基于结构化的课时整合教学——以“植树问题”教学为例

夏向阳 陆刚伟

一、教材解读

人教版《数学》五年级上册第七单元安排了《数学广角》——植树问题，植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度平均分成若干段（间隔），然后讨论、揭示段数（间隔数）和植树的棵数之间的紧密关系。在现实生活中类似这样的植树问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛周围摆花、锯木头、架设电线杆等都属于这个范畴。本单元的具体教学内容安排四课时进行教学。

基于以上对教材意图的分析和比较，笔者认为将在一条线段上植树的三种情形（两端都要种、只种一端、两端都不种）和在封闭曲线上的植树问题分别独立展开教学，虽然可以更好地帮助学生理解不同的植树情形，建构植树问题的各种原始模型。但是，独立教学带来的明显弊端是割裂了不同植树情形的内在联系，缺乏从整体、全面的意识去建立完善的认知结构。因为，数学是一门系统、融合而富有严密逻辑结构的学科。完整的认知结构不仅有利于后续知识的形成和建立，同时能从整体的视角去解决实际问题，提高解决问题的综合能力。

二、教学实践

1.创设开放情境。

师：同学们在全长20 米的小路一边种树，每隔5 米种一棵，一共要种多少棵树？

生1：20÷5+1=5（棵）。

生2: 20÷5=4（棵）。

生3：我觉得上面两种都有可能。

……

【设计意图：植树问题的导入方式教师往往考虑的是学生更快地理解题意，直指解答。呈现的学习情境是确定性的（题目中就注明两端都种、只种一端、两端都不种）。其实，这样的导入方式容易束缚学生的思维，限制学生的想象，没有留给学生足够的思考空间和余地。物理学家阿基米德说：“给我一个支点，我可以撬动整个地球。”因此，在出示教学情境或学习材料时，应更多地体现开放性，赋予学生敢于自主探究、多元解答的机会，真正把学为中心落到实处。从课堂的实际教学反馈来看，这样的设计完全符合学生的认知基础和认知经验，学生有能力得出合理的问题解决。】

2.建立数学模型。

师：请20÷5+1=5（棵）这个算式的同学详细介绍你的思考过程。

生：我是这样考虑的，画一幅图进行表示，种一棵树隔5 米，再种一棵树隔5 米，一共要种5 棵。

师：结合20÷5+1=5（棵）这个算式，你能说一说你是怎么理解的吗？

生：小路一共20 米，每5 米一段，正好有这样的4 段，而4 段就可以种5 棵，从图上可以一目了然地看出。

师：段数我们在数学上也可叫做“间隔数”。

师：除了从图上数出间隔数和棵树之外，还有没有其他方法也能知晓间隔数和棵树。

生：我们也可以这样理解，种一棵树隔一个间隔，再种一棵树隔一个间隔，最后还多出一棵树。

师：你的想法真好，在数学上这种方法称为“一一对应”，运用“一一对应”的方法可以使间隔数和棵数之间的关系更明了。

师：20÷5=4（棵）这种想法的同学又是怎么理解的呢？

生：我是这样想的。假设最左边正好有一幢建筑物（比如房子等），那么用图表示是这样的：

师：这种情况，同学们觉得可能吗？

生：从图上我们就可以清楚地看出，段数和棵数是相同的。20÷5=4（段），间隔数有4 个，也就是种4棵树。

生：我们也可以用“一一对应”的方法来理解，一个间隔数对应一棵，再一个间隔数对应一棵，间隔数和棵数正好相等。

师：这位同学很会思考，运用“一一对应”的方法清晰地得出间隔数和棵数之间的关系。

生：老师，我突然觉得种3 棵数也是完全可能的。我是这样想的，既然最左边是一幢建筑物（房子等），那么最右边也有可能是一幢建筑物（房子等）。我用这样的一幅图进行表示：

生：我们也可以用“一一对应”的方法解释，一个间隔对应一棵树，最后还多出一个间隔。

师：我们的同学很会思考，很有想法，这是学好数学的关键。

师：通过刚才种树这样的一个情境，我们找到三种不同的结果。下面，你能把植树问题的各种情形进行整理吗？

生：两端都种——棵树=间隔数+1；一端种一端不种——棵树=间隔数；两端都不种——棵树=间隔数-1。

生：一端种一端不种，我们可以说成“只种一端”；“只种一端”就表示了一端种一端不种。

师：同学们的想法很好，“只种一端”更加简洁明了。

生：我们可以把两端都种、只种一端、两端都不种联系起来。

两端都种——棵树=间隔数+1；

只种一端——只要在棵树=间隔数+1 的基础上再-1，这样就得到了棵树=间隔数+1-1，也就是棵树=间隔数；

两端都不种也只要在棵树=间隔数的基础上再-1，也就是棵树=间隔数-1。

师：这位同学的整理很有想法，他把植树问题的三种情形进行了沟通和联系，这样便于我们理解。

【设计意图：为了掌握植树问题的三种不同情形，教材分别用例1、例2、例3 三个独立的例题展开教学，旨在让学生建立植树问题的三种不同模型。从教学成效来看，学生面对实际的问题时，通常只是停留在三种不同植树模型的表层，对其本质和内涵还没有真正建构。因此，如何让学生对植树问题的三种情形建立牢固的认知结构，是本节课的教学重点之一。当学生形成植树问题的三种情形时，教学没有戛然而止，而是及时让学生进行自主整理，打通三者之间的内在联系，提炼出完善的知识结构。同时，本节课另一个教学重点是让学生感悟重要的数学思想方法。教学时，笔者从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的作用。本教学环节中，在无痕的教学过程中渗透了“一一对应、数形结合”等数学思想，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体会学习数学的价值。】

3.灵活解决问题。

师：同学们，刚才通过观察、猜测、推理、验证等活动，我们学会了植树问题的三种不同状况，下面请同学们利用植树问题的本领来解决实际生活中的问题。

第1 小题：5 路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？

生：我觉得这个问题相当于植树问题中的“两端都种”，设立的车站相当于棵树，12÷1=12（个），12 个相当于间隔数。所以，用算式来表示是12÷1=12（个），12+1=13（个）车站。

师：这位同学很有数学眼光，敏锐地捕捉到设立车站和植树问题的紧密联系，从而进行合理解答。

请看第2 题：大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？

生：我觉得这个问题相当于植树问题中的“两端都不种”，所以算式可以这样表示：60÷3=20（个），20-1=19（棵）。

生：我还有补充，应该还要加一步，19×2=38（棵），因为这道题目是小路两旁栽树，而不是只在一旁种栽。

师：你看得真仔细。请看第3 题：

一根木头长10m，要把它平均分成5 段。每锯下一段需要8 分钟。锯完一共要花多少分钟？

生：我觉得这个问题相当于植树问题中的“两端都不种”，锯的次数相当于植树问题中的棵树。所以，用算式可以这样表示：5-1=4（次），8×4=32（分钟）。

师：同学们真是火眼金睛，很快就能把问题看清楚。请看第4 小题：

张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵树？

生：我觉得这个问题相当于“只种一端”，我们只要把圆形拉成线段就可以了。

所以算式为：120÷10=12（个），也就是要种12棵树。

师：把圆形转化成线段，像这样的方法叫什么？以前我们在学习哪些知识时也曾经运用过？

生：这样的方法叫“转化”思想。我们在学习平行四边形面积计算的时候，就把平行四边形运用平移等转化成长方形。

生：我们在学习小数除法时，也是运用商不变规律把小数除法转化成整数除法后再进行计算。

【设计意图：掌握了植树问题的三种不同模型，并不代表会进行灵活运用和解决问题，特别是学生对三种情形容易出现混淆。如何让学生能够运用所学知识解决实际问题，需要教师有充分的认识。本环节的四道习题在选择的时候可谓独具匠心。第1 小题、第3 小题主要是让学生对植树问题的模型进行解析，把抽象的植树模型和具体的实际情境有机沟通起来，以此培养学生解决问题的应用意识。第2 小题是根据学生的最近发展区进行适度变式，让学生学会具体问题具体解答。第4 小题尽管是在圆形上种树，和在线段上种树具有明显的区别。可是，通过把圆形拉直成线段，就和“只种一端”的本质相同，用“转化”的思想把圆形上种树纳入“只种一端”的知识体系中，充实了植树问题的内涵。】

师：同学们，今天这节课我们主要学习了“植树问题”，你还想提出哪些问题呢？

生：我们学会了在线段上、圆形上植树。那么，如果在三角形边上植树又是怎样的情形?

生：如果在长方形、正方形边上种树又是怎样的情形？

生：在线段上种树的间隔就是距离，而为什么在圆上种树的间隔不是距离，是弧线的长度呢？

……

师：同学们提出的问题很合理、有挑战性，也很有研究、探讨价值，有时提出一个问题往往比解决问题更重要，希望同学们在学习数学的同时，也要积极、主动地提出一些合理的数学问题。

【设计意图：《数学课程标准》（2011 版）明确提出：运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力，提高分析和解决问题的能力。把发现和提出问题摆到了和分析、解决问题同等的重要地位。在课即将结束时，笔者让学生结合今天的学习内容，提出一些问题，不断积累的问题意识是学生创新精神的种子，可以为培养创新型人才奠定扎实的基础。】