随机利率下的半连续型寿险责任准备金——基于单因子CIR模型

黄洪瑾（安徽财经大学，安徽蚌埠233030）

一、引言

20世纪70年代后期，利率市场化趋势逐渐在世界范围内显现，随之带来的利率风险对世界寿险业的稳定经营产生了极大的消极影响。 许多国家的寿险业在不断发展的同时，没有针对利率风险采取相应的预防措施，使得寿险业陷入市场萎缩、巨额利差损，甚至破产清算等困境。

中国的寿险业也同样面临着利率波动带来的巨大利率风险。 目前，我国银行同业拆借利率、银行间债券回购利率已放开管制，贷款利率浮动区间多次增大，这些现象均体现出我国利率市场逐步由行政管制转向市场化运行。 与此同时，我国寿险费率也在朝着市场化的方向发展。 1999年，保监会规定寿险产品预定利率不得超过2.5%；2005年12月，中国保监会发布了“中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）”，放开了死亡率，这是我国寿险产品费率市场化的重要一步；2010年7月，《关于人身保险预定利率有关事项的通知（征求意见稿）》由中国保监会发布，决定放开传统人身保险预定利率；2013年8月，中国保监会启动了普通寿险费率政策改革，取消2.5%的预定利率上限限制，新的费率政策从8月5日起正式实施。

通常情况下，一份寿险保单的持续时间长达十几年甚至几十年，在这期间利率出现波动的可能性极大，加上保险公司的投资通常以复利计，这就导致即使合同开始时的预定利率与实际利率相差很小，经过几十年的资金使用后也会产生相当大的差距。 传统的寿险准备金的评估都是在固定利率下进行的，预定利率假设一般都是一个确定的值，特别是在早期的准备金评估中，预定利率甚至从始至终都保持不变，仅仅根据特定的险种和保单期限而有所不同。 这种准备金的评估方式显然不能很好地规避利率市场化背景下的利率风险，从而会威胁到寿险公司的经营管理。 由此可见，研究随机利率下的寿险责任准备金意义重大。

二、文献综述

国内外学者在随机利率下针对寿险责任准备金计算问题的研究并不是很多，Frees（1990）和Norberg（1991）在全离散型缴费方式的基础上研究了责任准备金的问题，他们也是首次研究寿险责任准备金的学者。 随后，一些学者开始认识到随机利率对寿险准备金的重要影响并对此进行了相应的研究。 Lai and Frees（1995）检验了随机利率下准备金的变化，采用了ARIMA 和ARCH 模型产生连续型利息力δt；Whitesell（2006）对准备金制度与利率走廊进行了评价，并给出了一类随机利率下的精算模型；Wei and Ge（2014）通过与泊松过程相关联的反射布朗运动建立了随机利率模型，给出了半连续准备金的一般表达式；Suk-Joong and Nguyen（2008）则研究了利率变动对准备金产生的影响。

国内对于寿险责任准备金的研究开始较晚，蒋庆荣（1997）研究了在随机利率下终身寿险的纯保费和责任准备金的精算问题。 赵静宇和李秀芸（2008）使用Vasicek 模型和CIR 模型模拟随机利率，得出了全离散型寿险责任准备金的评估结果；郭欣（2013）考虑对随机利息力分别采用正态分布和布朗运动建模，在死亡服从De Moivre 假设下，得到完全离散型均衡纯保费以及责任准备金的一般表达式，并对相关的风险进行分析；郑苏晋等（2017）选择Vasicek 模型，利用蒙特卡洛法模拟利率，考察了“偿二代”下利率风险最低资本的度量问题，发现标准法与蒙特卡洛模拟法存在较大的差异；刘凌晨等（2017）基于随机利息力自回归条件异方差ARCH 模型，推导出了n年递减非均衡给付定期寿险的均衡保费公式、责任准备金计提公式和风险计算公式。

综上所述，多数学者在研究随机利率下的寿险准备金时都是对利息累计函数进行联合建模，这种方法无法直接反映利率的波动对寿险公司带来的影响，本文将直接以利率为研究对象，这样有利于寿险公司预定利率的设定以及对责任准备金的提取。

三、寿险责任准备金基本理论

寿险公司在经营过程中面临的一个重要问题就是公司的资产能否满足属于保单所有者的负债额，人寿保险的保障功能也是通过足够的资产来实现的。 在一般寿险公司的负债项目中，85%以上都是责任准备金负债，准备金在数额上的轻微变化都会影响到寿险公司在某个时期的经营。 因此，如何对责任准备金进行准确计算对于寿险公司而言是一个十分重要的问题。

寿险责任准备金的计算方法主要有Fackler 逐年累积法、 过去法（Retrospective Method）以及未来法（Prospective Method）。 Fackler 逐年累积法指的是任何一年的准备金都是存在于上一年准备金的基础之上，计算较为烦琐；过去法的基本原理是在计算准备金的时刻，准备金等于保险人所收的纯保费积存值与已经支付的保险利益的积存值之差；未来法的计算原理是：未给付的保险利益在t 时刻的现值等于t 时刻的期末准备金加未收纯保费在t 时刻的现值。这三种计算准备金方法各有利弊，在现实情况中，计算责任准备金时使用的方法通常是未来法。

寿险责任准备金按照投保人缴费以及保险人赔付的方式可以分为以下三种，见表1。

表1 寿险责任准备金类型

显然，在现实生活中，生存期初缴费、死亡即刻赔付的半连续型责任准备金更为合理。 因此，本文主要讨论半连续型责任准备金的计算方法。 下面给出了固定利率下，使用未来法计算半连续型寿险（h年缴费终身寿险）的纯保费责任准备金的常用计算公式：

四、利率变动对寿险责任准备金的影响分析

影响寿险公司责任准备金计提的因素主要有死亡率、 利率以及不同的保险计划。 其中，利率对于准备金的计提有着显著的影响，从理论上来说，市场利率越低，准备金就越高。 造成市场利率与准备金之间反向变动的原因主要有两点：第一，当市场利率下降时，寿险公司的预期收益也会随之降低，较低的预期收益需要较高的准备金来弥补；第二，在未来法下，利息率越低，用来计算准备金的贴现因子就越大，由此计算出的准备金的数额也就随之上升。 下面将通过我国寿险业近些年的实际数据分析利率变动对准备金的影响。

（一）样本数据选取

本文根据银保监会公布的2018年人身保险公司原保险保费收入情况，选取了原保险费收入靠前的五家保险公司作为研究的样本，这五家保险公司分别是中国人寿保险股份有限公司、中国太平洋人寿保险股份有限公司、中国平安人寿保险股份有限公司、泰康人寿保险股份有限公司以及新华人寿保险股份有限公司，样本数据来源于EPS 数据平台①，整理后的数据见表2。

表2 2006-2017年样本公司统计数据（单位：百万元）

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017总资产 1226257 309641 596568.52 201418.5 206560.6准备金 802895 201249 293515.2 160580.2 153122.9保费收入 295049 61998 132298 67010.8 65040.22总资产 1410579 378949 761662.52 293482 304452.4准备金 1000483 258797 348081.6 124577 220497.8保费收入 318228 87873.33 92645.01 65459.7 91679.08总资产 1583907 460629 849781.62 351074.1 386595.3准备金 1179257 314707 408665.6 172695.4 277352.6保费收入 318252 93203.1 118967.4 67937.39 94796.67总资产 1898916 558077 1036993.4 414187.9 493559.6准备金 1359894 372730 472455.7 213092.9 342789.9保费收入 322739 93460.8 128771.2 61577.64 97718.52总资产 1972941 588381 1164266.5 441502.7 565787准备金 1461267 426736.4 554008 246784.2 403348保费收入 326283 95101.22 146090.4 61123.88 103639.8总资产 2246567 673894 1378694.9 527396.5 643609准备金 1558970 476575.1 654422.8 261786.1 452805保费收入 531003 98691.73 173994.8 67904.39 109868.3总资产 2448315 760066.8 1648210 569883 659360准备金 1652763 523361.6 768283.5 284746 491441保费收入 363969 108589.3 208447.6 76029.36 111858.6总资产 2696951 850195.1 1858617.9 566042 699181准备金 1762932 589799.2 895047.2 292166 502493保费收入 430495 137362.3 275181.5 89840.74 112559.8总资产 2897591 977185.9 2254007.8 640567 710275准备金 1915324 681766.3 1080246 324661 523016保费收入 511963 173982 368934.3 115372 109293.5

（二）权重分配与准备金率计算

本文所选取的五家样本公司的总资产、 准备金以及保费收入的数额相差较大，若将五家公司的年度数据直接加总显然不合理，因此，本文以所选取的五家公司的保费收入为依据，对各公司进行权重分配。 定义准备金率为各年度的责任准备金与总资产之比，计算出各个公司各年度的准备金率之后进行加权相加，得到各个年度准备金率的加权和，准备金率的计算结果见表3。

表3 各年度准备金率的计算结果（单位：%）

（三）利率波动对准备金的影响

为了定量分析利率波动对准备金的影响，表4给出了一些统计数据，其中it代表第t年的利率水平，it的取值来自一年期Shibor 利率的算数平均。 rt表示第t年的准备金率，Δrt/Δit表示利率变动一个百分点时准备金率的相应变化情况。

表4 利率波动与准备金率变动情况

从表4中的数据可以看出，利率与准备金率在总体上呈现出反向变动且变动逐渐减小的趋势，但是2011、2012、2015 和2016年4年的Δrt/Δit的值为正，这与理论不符，出现这种现象可能与2012年开始我国进入了利率市场化改革的加速阶段，2013年寿险费率市场化正式开始，以及放开保险资金的投资范围等原因有关。 Δrt/Δit的绝对值从2013年开始逐渐减小，说明寿险公司正在通过不断开发新型寿险产品以及拓宽投资渠道等方法积极应对利率市场化给寿险公司带来的影响，这也进一步说明在利率随机波动的情况下如何计提责任准备金对寿险公司的风险管理具有重要意义。

五、CIR 模型及其参数估计

（一）CIR 模型简介

Cox-Ingersoll-Ross 模型（简称CIR 模型）是Cox、Ingersoll 和Ross 在20世纪80年代中期提出的一个广义均衡单因子模型。 CIR 模型将利率的期限结构看作一种随机过程，假设瞬时利率符合平方根过程，利率的变动服从非中心卡方分布，在这种条件下，得出利率的随机微分方程为：

其中，rt代表t 时刻的利率，k、μ 和σ 均为常数。 k 是一个正值，表示利率回复到长期均值的速度，k 越大说明利率的调整速度越快。μ 表示利率的长期均值，rt围绕着长期均值μ 上下波动，当μ＜rt时，方程的飘移项为负，利率有下行趋势；当μ=rt时，方程的飘移项为0，利率保持不变；当μ＞rt时，方程的飘移项为正，利率有上行趋势。 σ表示利率的波动率。 Wt表示布朗运动。

由于CIR 模型是一个连续时间模型，所以要对模型进行离散化以估计模型的参数。 本文采用的是Chan（1992）等人所使用的离散化模型，离散过程推导如下：

模型（4）即为需要估计参数的模型，α、β 和σ 为待估计参数。

（二）数据选择与处理

在随机利率模型中，满足随机微分方程的是瞬时利率rt，但是在现实的金融市场中不存在瞬时利率rt，所以也就无法直接得到估计随机利率模型参数的数据。 学者们在估计随机利率模型时，一般采用短期利率作为瞬时利率的近似替代以估计模型的参数，使用最多的数据是银行同业回购利率与银行同业拆借利率。 时光和高珂（2012），项卫星和李宏瑾（2014）对我国货币市场和上海银行同业拆借利率（Shibor）的实证分析表明，Shibor 在市场代表性、稳定性和基准性方面有着良好的表现，所以本文采用Shibor 利率作为估计CIR 模型参数的数据。

本文选用Shibor 中1 周的拆放利率（1W）来替代瞬时利率rt作为估计利率模型参数的样本数据，样本数据的时间跨度为2014年1月2日至2018年12月29日，共1248 个观测值，数据来源于上海银行同业拆借利率官网②。 由于所选取的Shibor 利率是一个单利利率，所以需要将其转换为连续的复利数据，转换公式为：

其中，r（t，T）为连续复利利率，R（t，T）为所选取的样本中的单利数据，T-t 为利率的期限，本文中T-t=7/365。

（三）CIR 模型的参数估计

本文估计单因子CIR 模型参数的方法是马尔科夫链蒙特卡洛法（MCMC），由于无法对单因子CIR 模型求解微分方程，所以本文对待估参数设置了先验分布为：α～N（0，0.01），β～N（0，0.01），τ～Gamma（2.5，0.025），其中，τ=1/σ2。

本文使用MCMC 方法对CIR 模型进行参数估计时所使用的软件为OpenBUGS。由于待估参数的分布是预先设定的，在使用OpenBUGS 估计参数时还需剔除前面一定次数的结果以克服初始值的设定对参数估计结果的影响，即进行“退火”处理。 “退火”处理后的参数估计结果见表5。 为了检验估计参数的收敛性，图1和图2给出了模型的核密度图以及迭代轨迹图。

表5 CIR 模型参数估计结果

图1 估计参数的核密度图

图2 估计参数的迭代轨迹图

从表5的参数估计结果中可以看出，α=0.06294，β=-0.0231，0.1153，三个参数的标准差、MC 误差的值较小，说明参数估计的结果较为集中。 从图1及图2可以看出，参数估计的核密度曲线较为光滑，迭代轨迹的变动较为稳定，可以认为参数估计的结果是收敛的。 由此可得估计出的CIR 模型为：

六、随机利率下的半连续型寿险责任准备金计算

本部分将给出一个具体实例对固定利率下和随机利率下的半连续寿险责任准备金进行模拟仿真计算，并对两种方法计算出的责任准备金的数额进行比较分析。

（一）实例假设

本部分对模型中所需参数做出合理假定，具体假设条件如表6所示。

表6 相关参数假设

（二）固定利率下的寿险责任准备金计算

结合公式（1）与精算中的换算函数，在假设实例中，可以得到固定利率下的寿险责任准备金的简约公式：

其中，s 为保单年度，M、N、D 为分别为转换函数，D 表示对某年龄存活者单位给付的精算现值；N 表示从某年龄到生命表最大年龄上对函数D 的总和；C 表示对某年龄死亡者单位给付的精算现值；N 表示从某年龄到生命表最大年龄上对函数C 的总和。根据以上公式，可以计算得出不同保单年度下的寿险责任准备金，计算结果见表7。

表7 分年度准备金

（三）随机利率下的寿险责任准备金计算

结合公式（1），可以推导出随机利率下的寿险责任准备金的计算公式，推导过程如下：

其中，rt表示t 时刻的利率，其变动服从CIR 利率模型，迭代公式为公式（9），vt=（1+rt）-1，表示t 时刻的贴现因子。

利用蒙特卡洛方法，结合CIR 模型，计算第30年年末的责任准备金，使用的计量软件为MATLAB，具体的计算步骤如下：

第一步，使用MATLAB 中的randn（）函数生成10000 个dW_t 序列，t=1，2，3，…，n，dWt服从标准维纳过程；

第二步，将生成的dWt序列代入公式（7）中，生成10000 条利率路径rt，t=1，2，3，…，n；

第三步，将生成的利率路径rt代入公式（8）中，生成10000 个责任准备金的模拟值；

第四步，根据生成的模拟值得出准备金的经验分布函数以及相关统计数据。

图3给出了按照以上步骤模拟出的利率路径图以及准备金的数值分布图。

从图3中可以看出，准备金的数值十分接近于正态分布，当计算的次数足够多的时候，准备金的分布将不会产生较大的波动，图3中出现频次最多的数值接近于7950元。 为了更加清楚地了解准备金的取值情况，本文还计算了相关的统计量，具体计算结果见表8。

图3 准备金数值分布

表8 相关统计量

由表8可知，随机利率下计算出的责任准备金的最大值为8186 元，最小值为7788 元，最小值比固定利率下计算出的责任准备金多了1622 元，这说明固定利率下的责任准备金很可能存在着被低估的可能性。 偏度为0.394389＞0，峰度为3.089999，十分接近于3，可以看出准备金的数值在分布上十分接近于正态分布，这一点在图3中也得到了验证，也进一步说明了定价的合理性。 标准差约为58.4，说明组内数据间的离散程度较小，模拟出的数值变化较为稳定，因此本文建议可以采用均值或者中位数作为责任准备金的定价依据。

七、结论

在利率市场化背景下，寿险公司面临着巨大的利率风险，同时，寿险责任准备金是寿险公司一个重要的负债项，准备金的合理计提对寿险公司的稳定经营十分重要，传统的固定利率下的准备金计提的方式显然不能帮助保险公司应对日益严峻的利率风险。

本文通过我国寿险业近些年的实际数据分析了利率变动对准备金的影响，发现寿险公司正在通过不断开发新型寿险产品以及拓宽投资渠道等方法积极应对利率市场化给寿险公司带来的影响。 在利率随机波动的情况下计提责任准备金对寿险公司的风险管理具有重要意义，为了解决这一问题，本文在传统的寿险精算的基础上，引入CIR 模型，将利率随机化，使用MCMC 方法得出CIR 模型的合理参数，并给出随机利率下半连续型寿险准备金的定价公式。 随后给出一个实例，采用蒙特卡洛模拟法对准备金进行数值模拟。 结果表明，使用随机利率方法计算出的准备金的数值分布十分接近于正态分布，且数据的稳定性较高，这说明文中的定价方式具有一定的合理性。 同时，结合模拟数值的相关统计量，进一步提出了可以采用均值或者中位数作为责任准备金的定价依据的建议，旨在为寿险公司准备金的提取以及监管部门对保险公司准备金的评估提供新的思路和方法。

注释：

①http：//olap.epsnet.com.cn/。

②http：//www.shibor.org/。