变压器绕组分数阶集中参数模型的研究

杨津听 刘维林 张春飞 陈睿 杨发希

摘要： 断路器、隔离开关以及接地开关操作或带电线路对地闪络产生的陡波前过电压（VFTO）会对变压器绝缘造成危害。 VFTO 具有极短的上升时间，且振荡谐波的频率非常高，主要在 1MHz 和 40MHz之间。当 VFTO 作用于变压器时，变压器会产生极不均匀的电压分布。论文对变压器绕组进行分数阶集中参数建模，提出含有分数阶集中参数元件的模型，并对模型进行了验证。

关键词： 变压器绕组  特快速暂态过电压（VFTO） 分数阶集中参数模型（FLP）

分数阶微积分

一 、引言

电力变压器是电力系统中极为重要的设备，联系着不同电压等级的电网。大型变压器一旦发生故障，会给电力系统造成很大的扰动与危害，其安全与否，直接关系到整个电力系统能否连续、正常、稳定地工作。大容量变压器十分昂贵，一旦其因故障而遭到破坏，会造成十分严重的经济损失。因此保障变压器的稳定运行，显得非常重要。电网中隔离开关的分合闸速度较慢，在切合容性电流时开关触头间会发生预击穿和多次重燃，形成上升时间很短的冲击波，这一冲击波在网络中经过多次反射、折射，形成的波头很陡、频率高达几十MHz 数量级的陡波前过电压，又称特快速暂态过电压（Very Fast Transient Overvoltage，简称 VFTO）[1]。变压器受VFTO影响非常大，尤其是和断路器直接相连的变压器。VFTO电压波频率非常高，当幅值不是特别大，不足以使变压器入口避雷器动作时，VFTO就可能侵入变压器，造成匝间绝缘的损坏。因此，必须研究大型电力变压器能否承受VFTO的冲击。自然地，也必须研究VFTO作用下变压器中的电压分布，这就必须研究电压波在绕组中的传播特性，研究变压器线圈在冲击波作用下各点的电位等。在研究变压器线圈中的波过程时，首先要明确变压器在过电压波下的电路模型。在高频电压作用下，还必须考虑变压器中各元件间（线圈之间、段间、匝间等）的耦合电容，电感。因此，研究变压器的VFTO模型就具有非常重要的意义了。

二 、电路中的分抗元件

分抗（Fractance）元件就是能够对信号完成分数阶微积分运算功能[3]，即有分数阶阻抗特性的元件[2]。分数阶电抗包括分数阶电容和分数阶电感。任何一个集总参数电气元件，都可用数学或物理的模型对其进行描述，分抗元件也不例外，也能用模型对其进行描述。

分数阶电容的特性方程为：

式1中：Cα为分数阶电容的电容值，iα（t）和uα（t）分别为分数阶电容的电流和电压，α为分数阶微积分的阶次。

分数阶电感的特性方程为：

式2中：Lβ为分数阶电感的电感值，iβ（t）和uβ（t）分别为分数阶电感的电流和电压，β为分数阶微积分的阶次。

零初始条件下，通过Caputo 定义的拉氏变换微分特性，对方程1和2取拉氏变换，可得分数阶电容和分数阶电感的s域方程分别为：

其中，Uα（s）和Iα（s），Uβ（s）和Iβ（s）分别表示分数阶电容和分数阶电感的电压电流的象函数。Yα（s） = Cαsα为分数阶电容的导纳;Zβ（s） = Lβsβ为分数阶电感的阻抗。

三 、变压器绕组分数阶集中参数模型

当VFTO 信号的频率很高时，数值可达数十兆甚至上百兆赫兹，在这个高频下必须考虑绕组导体的集肤效应。有损多传输线方程可写成频域形式如下式[2]：

单位长度上串联阻抗矩阵和并联导纳矩阵分别为：

令矩阵W 和P 分别为电压向量U与电流向量I 的相模转换矩阵，即：

则有：

式中，Λ为对角阵，E为单位阵。经过相模变换可得：

从而将（式5）解耦。由（式10）可求得与，并进一步求得U与I，（式5）的解可以表示为：

其中，U+与U-分别表示始端电压的前向波与反向波，它们的值由边界条件决定。带入边界条件最终可得各传输线首、末端点的电压、电流向量的关系。假设US与UR为首、末端电压向量，而IS和IR为首末端电流向量，并设流入节点的方向为正，它们之间的关系可以表示成：

（式14）可以化为：

（式15）中：

于是各线匝端部电压和电流之间的关系可以用π型等值电路来表示，如（图1）所示：

由高等数学的结论，结合工程实际情况，取近似值如下：

其中x表示G+sC，同时x-1表示。于是得出变压器绕组分数阶集中参数模型（FLP：fractional lumped parameter）（式16、式17），其中的电路元件均看作分抗元件。在VFTO 作用下，实际变压器绕组电压分布的研究中，通常不考虑电导G的作用。变压器绕组分数阶集中参数模型的电路结构如图2所示：

其中M是集肤效应产生的随频率变化阻抗的集中化表示。L，R和C分别是集中参数的电感，电阻和电容矩阵，也就是单位长度的参数矩阵乘以线匝长度。

四 、变压器绕组分数阶集中参数模型的验证

本文以连续式试验变压器绕组电压分布计算为例进行模型验证。连续式试验变压器绕组的基本参数如表1所示：

图3是上升时间为40ns的VFTO输入波：

图4示出第1 饼与第2 饼间1 号工作线上的饼间电压波形对比图：

表2 示出变压器绕组分数阶集中参数模型（ FLP ）和实际测量得到的部分线饼电位峰值的对比结果：

通过变压器绕组分数阶集中参数模型和测量数据的对比，测量和模型仿真得到的最大匝间电压都发生在变压器绕组的相同位置，也就是第1 匝与第2 匝之间;测量和模型仿真得到的最大饼间电压也有相同的结果，即都发生在第1 饼与第2 饼间的1 号工作线上。FLP 模型仿真峰值電压与测量数据峰值电压均能良好吻合，验证了本文提出的建模方法，即FLP 模型的可行性与正确性。

五、 结语

本文从多导体传输线模型的电报方程出发，结合分抗参数理论，在考虑频率相关参数的前提下，结合多导体传输线模型，提出了变压器绕组的含有分抗元件的集中参数模型。通过与实测数据以及多导体传输线模型仿真结果的对比，分析和验证了变压器绕组分数阶集中参数模型的实用性和有效性。

参考文献：

【1】基于分数阶微积分的变电站关键设备高频建模方法研究， 2012年度河北省自然科学基金项目.

【2】杨钰， 王赞基. 用于特快速暂态仿真的大型电力变压器线圈频域分段建模[J].中国电机工程学报， 2010，30（10）：66-71.

【3】周激流，蒲亦非，廖科.分数阶微积分原理及其在现代信号分析与处理中的应用 [ M].北京：科学出版社 2010

第一作者简介：杨津听，1969年生，男，汉族，云南省蒙自县人，正高级工程师，工程硕士，从事的主要工作：电力拖动自动控制系统，DCS系统，MES系统，先进控制系统，非线性系统、混沌系统的研究、设计、制造;通讯方式：邮编：650221，云南省昆明市龙泉路上马村五台路2号 昆明电器科学研究所.