广义延拓逼近法在GPS卫星精密星历内插中的精度分析

摘要：为了得到更高精度的GPS卫星在任意时刻的位置信息，需要利用合适的数学模型去内插精密星历。首先，说明广义延拓逼近法、拉格朗日多项式插值法及切比雪夫拟合法的原理，然后分别利用这三种方法处理GPS精密星历，通过对比分析三种方法所得结果误差的最大值与平均值发现：使用广义延拓逼近法所得结果的精度略高于拉格朗日多项式插值法和切比雪夫多项式拟合法。

关键词：广义延拓逼近法;GPS卫星;精密星历;内插精度分析

中图分类号：P228.4 文献标志码：A

Abstract： In order to obtain higher-precision position information of GPS satellites at any time， it is necessary to use proper mathematical models to interpolate the precise ephemeris. Firstly， the principles of generalized extended approximation method， Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev fitting method are explained. Then， these three methods are used to process GPS precise ephemeris respectively. The maximum and average values of the error results of the three methods are compared and analyzed. It is found that the results precision of generalized extended approximation is a little higher than that of Lagrange polynomial interpolation method and Chebyshev polynomial fitting method.

Key words： generalized extended approximation method; GPS satellites; precise ephemeris; interpolation precision analysis

0  引言

在處理GPS卫星定位数据时，常需要任意时刻的卫星坐标，但是其精密星历仅提供15min或5min时间间隔的离散卫星坐标，因此需要插值法和拟合法对精密星历进行内插处理，这两类方法都有自身的优势和不足。常用的插值法和拟合法分别为Lagrange多项式插值法和切比雪夫多项式拟合法。

本文将获取的GPS精密星历作为原始数据，采用另一种结合了插值法与拟合法特点的数学方法——广义延拓逼近法，分别采用该法与Lagrange多项式插值法、切比雪夫多项式拟合法对1颗GPS卫星精密星历内插，将内插结果与已知数据对应求差，并统计误差结果的最大值与平均值，以此研究该法相对于插值法和拟合法是否具有更高的插值精度。

4  滑动式插值算法

所谓滑动式算法，就是通过不断地移动插值区间，使待插值点始终位于插值区间的中心。例如采用Lagrange多项式插值法，第一次选取插值点1～10 ，构造9 阶的Lagrange多项式 ，则待插值点处于第5个和第6个插值点之间;第二次选取插值点2～11，构造9 阶的Lagrange多项式，则待插值点处于第6个和第7个插值点之间。在本文中，三种插值方法均采用滑动式。

5  GPS精密星历算例分析

从网址ftp：//cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/下载了2018年 12月29日的GPS精密星历文件，该文件包含了32颗MEO卫星，并以15min为采样时间间隔，其采样区间为0：0：0～23：45：0。将时的卫星坐标作为已知的插值节点，分别采用滑动式广义延拓逼近法、滑动式Lagrange多项式插值法、滑动式切比雪夫多项式拟合法内插出时的卫星坐标 ，并与精密星历中的卫星坐标对应求差，统计误差最大值和平均值，从而分析插值精度。

本算例随机选取了其中的1号GPS卫星的精密星历进行内插处理分析。表1、表2、表3分别是利用广义延拓逼近法、Lagrange多项式插值法、切比雪夫多项式拟合法对1号GPS卫星精密星历内插的结果，因文章空间限制，表1，表2，表3中仅列举部分有代表性的统计结果。

由表1知，r，t，s有许多不同组合，取值不同的r，t，s，其插值精度也有所不同。当r，t，s的值较小时，例如当r=2，t=3，s=4时，误差最大值达千米级，插值精度非常差。随着r，t，s取值的增大，在一定范围内误差随之减小，当r=14，t=22，s=23，插值精度达到最高，这时X，Y，Z坐标误差最大值分别为3.3mm，6.5mm，2.9mm，平均值分别为0.6mm，0.9mm，0.6mm。此后再增加r，t，s的值，插值精度反而会降低，即存在使插值精度最高的最优r，t，s组合值。

表2中，插值多项式阶数较小时，误差比较大，随着阶数的增加，其插值精度随之提高。当阶数为12时，误差最大值均达到毫米级，插值精度相对比较高。插值精度最高时的X，Y，Z坐标误差最大值分别为4.1mm，6.1mm，2.5mm。阶数达到23后再提高阶数，其插值精度并没有很明显提高。

表3中同样可看出，当拟合多项式阶数较小时，误差较大，在一定范围内，增加拟合多项式的阶数会提高拟合精度，当阶数为12时，误差最大值均达毫米级，但是阶数增大到一定程度后，误差反而会增大，拟合精度降低。当X，Y，Z坐标误差最大值分别为4.2mm，6.2mm，2.6mm时，插值精度相对最高，此时阶数达到27左右。这时，三种方法所得结果误差的平均值差别不大。因此通过比较分析，当处理的数据相对较少时（1颗GPS卫星精密星历），广义延拓逼近法所能达到的最高内插精度略高于切比雪夫多项式拟合法和Lagrange多项式插值法。

6  结束语

本文采用了三种不同的内插方法，对比分析了1颗GPS卫星的精密星历内插精度，经算例分析可以得到以下结论：

1）进行数据处理时，为了得到理想精度的计算结果，往往需要选择合适的方法模型，因此面对不同的实际问题，就要具体分析。

2）在处理1颗GPS卫星的精密星历时，使用广义延拓逼近法所得结果的精度略高于Lagrange多项式插值法和切比雪夫拟合法。

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作者简介：黄馨娅（1998-），女，汉族，山东菏泽人，本科在读，主要研究方向：数学与应用数学.

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