鸽巢问题

傅勇

鸽巢问题

教材第68、第69頁。

1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

铅笔、笔筒、书等。

师：任意的13位同学中，至少有几位同学在同一个月过生日？任意的367位同学中，至少有几位同学在同一天过生日？试一试。

师：想知道答案吗？通过今天的学习，你就能解决这个问题了。下面我们就来研究这类问题，我们先从简单的情况入手研究。

【设计意图：紧紧扣住学生的好奇心，从学生喜欢的生日问题开始，激活认知热情。使学生积极投入到对问题的研究中。同时，渗透研究问题的方法和建模的数学思想】

1. 讲授例1。

（1）认识“抽屉原理”。（课件出示例题）

把4支铅笔放进3个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。

学生读一读上面的例题，想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。

教师指出：上面这个问题，同学们不难想出其中的道理，但要完全清楚地说明白，就需给出证明。

（2）学生分小组活动进行证明。

活动要求：

①学生先独立思考。

②把自己的想法和小组内的同学交流。

③如果需要动手操作，要分工并全面考虑问题。（谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录等）

④在全班交流汇报。

（3）汇报。

师：哪个小组愿意说说你们是怎样证明的？

①列举法证明。

学生证明后，教师提问：把4支铅笔放进3个笔筒里，共有几种不同的放法？

（共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题，即把4支铅笔不管放进哪个笔筒，都视为同一种情况）

根据以上4种不同的放法，你能得出什么结论？（总有一个至少放进2支铅笔）

②数的分解法证明。

可以把4分解成三个数，共有四种情况：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。

③反证法（或假设法）证明。

让学生试着说一说，教师适时指点：

假设先在每个笔筒里放1支铅笔。那么，3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔，放进任意一个笔筒里，那么这个笔筒里就有2支铅笔。

（4）揭示规律。

请同学们继续思考：

①把5支铅笔放进4个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔，为什么？

②如果把6支铅笔放进5个笔筒中，结果是否一样呢？把7支铅笔放进6个笔筒中呢？把10支铅笔放进9个笔筒中呢？把100支铅笔放进99个笔筒中呢？

学生回答的同时教师板书：

数量（支） 笔筒数（个）  结果

5 总有一个笔筒里

提问：观察板书，你有什么发现？

③小组讨论，引导学生得出一般性结论。

（只要放的铅笔数比笔筒的数量多1，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔）

追问：如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2，多3，多4呢？

学生根据具体情况思考并解决此类问题。

④教师小结。

上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”，可以概括为：把m个物体任意放到m-1个抽屉里，那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。

2.教学例2。

师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？自己想一想，再跟小组的同学交流。

学生独立思考后，进行小组交流：教师巡视了解情况。

组织全班交流，学生可能会说：

我们可以动手操作，选用列举的方法：

通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。

·我们可以用数的分解法：把7分解成三个数，有（7，0，0），（6，1，0），（5，1，1），（4，1，2），（3，1，3），（3，2，2）这样六种情况。在任何一种情况中，总有一个数不小于3。

师：同学们，通过上面两种方法，我们知道了把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多，数据变大，如果有8本书会怎样呢？10本呢？甚至更多呢？用列举法、数的分解法会怎样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢？请同学们自己想一想。

学生进行独立思考。

师：假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢？

生：7÷3=2……1

师：有余数的除法算式说明了什么问题？

生：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩1本：把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。

师：如果有8本书会怎样呢？

生：8÷3=2……2，可以知道把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩2本：把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。

师：10本书呢？

生：10÷3=3……1，可知把10本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放3本书，还剩1本：把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放4本书。

师：你发现了什么？

师生共同小结：要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

【设计意图：在渗透研究问题、探索规律时，先从简单的情况开始研究。证明过程中，展示了不同学生的证明方法和思维水平，使学生既互相学习、触类旁通，又建立“建模”思想，突出了学习方法】

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生：物体数除以抽屉数，那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。

师：你能在生活中找出这样的例子吗？

学生举例说明。

师：之所以把这个规律称之为“原理”，是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题，研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧！

【设计意图：研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去。在教学的最后，请学生总结这节课学会的规律，再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象，以达到巩固应用的目的】