做好学生的心理思想工作，是每个中学教师在教学中应尽的义务.高考是一场高厉害的考试，竞争特别激烈，在每个考生的心理上都有相当的恐惧感.由于高考备考时间较长，容易出现过度疲劳，对高考的恐惧造成高度的思想紧张，不仅影响学习，时间长了，还会导致神经衰弱，甚至造成更严重的后果.因此，作为教师不但要指导和辅导学生认真复习，而且还要多方面地关心学生的生活以及各种活动.深入研究学生的学习心理，掌握学生的心理特点，做好相应的调控工作，使得他们能以最佳的心理状况去迎接高考，是每位教师的责任和义务.

总之，高考数学备考是一个系统工程，涉及到方方面面，需要有系统的认识.数学复习，最忌不顾实际水平和能力，一味追求做偏题、难题、怪题，一门心思讲奇思妙想.在备考过程中，切忌好高骛远，应正确地估量考生的实际水平，了解考生的数学成绩，扎扎实实地从实际水平开始，方能得到有效的提高.高考数学试题有较强的区分度，能有效地检测出考生的不同层次(包括不同的知识水平和不同的数学能力).体现在客观题上，有从易到难的一个合适的坡度；体现在解答题上，多数的试题有几个明显的层次，入口宽，路子多，深入难.在复习备考中，应该提倡按实际情况制定合适的复习计划、方针，使所有考生都能在各自的基础上得到最大限度的提高.