明“理”解困 以“理”入法

凌炎

摘要：竖式除法的计算是小学数学教学的难点。竖式除法计算中蕴含的算理没被完全理解是学生频频出错的重要原因。本文对其中的算理做简要分析，以抛砖引玉，供广大数学教师参考。

关键词：小学数学 竖式除法 计算 算理

笔算除法是小学计算教学中重要的知识点，也是一个老大难问题。传统教学中，老师们通常把笔算当作计算的一项技能来训练，认为它没有思维含量。新课改以来，随着“算理比算法更重要”理念的不断深入，我们开始追求“规定性知识”背后的原因。因此，在计算教学中不仅要让学生掌握算法，知道怎样运算，更应使其理解算理，明白为什么这样算，从而为其后续的学习，为养成良好的数学学习习惯奠定基础。

一、案例描述

这是一节组内研究课，教学内容是北师大版四年级上册《买文具》——除数是整十数的除法的计算。教师首先创设了买文具的情境，提出问题：80元钱可以买几个书包？在用到“每个书包20元”这条数学信息后，孩子们很自然地意识到这是一道用除法解决的问题。接着解决问题：80÷20=？，独立思考计算后，学生交流汇报如下：

生1：因为4×20=80，所以80÷20= 4。

生2： 80里有4个“20”，所以80÷20= 4。

生3：80元买一个书包剩下60元，80-20=60，60-20=40，40-20=20，所以，可以买4个书包。

生4：80元是8个十元，20元是2个十元，因为8÷2=4，所以80÷20=4。

生5：我是用竖式计算的。（生5上黑板摆竖式）

师生接下来共同探究除法竖式的写法，并提问：商“4”为什么写在个位上。生回答：因为80÷20=4，相同数位对齐，“4”就写在个位上。在得出以上几种算法后，师生又一起比较、优化计算方法，明确竖式计算最方便、简单。

二、引发思考

整节课看似行云流水，一气呵成。但让人总感觉不真实，孩子们如匆匆过客，触及的都是除法竖式计算的表面，根本没有真正理解算理。梳理一下，发现有两个问题没弄清楚。

问题一：商“4”为什么写在个位上？这既是教材的重点又是理解的难点，如果单凭因为商是“4”不是“40”，所以它应该写在个位上，这样去理解的话，除法竖式就失去了它本身的意义和作用。商的结果不是通过竖式求得的，这在数学上犯了逻辑上的错误，既然你已得到结论，为什么还要列竖式？而且当商是两位数时，如算式：“568÷40=？”，无法凭借口算知道商是多少，就更谈不上去确定商是几位数了。如果直接告诉学生：看被除数的前两位，如果它大于除数，商就是两位数，商应首先写在十位上;如果它小于除数，商就是一位数，商写在个位上，此举只能使之知其然而不知其所以然，也是不可取的。

问题二：生4的回答听着觉得很绕口，在没有学习商不变的规律这一知识之前，孩子们是没法接受这种想法的，惯性思维使他们更容易会这样思考：因为8÷2=4，所以80÷20=40。生4的答案应该是照搬教材中小朋友的话，不是自己真实的想法。

那么，除法豎式计算该怎样教学呢？

小学数学中，除法竖式是计算教学的难中之难，主要分为三个阶段：一是“表内除法竖式”，首次接触除法竖式;二是“除数是一位数除法”，真正进入除法竖式理解性学习阶段;三是“除数是两位数的除法”，属于除法竖式的完善阶段。

但纵观教材，从二年级的表内除法到三年级的商是两位数的除法，四年级学习的除数是两位数的除法，一直到五年级小数除法的计算的学习，始终贯穿一条暗线：“平均分”。除法的本质就是“平均分”。因此，我们以“平均分”为核心来理解竖式除法的算理，牢固掌握竖式的计算方法。

虽然都是平均分，但是由于思维水平的限制，各个阶段的要求层次有提升，在低年级是借助实物，直观操作帮助学生理解算理，如三年级时学习的“分桃子”，把56个桃子分给两只猴，先将5篮子的桃子分给两只猴（每篮10个），每只猴分到两篮;还剩一篮子，再将剩下的这一篮和6个桃子合成16个桃子，平均每只猴分到8个，这样每只猴就分到20+8=28个。其实，5篮桃子表示5个“十”，6个桃子表示6个“一”，两只猴子分掉4个“十”后，还剩下1个“十”，每只猴分不到1个“十”，就把1个“十”变成10个“一”，与6个“一”合成16个“一”，再分。由于中年级学生的抽象思维能力较差，所以必须借助直观的教具来理解算理。实际上无论分什么东西，实质都是在分计数单位，不够分时，我们将较大的计数单位变成较小计数单位。这样，较小的计数单位上的数字就变大了，如80除以20应理解为8个“十”平均分给20个人，每人分不到1个“十”，将8个“十”看成80个“一”，平均分给20个人，每人分到4个“一”，所以商“4”写在个位上。后面的小数除法也是同理。如3.24÷6，3个一平均分给6个人，每人分不到1个“一”;将3个“一”和2个“十分之一”合成32个“十分之一”平均分给6个人，每人得5个“十分之一”，还剩2个“十分之一”，又与4个“百分之一”合成24个“百分之一”，平均分给6个人，每人得4个“百分之一”，所以5写在十分位上，4写在百分位上。明白这样的道理，学生不难理解：为什么除数是两位数，看被除数的前两位可以确定商的位数;为什么除到哪一位，商就上在哪一位。并由此将竖式求商的方法迁移到除数是三位数，甚至更多位数时的计算，达到教是为了不教的目标，为后续学习做了铺垫。

在学习圆的相关知识后，练习中经常会出现除数是多位数的计算，学生的正确率很低，究其原因是对算理一知半解，导致了除法竖式的计算方法不能正确迁移。所以，除法竖式计算教学不能机械地为计算而计算，必须由低年级到高年级，训练学生逐步脱离具体的实物，过渡到以计数单位作为竖式计算的载体，及时将算理提升为策略、方法，并让他们主动将方法迁移各种除法竖式的计算中，让学生学会学习，学会思考，掌握算法和算理之间的内在联系，让学生对知识的理解不但知其然，更知其所以然，从而使学生创造灵感的火花自由绽放。