浅谈优化数学归纳法的概念教学

尤园飞

数学归纳法是中学数学的重要数学方法之一。学习了数学归纳法之后，有学生曾说：“反正老师说完成两个步骤就正确。我也不知道为什么正确，也勿需去考虑它为什么正确”。所以这些学生在解决问题时往往忽视了数学归纳法的应用而束手无策，或者在完成第二步骤时，由于缺乏自信心而半途而废。这与是否注重概念的过程教学密切相关。数学归纳法概念的教学，首先要通过实例使学生体会到归纳法的基本思想，如从对学生熟知的等差数列通项公式的归纳过程着手，拉开序幕。并指出：像这种“由特殊到一般”的推理方法叫归纳法。这样的归纳推理是认识上的一个“飞跃”。再讲一个“王二上学的故事”：第一天教师教“一”，并划了一横杠，王二记住了;第二天老师教“二”，并划了两横杠，王二又记住了;于是王二就预料，第三天老师要教“三”，并要划三横杠，第三天果然如此。到了第四天，王二对父亲说：“从今天起我不再上学了，我都会了。”父亲说：“为什么这么快呢？”王二说：“就是划横杠嘛”。父亲说：“我的孩子真聪明。”碰巧父亲的一位朋友来了，父亲说：“我这位朋友叫万百千，你能把他的名字写出来吗？”王二惊呆了，并说：“这个名字要花费多少时间才能写完哪！”王二这个归纳推理是错误的可笑的。上述两个实例告诉我们，同样用的“归纳法”，一个结论正确，一个结论错误。这就是说，仅仅考察部分特例而得出一般结论的推理方法，所得结论不一定正确，通常称为不完全归纳法。那么归纳推理在什么条件下才是可靠正确的呢？

让我们来做一个游戏，这个游戏曾在中央电视台演播过，不妨称为“摆砖游戏”。我们把很多很多砖块按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放，从教室摆到操场，再摆到公路上，再摆到香港，再摆到外国……，甚至可以没完没了的摆下去。那么，我们只要推倒第一块砖，就能把所有的砖块全部推倒。这个游戏有两个条件：第一，要推倒第一块砖;第二，砖块必须按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放。显然，这两个条件缺一不可。如果缺少第一个条件，就会有砖没有被推倒（至少第一块砖没有推倒）。如果缺少第二个条件，“碰倒过程”就会中断，就会有很多很多砖块没有推倒。

从上面的“思维游戏”启发我们得出一个处理与自然数有关问题的方法：

（1）处理第一个问题（相当于推倒第一块砖）;

（2）验证前一号问题与后一号问题有传递关系（相关于前砖

碰倒后砖），这时主角亮相了。数学归纳法是可靠正确的推理方法。介绍了数学归纳法之后，师生共同参与，按以下设问进行教学：

1.第一步骤是递推的基础，第二步骤是递推的依据。若二者缺一将会出现什么问题呢？能举出实例来吗？

2.完成第一步骤后，在第二步骤中，假设n=k时的结论正确，这样的k值是否存在呢？证明N=K+1时结论也正确，是否起着“传递性”的作用？

3.第二步骤中，如果不使用N=K时结论正确这个条件，直接证明N=K+1时结论正确，是否还是数学归纳法呢？或者说比数学归纳法更好呢？

4.第一步骤中，证明N取第一个值结论正确，这第一个值从哪里取起呢？

5.第二步骤中，在使用N=K时结论正确的前提下，可以用哪些方法来突破N=K+I时结论正确这一关呢？（如：演绎法、分析法、反证法等）。

6.数学归纳法是针对n∈N而言的.那么N取非自然数时，是否也可以呢？

针对学生在概念的学习中容易出现的问题：错误理解、认识肤浅、似是而非、掌握不牢等现象，教师要精心创设情景，优化教学手段，以达到对概念的理解、认识到位，对概念的掌握准确、牢固、灵活之目的。同时，行之有效地培养了学生思维的批判性和深刻性。

掌握了數学归纳法的原理和证明格式后，还需要进一步认识数学归纳法和归纳法这两种推理方法之间的区别和联系，初步形成“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，既能发现结论，又能证明结论的正确性。这又是培养学生的发现创造能力、分析问题和解决问题能力的重要内容。

优化概念教学的实质就是充分展示概念的形成、深化过程以及它的本质属性。它为学生牢固掌握概念、灵活运用概念创造了条件，它为培养学生的数学观念、提高学生的数学能力，帮助学生形成良好的思维品质，造就力求创新开拓进取的英才，打下了良好的基础。