数学实验：几何概念学习的“脚手架”

匡金龙

摘要：数学实验可以贯穿几何概念教学的始终。教师要在实验中引入，丰富图形经验：改图，感悟图形联系;构图，拓展视觉空间。要在实验中探索，突出概念本质：选择合适的素材，凸显数学本质;厘清实验序列，逐层建构意义。还要在实验中联结，深化概念理解：由浅入深，通过冲突澄清概念;由此及彼，利用变式沟通联系;由表及里，借助反思促进联系。

关键词：数学实验几何概念教学引入探索联结

数学实验是为了探索数学知识，检验数学猜想或解决数学问题，借助一定的物质或技术手段，进行数学化操作的一种数学实践探索活动。小学数学教学中的实验，旨在引导学生通过操作、观察、分析、猜想和推理等数学活动，经历数学知识的“再创造”与“再发现”的过程，亲身体验数学，理解和建构数学。

《未来的几何》一文指出，几何对象和概念的学习，应该采用实验与归纳的方法，而不是公理化的途径。在几何概念教学中，教师应该基于学生已有的数学经验，借助数学实验帮助学生经历概念的形成过程，积累“做数学”的活动经验，理解概念的本质特征，发展学生的空间观念。数学实验可以贯穿几何概念教学的始终。

一、在实验中引入，丰富图形经验

小学生在日常生活中已经积累了一定的图形经验，有观察获得的静态经验，也有通过折纸、寻找轨迹等活动获得的动态经验，两种经验共同构成了学生几何概念学习的基础。和“静图”经验相比，小学生的“动图”经验相对比较缺乏。在教学中，教师应特别关注学生“动图”经验的积累，通过实验动态地引入图形，帮助学生感悟图形和图形要素之间的几何关系。

（一）改图，感悟图形联系

以熟悉的图形作为认知起点，通过改变形状引出新图形，不仅能激发学生的学习热情，而且能使学生清晰地感知到新、旧图形之间的异同点，为学生进一步探索图形特征，生成几何概念的意义做必要的准备。拉、拼、分等都是改图的方式。教学时，教师可根据实际需要，灵活选择实验的方式，帮助学生从图形变化的角度积累直观经验。

比如，一年级学生认识平行四边形时，受图形感知水平的限制，往往把视觉上“长长”的四边形误认为是平行四边形。教学时，教师可以通过操作长方形框架的实验，将“长方形”变形而引出“平行四边形”，帮助学生发现图形之间的联系和区别，以此加深对平行四边形的认识。

（二）构图，拓展视觉空间

通过平移、旋转等方式动态建构图形是常见的图形引入方式。若运用巧妙，能取得意想不到的教学效果。受经验和能力的制约，低年级学生还不能动态地从不同的角度考察图形，只能看到整体的形状，而不能明晰图形之间或图形部分元素之间的几何关系。因此，教师要有意识地在中、高年级的几何概念教学中引导学生构造图形，发展空间观念。

比如，教学“圆柱的认识”时，笔者让学生以长方形纸片的一边为轴旋转一周引出圆柱——

设疑：长方形是我们学过的平面图形，你能将这个平面图形变成一个立体图形吗？

想象：如果以长方形纸片的一边为轴旋转一周，可能会得到什么图形？

实验：动手试一试，看看能得到什么图形？有几种情况？

从“静态看图”到“动态构图”，拓展、丰富了学生对图形的认识，帮助学生发现“形”和“体”之间的联系，直观感知圆柱底面“半径”和“高”这两个要素，为后续学习圆柱特征、体积积累必要的感性经验;另外，引导学生经历了“想象—实验—多样化呈现”的实验过程，促进了学生空间观念的形成。

二、在实验中探索，突出概念本质

学生在日常生活中积累的直观经验，往往会受原有经验、直观原型以及认知背景等因素的干扰，难以生成概念，甚至造成概念误解。教学时，教师可以精心设计实验活动，排除非本质因素的干扰，突出概念的本质，促进学生对概念的理解。此外，控制实验变量时，不仅要聚焦概念的本质要素，而且要观照学生的认知心理，引领学生完成对概念要素的多元化认知，从而促进学生对几何概念的深层次理解。

（一）选择合适的素材，凸显数学本质

实验素材是实验活动的物质基础，是学生进行图形操作和思维分析的对象，也是几何概念形成的关键所在。因此，教师要以可视化、可操作性为依据，精心选择实验材料，提高其与概念本质要素的契合度。

比如，教学“圆的认识”时，一位教师设计了如下实验活动：

设疑：你会画圆吗？会用什么工具画圆呢？在还没有发明圆规这个画圆工具之前，古人是怎么画圆的呢？（学生各抒己见，充分交流。）

组织实验：利用一个图钉，一条一端系着粉笔的绳子，能画出圆吗？动手画一个圆。（提供两套演示材料，一套中的绳子几乎没有弹性，另一套中的绳子是弹性较大的皮筋。）

展示与质疑：同样是用“钉绳”画圆，为什么有的画出了标准的圆，有的画不出呢？

提炼要点：用“钉绳”画圆，一定要注意什么？（绳长固定不变。）

抽象定名：（1）图钉所在的点正好在圆的中心，叫圆心;固定的绳长实际上是圆的半径（边说边沿绳子描出线段）。想一想，半径是怎样的线段？（2）除了半径，圆里还有一条特殊的线段，叫直径。你知道直径是怎样的线段吗？

描述特征：结合画圆的过程思考，圆的半径有什么特征？直径呢？为什么？

这位教师没有选择常规的圆规画圆，而是大胆选用了“钉绳”进行实验。“钉绳”不是标准的画圆工具，只是比较原始的画圆素材，但在学生认识圆的特征过程中起到了关键的作用：首先，用“钉绳”取代圆规，特别是“绳子”的出场，使“圆心”和“半径”这两个要素都能以具象、物化的形式呈现，便于学生直观感知和观察分析;其次，利用不同弹性的“绳子”进行对比实验，凸显圓的本质特征;最后，“钉”“绳”直接抽象为“圆心”“半径”，使实验素材和数学概念无缝对接，加快了学生对圆的本质认识的进程。

（二）厘清实验序列，逐层建构意义

心理学研究表明，学生认识图形概念的过程是有一定顺序的。就图形概念的空间位置与度量性质来说，学生一开始往往只关注图形的整体特征，随后会按“先长度后角度”的次序注意图形元素的单一性质，最后才能兼顾图形元素的多种性质。教学时，教师要遵循学生认知图形的规律，合理建构实验序列。

比如，教学“认识长方形”时，一位教师设计了用小棒搭长方形的实验活动：

出示3组小棒，如图1。

实验：请你选择其中一组小棒搭一个长方形。

思考：（1）你选择了哪组小棒？为什么？（2）你是怎样摆放小棒位置的？

对比：如图2，哪个搭成了长方形？同样是把相同的小棒相对摆放，为什么②号图形没有搭成长方形？

猜想：根据用小棒搭长方形的过程，猜想长方形有什么特征？

实验：测量长方形的边和角，验证猜想。

以上实验活动，按从“边”到“角”的顺序引导学生逐步探索长方形的特征：首先，通过选材料搭图形的活动，帮助学生从长度和位置这两个维度描述长方形“边”的特征;接着，就不同实验结果进行对比观察，突出“角”这个“弱刺激”，把学生的视角从“边”顺利引向“角”，实现对图形元素的多元关注;最后，通过测量“边”和“角”检验结论，一定程度上弥补了实验的不足，提高了知识的严谨性。

三、在实验中联结，深化概念理解

数学概念之间具有广泛的联系，不仅有横向的联系和纵向联系，而且有浅表性联系和深层次联系。几何概念教学中，教师要基于对学生原有概念联系的理性分析，通过生动、有趣的数学实验帮助学生形成正确的概念“联结”，深化对概念本质的理解。

（一）由浅入深，通过冲突澄清概念

受日常生活经验的影响，小学生在学习几何概念时经常会进行错误的概念“联结”。凯斯认为，一个有效的教学策略是让学生有机会主动察觉自己的错误，造成本身在认知上的不平衡，进而产生认知调整的需求。

比如，教学体积概念时，一位教师通过创设实验情境帮助学生澄清概念：

准备：一个眼罩和两个物体，其中一个物体是质量重但体积小的铁块，另一个质量轻但体积大的泡沫塑料。

实验：先请一名学生带上眼罩，双手侧平举，再在该生的两个手臂上各挂一种物体。

猜测：猜一猜，哪边的物体体积大？为什么？

观察：你有什么想法？（质量重的物体，体积不一定大。）

众所周知，体积是物体所占空间的大小。但在实际教学中，我们发现小学生会用“质量”来解释“体积”，认为质量重的物体体积大，反之，质量轻的物体体积小。针对这种简单的、非本质的概念“联结”，教师通过创设数学实验情境，利用“视觉”和“体感”之间的差异制造认知冲突，帮助学生明确“体积”和“质量”的不同，进而明晰体积概念的本质。

（二）由此及彼，利用变式沟通联系

研究表明，概念变式是从多角度检查概念的方式，既能增强对概念的理解，还有助于概念的迁移。几何概念教学中，教师可以巧借实验提供图形变式，通过变化图形的本质或非本质特征，帮助学生把握概念的内涵和外延，同时促进图形、概念之间的“联结”。

比如，在“认识周长”的练习中，一位教师设计了如下实验活动：

猜想：如图3，图①的周长是几根牙签的长度？图①、图②的周长哪个长？

实验1：先照样摆图①，再把图①变成图②，思考图①、图②的周长哪个长，为什么。

猜想：如图4，哪个图形的周长长一些？

实验2：把图①分别变成图③和图④，思考图③、图④的周长一样吗，为什么。

发现：通过对实验结果的观察，你发现了什么？

学生通过操作牙签变化图形并比较图形的周长，不仅能加深对周长本质的理解，而且能促进图形、概念之间的“联结”：一是渗透“转化”的思想，建立各种图形之间的内在联系，积累通过转化求不规则图形周长的方法;二是引发对图形“周长”和“大小”（面积）之间关系的思考。

（三）由表及里，借助反思促进联系

恩格斯说过：“数学并不停止于实验，而必须把它与理性的解释结合起来，在这些看上去无联系的实验背后是否隱藏着某种理论？”几何概念教学中，教师要鼓励学生对实验结果进行质疑，积极思考实验背后的数学本质。

比如，教学“三角形按角分类”后，可以设计如下实验活动：

质疑：按角分类，三角形只能分成直角、锐角和钝角三角形这三类吗？可不可能存在其他的三角形呢？

实验：在钉子板上围出含2个钝角或2个直角的三角形。

思考：为什么围不出其他的三角形呢？

针对三角形按角分为直角、钝角和锐角三角形这个结论，教师首先通过提问“可不可能存在其他的三角形”对三角形的分类结果进行质疑，接着鼓励学生通过“围有2个钝角或2个直角的三角形”，举出反例验证猜想，最后基于实验事实引导学生深入思考现象背后的原因，从而帮助学生建立起“三角形内角和”与“三角形分类”之间的联系，从本质上解释并证实了三角形按角分类的合理性。

参考文献：

[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.