化繁为简 巧破教学难点

史松平

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部联系的基本途径。”作为数学的基本思想之一，模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的一个核心概念。數学作为一种基本应用技能，可以帮助人们在搜索、整理、描述和创造过程中建立模型，进而研究模型，作出判断，最终解决问题。因此，建立数学模型在小学数学课堂上是非常有必要的。

【关键词】小学数学;植树问题;教学难点

《植树问题》这一学习内容对学生来说比较抽象，如果要分类学习，就会呈现3种情况下的9种基本类型，再加上各种变式，会让班级中一半的学生望而生畏;而部分优秀学生在兴趣班等课外学习活动中对“植树问题”有不同程度的学习，从而导致学生之间的个体差异进一步扩大。在教学中，从学生的现实基础出发，通过课程的学习，让不同层次的学生都有丰富的体验，能自主构建植树问题“段数与棵数”的基本模型，是笔者教学所追求的基础目标。在学习过程中，笔者力求让学生真正体会植树问题的思想方法，经历从问题困惑到探究规律、建立模型、解决问题的全过程，从而实现长远的发展目标。

数学教材共安排了3个例题——两端都种、两端都不种、封闭图形的植树问题，用4课时分散出现，这样的教学安排虽然分散了难点，但不利于学生对知识的整体建构与体验。基于这样的认识，笔者对教材进行了重新处理，把3种情况安排在一节课进行教学，意图就在于让学生从整体上加以比较，同时在比较中理解，获得比较完整的认知结构。所以，笔者尝试将教材进行整合：在这一课时让3种简单的植树问题同时呈现，并围绕求“棵数”的3种现象不时地画图、分析、比较，通过分类、概括、抽象、寻找生活原型等各种方式，在学生头脑中建构“合三为一”的数学模型。

在设计第一课时上，不宜求多、不宜求全，笔者把重点放在学生的体验过程上，旨在让学生领悟植树问题的本质，在这一过程中渗透数形结合思想，让学生经历完整的数学建模过程。具体的教学流程，笔者设计如下。

一、创设问题情境，初步感知模型

1.出示实际问题情境

（1）出示问题。

师：在长24米的小路一边植树，大家认为要考虑哪些因素？

生：每隔几米种一棵，两端要不要种。

师：你考虑得挺周全的，的确需要考虑这些因素。

（2）补充条件。

师：每隔6米种一棵。想一想，要种多少棵树？你们能解决这个问题吗？你们打算怎样解决这个问题？

生：列算式、画线段图。

师：画图这个方法好不好？

生：好。

师：在数学上我们经常要用到画图来解决问题。

（3）请学生把想法画出来。（学生活动，教师巡视，找学生演示）

（4）展示学生不同图示（3种画法），如图1所示。

2.在比较与辨析中初步感知模型

（1）你们能看懂这3幅图吗？这3幅图都符合要求吗？同样在长24米的小路一边植树，都是每隔6米种一棵，为什么会出现三种不同的结果呢？（根据学生的回答板书：两端都种，只种一端，两端都不种）

（2）在现实生活中，什么情况下会出现两端都不种或只有一端种的情况呢？（有房子、墙、障碍物等）

（3）认真观察思考，通过画一画得出：在24米长的小路上种树，每隔6米种一棵，有3种方案。

师：那根据这3种方案分别种了几棵树，你们能列算式求出来吗？（生答师板演）

师：种树的方法不一样，种的棵数也就不一样。但3种方案又有什么相同的地方？（学生能比较全面地关注3个关键要素——总长24米，每隔6米种一棵，分成了4段，并归纳出计算段数的基本方法。

师：这3种方案的第一步都是求什么？

生：段数。

师：那段数怎么求？

生：总长÷每段的长度=段数。

师：这里的段数用哪个算式来表示？（板书）

（4）在刚才画图解决植树问题的过程中，你觉得该怎样做比较有条理？也就是先做什么？再做什么？

生：先求出段数，再考虑3种植树方案。

为了充分了解学生的原有认识，笔者一开始就将一个开放的、包容性很强的现实问题抛给了学生，让学生根据问题情境尝试画出植树方案的直观图，在展现学生的3幅直观图示以后，笔者引领学生去追寻植树问题3种情形产生的原因与内在联系，凸显“总长÷每段距离=段数”这一基本数量关系，正确处理了操作与思考的关系，为模型建构做好了充分准备。

二、整体尝试，合作探究，构建基本模型

1.现实问题情境的拓展

师：根据线段图我们发现无论哪种植树方案，棵数都与什么有关？（段数）

师：到底植树的棵数与段数有怎样的关系？通过一个例子并不能说明问题。请同学们来思考一下，在全长24米的小路一边种树，除了可以每隔6米种一棵外，还可以每隔几米种一棵？（学生纷纷说出自己的想法：每隔1米、2米、3米、4米、8米、12米）

师：你们想不想自己动手来设计一下其他的种树方法，请根据你们所想的相隔距离来画一画，但画图之前先看清楚要求。

2.学生整体尝试，画图设计3种植树方案

之后，笔者请学生选择自己喜欢的相隔距离，独立画图设计3种不同的植树方案。

（1）我选取每隔（）米种一棵，我先把线段平均分成（）段。

（2）画出3种设计方案。

①两端都种;  ②只种一端;③两端都不种。

（3）数据填入表格（见表1）。

全长24米 每隔几米种一棵 段数量 两端都种的棵数 只种一端的棵数 两端都不种的棵数

3.列表整理，发现规律，构建基本模型

（1）选择有代表性的学生作品进行展示，交流想法与结果。

（2）列表整理（见表2）。

全长2 4米 每隔几米种一棵 段数 两端都种的棵数 只种一端的棵数 两端都不种的棵數

（3）发现规律，构建基本模型

①追问：如果每隔1米种一棵树，需要分成几段？3种情形分别需要种多少棵？（学生很快回答：24段，分别是25、24、23棵）为什么你们没有画图也能这么快说出答案？（有规律）

②认真观察这些数据，你发现了哪些规律？把你的发现和同桌交流一下。

③根据学生回答板书：两端都种：段数+1=棵数;只种一端：段数=棵数;两端都不种：段数-1=棵数。

4.举例验证模型和解释理解模型

（1）举例验证模型

①追问：你们也有这样的发现吗？那这个规律一定正确吗？

②举例验证。刚才我们选取的是在长24米的小路一边植树，方法有很多种。除了选取长24米的小路，我们也可以选取长是几米的？以“在一条15米长的小路一旁植树，每隔5米种一棵，3种情况各需要几棵树苗”为例，让学生再次画草图验证。学生验证的结果：棵数与段数的关系符合发现的规律。

③返回到表2中进一步抽象概括：分成50段或a段时，3种情况植树的棵数分别是多少？

师：无论是哪种情况，要求棵数，关键是找到什么？（段数）

（2）解释理解模型

①追问：为什么两端都种要段数加1而不是加2，只种一端的情况棵数和段数相等，两端都不种要段数减1而不是减2呢？你能借助黑板上的线段图来说明吗？

②学生借助一一对应思想解释模型：先是学生代表说理解释，然后同桌之间说理解释。

本环节的教学主要包括问题拓展、整体尝试、构建模型、验证解释几个过程，在让学生真正深度经历了建构模型完整过程的基础上，很好地凸显了学生的学，并使学生真正成了课堂教学的主人，每个环节的活动都体现了先学后教、先试后导的教学思想。学生的认知与理解随画图次数的积累从量化转化为质变，经历了部分尝试、整体尝试、模型的构建、解释模型的过程，展现了学生认知水平提升的历程。若教师仅仅以对知识的掌握为教学目标，那么往往会把着眼点放在对规律发现后的棵数与段数之间的数量关系的掌握上。本节课笔者在教学目标的定位上凸显过程性教学目标，即根据教学内容以及学生认知特点，借助操作、观察、比较、分析和概括等数学活动，引领学生经历规律的再发现过程，感悟与利用“一一对应”数学思想方法，从数学表象（操作模拟图）、语言描述（如“棵数等于段数”“棵数比段数多1”“棵数比段数少1”）、数量关系式（棵数=段数、棵数=段数+1、棵数=段数-1）以及具体算法四个不同视角与层次实现对植树问题的建模。

三、模型解释、应用与拓展

1.初次运用模型

在全长200米的小路一边植树，每隔5米种一棵，3种植树方案分别要种几棵树？

2.深化理解模型结构

下列现象能否看成“植树问题”。如果“是”，属于哪一类？

（1）队伍长9米，每两人之间相距1米，一共有多少人排队？

（2）一根10米长的木头，每2米锯一段，需要锯几次？

（3）一条绳长180厘米，每隔20厘米挂一只小灯笼，共有多少只小灯笼？

3.应用模型，解决实际问题

（1）大象馆和猴山相距60米（见图2）。绿化队要在两馆间的小路一旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？

（2）在一条全长2千米的街道一旁安装路灯（一端不安装），每隔50米装一盏，一共要装多少盏路灯？

（3）在一条长360米的长廊两侧摆花，每隔4米摆一盆（两端都摆），一共需要多少盆花？

（4）某公路全长10千米，相邻两站的距离都是2千米。这条公路上一共有几个车站？

“植树问题”包含的生活问题很多，如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵等。在模型建立后，教师应适时打破学生的单一认知，将此模型应用于其他情境中，不仅要让学生体会到植树问题和生活的联系，感受到数学的实际应用价值，更重要的是让学生对植树问题的结构模型有更深层次的理解。在练习题的设置与量的控制上，力求符合学生的认知特点与需要，保证学生有效的当堂练习时间，给予学生相对完整的独立思考、做作业的时间，以便学生及时巩固认知。同时，这些题也是经过精心设计的，前两道题是对植树问题基本模型的应用，第（1）题数字较小，而且有图作支撑;第（2）题数字较大;第（3）题关注从“单侧”向“双侧”变化，丰富了学生对植树问题的认知。第（4）题在巩固当天所学的同时，突破学生认知，为后续进一步学习封闭图形中的植树问题埋下伏笔。

在小学数学教学中，教师应以学生已有的知识经验为基础，引导学生用数学的眼光观察生活，使其经历从生活原型到数学模型的建构过程，从而能够用数学模型解决实际问题。数学建模的过程不仅能促进学生思维的发展，还能提升学生的积极性和主动性。

【参考文献】

德吉.解析小学数学植树问题[J].西藏教育， 2016（09）：30-31.

刘丽秋.小学数学建模教学的实践研究——以“植树问题”教学为例[J].考试周刊，2017（66）：115.