万物有波

马慧元

傅立叶是谁

“傅立叶级数”，远比傅立叶有名，不过法国多事之秋中的数学家傅立叶其人，也有不少故事。

傅立叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830），出生于离巴黎不远的小城欧塞尔（Auxerre）的一个裁缝之家。九岁成了孤儿之后，进入本笃会（Benedictines）修道院，又在本地的一所军事学校继续读书，开始爱上了数学。他在教室里到处捡人家丢弃的蜡燭头，晚上好接着钻研数学。十三四岁的时候，他已经自学完了贝祖定理，成了校中的学霸，不要说数学，连歌唱都拿了奖，他的理想是凭成绩进入军事学校学工程。不过，这个快乐、敏捷的孩子十六岁之后患上了哮喘病，不得不花整整一年的时间休养。此外，军事学校要求必须出身贵族才能继续学习军事工程，这样，他被军事学校狠狠地拒绝了，“哪怕他是第二个牛顿”，官员这样说。

军事学校的路子被堵死了，但二十出头的傅立叶找到机会在欧塞尔的一所修道院里教数学。当时的法国修道院往往是教育、科研的场所，有些修道院在后来的法国大革命中被关闭，也有的因为拥有雄厚的教育实力而幸免于难。傅立叶所在的修道院就是这样，平安度过了动乱期，只是他在这里并不开心。当时，在家长们的要求下，拉丁文已经渐渐让位给数学，虽然是数学控，但傅立叶很不满意学校放弃拉丁文，他终生都爱读人文书籍。此外，他在写给朋友的信中还不断抱怨，本来是要献身于研究和信仰，不料每天面对的都是鸡毛蒜皮和种种摩擦。他每天的生活很有规律，但没什么自己的生活。日日无书可读，他曾经就用一本残缺的蒙田来消磨时日。他在日记中写道：“昨天是我二十一岁生日，牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。”

一七九二年，法国大革命处在高潮，人心惶惶，不过安静的小城欧塞尔并没有受到很大的影响。后来形势突变，欧塞尔不再宁静，傅立叶突然决定投身本地的政治，而此时过了九月，革命又进入恐怖时期。他萌生了退意，但为时已晚，很难抽身了。他被派到奥尔良执行任务，中间卷入了一些冲突，细节并没有太多记录，但他在日记中说：“绝对没有违背大革命的原则。” 到底什么是大革命的原则呢？这即使在雅各宾派的核心之内也有异议。在王后和一些吉伦特派成员被送上断头台之后的高压环境里，傅立叶处境危险，幸好有人力保才没有被当作敌人。此时人人自危，命如草芥，断头台下前仆后继。

而后傅立叶回到了欧塞尔，当上了欧塞尔革命委员会的头领，拥有了那么一点点自保的特权。大革命爆发的这两年里，近二十万法国公民在《嫌疑犯法令》（Law Of Suspects）之下被捕，一万七千多人被处死。一七九四年十月，傅立叶也被逮捕了，有人说他“不适合公职”。他被释放后又被重新逮捕，罪名起源是在奥尔良的一次运动中，他站队到无裤党（Sans-culottes，又称“无套裤汉”，原意指法国下层阶级老百姓，也指大革命早期的激进主义者）那边，被罗伯斯庇尔的人视为威胁。此时恐怖气氛愈演愈烈，杀人如割韭菜，二十六岁的他，在死亡恐惧中度日如年。万幸的是，几天以后罗伯斯庇尔自己被送上了断头台。消息抵达欧塞尔之后，包括傅立叶在内的许许多多身处危险的人都松了口气。又煎熬了一个月，他才被释放。

此时傅立叶虽然仍然有政治职务在身，但终于当上了欧塞尔学院的数学教授。不过，后来他被法国师范学院（那时还不叫高等师范学院）录取，就来到了恐怖气氛未除的巴黎。进了学校，傅立叶如鱼得水，他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日这些一流数学家。

在这里，他总算是远离政治，并且恨不得把“革命”的过往从自己身上洗清了。可他毕竟是革命委员会的前主席，人家可没忘记旧账。有消息传来，说因为恐怖时期跟权力相联系的过往，他可能会被学校开除。不久，他果然再次被捕。他要求公审，并申明自己在欧塞尔任职期间，从未加害于人，从未允许和参与恐怖的屠杀;相反，他自己倒险些被极端的革命者送上断头台。他救过不少无辜者，当然，不可避免地，也签署过很多人的逮捕证。他申辩说，他们以为以我的位置，可以拯救所有人。讽刺的是，现在指控他的人，有一些属于他支持的无裤党，不久前傅立叶还因为他们而入狱。最终，他又被糊里糊涂地给放了出来。回学校教书的时候，中央公共工程学院（?cole centrale des travaux publics）已更名为巴黎综合理工学院（?cole Polytechnique）。他自然继续夹起尾巴做人，这位前雅各宾派热血青年闭口不再提革命。

一七九八年，拿破仑将军要出征埃及（并且有着“科学考察”的目的），征召了一批科学家、学者甚至艺术家，仅仅巴黎综合理工学院就有不少人，傅立叶也作为数学家应征。士兵去了三万人，一共出动十八艘船。顺便说一下，混血的骑兵军官托马·亚历山大·仲马也在其中，他是贵族和黑奴的孩子，一生跌宕传奇，而他的儿子，就是写了《基度山伯爵》的大仲马。

话说这开往埃及的海路极为漫长，拿破仑每每不晕船的时候，都会召人来谈谈科学问题，后来演变成一个“开罗学会”，傅立叶任秘书。旅途极为艰苦危险，一度与大陆断了联系。种种坎坷之中，拿破仑仍然定期跟学会的人见面。这个学会不仅是为推进关于埃及的研究，某种程度上也是拿破仑的智囊团，讨论的问题从在当地酿啤酒到造风车，无所不包。科学家和学者对这种生活深感兴奋，比如傅立叶听到传闻说要撤离开罗的时候，直追着蒙日等人到大街上理论;同行者中却也有人追着拿破仑苦苦央求带他回法国。

最终，他们还是狼狈兮兮地返回了法国。这次探险在历史上留下了许多话柄，比如给当地人带来了巨大灾难，再比如拿破仑也损失惨重，还抛弃了官兵自己秘密逃回法国，留下个烂摊子。他曾经许诺让每位士兵带回六亩地的财产，其实最终能幸运回去的人，能带回一些“传说”和一点战利品就不错了。而拿破仑此行，对埃及古文化、象形文字的研究、“埃及学”的创立所作的贡献，倒是彪炳后世。傅立叶在这里的时光，从表面看只是履行使命，认真整理开罗当地的地理和文物资料，日后出版了一册详细的《埃及记叙》（Description de l'?gypte）。今天的科学学生们，谁能想到数学家傅立叶竟然是“埃及学”的创始人之一。

三年后，三十三岁的傅立叶被拿破仑任命为伊泽尔省（Isère）的省长（Prefect，当时的法国共有八十三个省），可他本来是打算回师范学院继续当数学教师的。没有办法，他只得硬着头皮上任，工作很多很杂，从城市的排水到修路，还在省会格诺伯勒成立了“艺术与科学学会”，政绩极出色。正是从这段时间开始，他对热传导产生了兴趣。他身体不好，总要待在温暖的房间里，而从炎热的埃及回到寒冷的伊泽尔省之后，健康更加糟糕，他得尽力维持房间的温度。大约是出于这样的原因，热在固体中的传导、扩散一直是他喜欢思考的问题。一八○七年，这位年轻省长的政绩中，居然增添了一篇记载于史册的热学论文—《热在固体中的传播》。这是他一生看重的热传导研究的开始。

在成功的仕途中，傅立叶并不快乐。他的数学家师友们大多在巴黎，他们都知道傅立叶渴望回归数学圈子，也都尽力建议拿破仑放傅立叶回学校教书，但拿破仑充耳不闻。很多人悄悄猜测，大约傅立叶曾经力挺过拿破仑的一个政敌。看上去，傅立叶得在伊泽尔省做到退休了。

命运却出现了转折。一八一四年，普鲁士、俄国等国的盟军攻入巴黎，拿破仑打了败仗（此时距上次外国军队攻入巴黎已经有二十年了），伊泽尔省被奥地利军队围困。而此时，拿破仑在被流放到厄尔巴岛的路上，正好要途经这里。这可尴尬了，作为省长不能不迎接，但怎么面对失势的旧主呢？躲起来不站队也不可能。傅立叶没有好办法，懊丧地等待那一刻。不过到了那一天，消息突然传来，拿破仑绕道而行，不经过这里了。傅立叶终于松了口气。不过有人发现，其实这是傅立叶自己“争取”到的福利，他试着放风给拿破仑，说欢迎人群可能太多，有些危险云云。

这段时间里，被砍头的路易十六的弟弟，从大革命时期就流亡在外的路易十八已经回到法国，波旁王朝复辟。风头突变，谁都摸不准形势。一八一五年二月，傅立叶突然收到邻省省长来信，拿破仑又带着一千多人来格勒诺布尔了。怎么办呢？傅立叶这次不能再躲了，赶紧跟市民申明“必须跟国王一条心”，违者必究。最后，拿破仑还是让人强行打开大门，此时傅立叶已经从另一个门消失掉了，给拿破仑留下一封信，说实在无奈，必须对国王尽忠，希望旧主海涵。后来，拿破仑从厄尔巴岛逃回，建立了“百日王朝”。拿破仑对傅立叶记恨不浅，把他伊泽尔省长的职务停掉，并派他到里昂。不久，傅立叶就在官员们的人际斗争中落败、辞职。拿破仑给了傅立叶一笔退休金，让他告老还乡了事。

傅立叶终于摆脱了案牍劳形的生活，回到巴黎，跟数学家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此时风云再变，拿破仑战败，法国又复辟成了波旁王朝，傅立叶的退休金被废止。恐怖时期又開始了，只是换了个方向：前雅各宾派、拿破仑党都受到保皇党的迫害。最后，在一个熟人，也是埃及之行的同僚之一的帮助下，傅立叶争取到小笔收入，就是在塞纳的统计局获得一份监管之职。而忠诚地跟随拿破仑出征埃及，后来又兢兢业业为法国高等教育尽力的蒙日，则没那么幸运。他被驱逐出科学院，死于潦倒。

傅立叶此时希望自己能逐渐恢复在科学界的地位，比如进入法兰西科学院，另外申请一份比较舒服的待遇，起码恢复拿破仑批准的退休金，这些都被国王无情地否决了。虽然，他当年卷入雅各宾派的污点没有遭到“再度曝光”，但他在拿破仑百日王朝这段时间对旧主有所支持，虽然最终与拿破仑反目，但新国王显然更反感他，傅立叶就这样被两方唾弃。为了争取一份体面的待遇，他经历了一场痛苦的拉锯战。傅立叶在写给法国内政部的信中指出，自己当年主持《埃及记叙》的编订，耗尽心力也没拿到报酬;在伊泽尔省为了排水工程自掏腰包也没有报销。拖到一八一六年，傅立叶似乎有机会进入法兰西科学院，却被国王无情地否决了，之后傅立叶不断地申诉，他的朋友也不断地向国王请求、解释。又过了一年，科学院的物理分支有了个空缺，傅立叶在五十票中获得四十七票，再加上朋友大力活动、推荐，终于进来了。至此，他终于拿到了一笔稳定的收入，也算正式进入了科学圈子，这才可以全心全意地工作了。

一八二二年，法兰西科学院的永久秘书长去世，傅立叶众望所归，当选为新秘书长。不久，拉普拉斯去世。此时法国数学界依然活跃，除了身居高位的泊松，还有江湖之外的高人柯西、伽罗华和阿贝尔。科学界虽然有不少名位之争，大师有时也会打压异己，但法国在如此乱世之中取得的科学成就十分惊人，如今一个普通的工程、科学类高中生、大学生在教科书中都会屡屡遭遇那个时代的法国科学家的名字，从微积分到概率论，从电流单位到复数概念。

傅立叶终身未婚，似乎也无心属之人，后人只在他的信件中读到他多次提及自学成才的数学家索菲亚·热尔曼（Marie-Sophie Germain，1776-1831）。在一封写给法兰西学院推荐索菲亚的信中，他说：“这位罕见的优秀又美丽的女士配得上您对她的关注。我温柔地爱着她，并且深深感激您为她所做的一切。”这些蛛丝马迹，就是傅立叶存世的全部浪漫史。

一八三○年，他当选为瑞典皇家科学院外籍院士，也陆续获得了很多荣誉，但身体愈加糟糕，类风湿愈加严重，几乎不能出门，只能裹着厚厚的毛衣待在家里，后来连呼吸都愈加困难。在最后的日子里，他得把自己包裹得像个大匣子，只有头和胳膊伸出来，才能工作。只要有可能，他还是疯狂地工作。当年这个有野心的年轻人在日记里写道：“昨天是我二十一岁生日，是牛顿和帕斯卡已经成就斐然的年纪。” 现在一切都不同了，他的时光已经耗尽。

当年三月，他突然在楼梯上跌倒，两星期后去世。

什么是傅立叶级数

以上是数学家傅立叶的故事。不过在生命的大部分时段，傅立叶不是专业数学家，而是一个仕途平静的地方官员，爱数学，爱生活，兢兢业业完成各种任务，同时一生受疾病所扰，最终天不假年。他因为时代之故卷入了政治，一生沉浮非己身所能左右，但很幸运地苟全于乱世，最终在数学圈子里获得了教职，跟很多一流数学家都有交流。数学家傅立叶的精神世界，其实远比那个作为军官、政治家的傅立叶要精彩得多。

我们今天生活的方方面面，都没有逃脱傅立叶级数的影响。

让我们以声波为例，介绍傅立叶最重要的数学成就“傅立叶级数”（包括傅立叶变换、傅立叶分析）。大家都知道声音是由物体在媒介（常常是空气）中的振动产生的，声波的几个彼此独立的要素有振动周期（波峰到下一个波峰的时间长度）、频率（每秒振动次数）和振幅（跟响度成正比）。因为现成的正弦和余弦公式完美简洁地表达了周期性，所以人们借用这个工具来描述波形。真正的振动过程是复杂的，比如音乐中的拨弦乐器：

但是，正弦/余弦函数表达的波形，并不能直接画出这个手指拨出的“尖角”，它一定是各种波形复合的产物。所以上图的拨弦，产生的声波如下图（横轴为时间，纵轴为振幅）。

但也有些时候（比如需要取出或者过滤某个频率的声音），频率成为纵坐标。而某个“凌乱”的频率波形终将分解成若干“纯净”的三角函数之和：

f （t） = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…

也就是f （t） = a0+∑∞（n=1） （ancosnωt + bnsinnωt）（这里ω是角速度）而a0、a1、b1、a2这些系数都必须求出来。傅立叶提供了十分巧妙优雅的解法（所以这些系数也被称为傅立叶系数），有兴趣的读者可以轻易搜索到它。

关于声波的叠加，这里只举个实际的例子，几种乐器的声波（想象一下，纵轴为频率，横轴为时间）：

它们分别是长笛、双簧管和小提琴的声波。为什么三种乐器在演奏同一个音的时候会呈现非常不同的音色？而上述求和公式就告诉我们，每个分量前面那个系数不同，也就是有多少个四百赫兹、多少个六百赫兹、多少个八百赫兹……组合不同，声波的形状就不同，音色也就不同，而占据主导的那个频率，正是我们所说的基音频率，也就是乐器上你正在弹（拨、拉）出的那个音，至于它的泛音，应该是另一篇文章的话题了。

那么，在上述的求和公式f （t）中，正弦和余弦明明是两个相关的函数，为什么不合二为一？感谢天才的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），不仅发明了e这个神奇的自然常数，还发现了e、复数和三角函数之间的关系，这就是欧拉公式：

cosθ + isinθ = eiθ

话说复数这个如今高中生也要费点思量去理解的概念，十六世纪的意大利人卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1501-1576）就已经提出来了，而它真正完善成我们所知的样子，经历了两百余年。

这样，含有正弦、余弦的求和公式在無限时间域内统一为含有e的表达—

原本是频率的f （x），变成另一个变量ξ的函数，时间变量不复存在，因为它整合进了ξ的函数。当然，这个积分并不容易求，所以渐渐有了各种算法去逼近它。但关键在于，不管你有一个什么样弯弯曲曲的周期连续函数f （x）（哪怕它不是周期函数，也可以在一定条件下用求极限的方式转换为周期函数），都能表达成一个积分（在离散条件下，就是求和）公式，f （x）就这样被“化解”了。在实际应用中，时间域有限，你能用一系列正弦函数和余弦函数的和来逼近这个弯弯曲曲的f （x），而所谓“滤波”、去噪音的过程，都是应用它的结果。而那个谜底f （x），产生傅立叶系列的“原初”连续函数，也可以在合适的条件下用积分还原，所谓逆变换。比较一下上面的公式，两者显示出惊人的对称：

上面说到坐标系，横坐标为时间，纵坐标为频率，但也可以有别的表达方式，比如极坐标系，任何一点都可以通过用它从原点旋转的角度和距原点的距离来表示。如果用它来描述波形运动和傅立叶变换的话，任何一个形状的图案，都可以叠加若干直径的小圆圈（叠加即为向量求和）画出来。下图是一个视频的截图，人脸就是这样画出来的。左上部一团小圆圈，正是运动着勾画出人脸细部的步骤，是傅立叶级数叠加的过程。万物皆圆，多么迷人的过程：

这样一来，许许多多的数据变化形态，都可以被模拟。声音、电流不用说，地震、心跳、血流、股票、气象也都不在话下;任何看上去高低不平的噪音式波形，都可以乖乖地分解成若干个整整齐齐的，带有系数的周期性三角函数波形的叠加，它们也可以组装成原来的样子。这中间会有一些“约等于”造成的信息损耗，不过一般可以达到我们需要的精度。

尽管这些公式初看十分复杂抽象，但其实相对于真实而言，公式都是描摹世界的极简版。你我随便拨一下琴弦、敲一下鼓，在这个世界上造成的变化远比这些公式复杂得多。公式们要么大刀阔斧，对细节视而不见，要么高屋建瓴，对混乱表象只取平均值，才有了我们对世界牙牙学语般的初级认识，也才有了种种粗糙模仿。无数电子设备、电声乐器，都源于此。傅立叶级数帮人分析、模拟音响，也可以创造出自然中不存在的音响，整个电子音乐产业，没有傅立叶级数就不会存在。

最为有趣的是，虽然傅立叶变换这个数学工具不过存在了两百多年，但自古以来，人耳却一直依靠自己的生理结构顽强地做着“傅立叶变换”，这才有了人类以及多数哺乳动物对音乐、声音的接收。这个结构大概来说就是耳蜗（cochlea）中锥形的基底膜（basilar membrane），不同的“地段”有不同的宽度、厚度和硬度（也就是从硬的一端渐渐变软变细），这些物理性的区别会形成不同的振动，硬的一端频率较高，沿着基底膜递减。膜上有很多毛细胞，它们对不同的振频有不同的反应，把电势能通过神经细胞输送给大脑。膜外也有毛细胞，可以把大脑的取舍、调整反馈回来。注意，基底膜的物理形态就是把声波做出“傅立叶变换”的关键。而大脑那一端对声音的处理就复杂多了，习惯、训练、文化环境都会影响它。

万物有波

傅立叶的名字，最终刻上了埃菲尔铁塔。塔上的七十二个名字中，还有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等数学家，他们都经历了法国大革命及拿破仑时代，多少都受到政治的影响。而那时的军事热情也推动了应用数学的发展，从这个角度来说，傅立叶的发现也离不开那个时代。

不过，他最早感兴趣的题目是热传导。他对温度、热传导的话题真是从不疲倦，如今的“温室效应”也是他提出的。他早年最有影响的、获得法兰西科学院大奖的论文就是关于热的解析。所谓傅立叶级数，正是在热传导方程的求解过程中提出来的。傅立叶研究热学的路漫长而曲折，最早因为“观点不够原创，前人已经提出来了”，遭到泊松、拉普拉斯等人的质疑，傅立叶在压力之下不断寻求改进，写出了好几篇重要论文，最后被逼出来最有意义的用三角函数拆解一般函数的结果，为后来的数学发展打开了一扇大门。

当然，如今的傅立叶变换理论，并不完全出自傅立叶之手，许多前人、后人都对它有所贡献，傅立叶本人的论证，甚至有一些错误，但他提出了本质的思想，尤其是解决了波形的一般性表达，故居功至伟。而声波的分解和叠加，是傅立叶变换的典型应用之一，它的精彩之处在于它体现了许许多多事物的核心，以及那种万物归一的力量。常常，在一个用求和来“模拟”波形的过程中，当n=1，2，3的时候，被转换的函数的形状离原函数似乎全不搭界，当n逐渐增加之后，却渐渐如同精细的手工描绘一样逼近。又因为可以双向转化，我们可以把一段音频分解之后，去掉一个高音频再重组。这样看来，声音甚至音乐，反倒一点也不特殊了，至于音乐的电子化、数字化，只是水到渠成而已。傅立叶系列，确实揭示了一部分音樂的秘密，它将声音的传播方式工业化，也改变了音乐工业化的进程。在欧洲文明里，音乐曾经有着那么神圣和根本的地位，而如今对它的模拟和再现都成为可能。音乐和数学，有着天然本质的联系，或许仅仅是因为，数学形式在世上无所不在。

从欧洲的启蒙时代开始，人愈加自信甚至狂妄，因为科学似乎无所不能;可同时人也变谦卑了，因为会更客观地看自身，知道自然并非为取悦人而存在。物理学研究声音，就应该面对各种声音（包括人听不见的振动），而非“好听的声音”，所以科学家的研究，从对和声、和谐的认知变成声学，数学和音乐的分裂已经不可避免。到了二十世纪，学科越来越细，却也越来越多，有一部分就来自传统学科的交叉，所以有了“计算音乐”这么个分支。数学家们发现，一些音乐现象和作品，是可以用数学来解释的，比如音阶的七个音，天然可以用离散傅立叶级数来表达;许多计算音乐领域内的论文，直接涉及音乐分析，比如一些音乐中能量和情感爆发的状态，在数学上也能够观察和预测，并体现数学意义。尤其是二十一世纪，用傅立叶分析来研究音乐的方向相当红火，并非危言耸听，作曲家真的可以从空间、几何等方面认知吸收一些灵感了。

幸好，科学能解构、能建构、能分解、能模拟，人世却是动态的，算法之网恢恢，人尚有逃逸的空间。傅立叶变换并未将声音尤其是音乐的秘密一网打尽。人脑仍然会给声音施加生理和文化的影响，比如对音乐会“脑补”出一些并不存在的频率，有时人耳感觉最舒服的未必是数学预测最完美的，等等，更不要提倾听习惯软化困难的力量。尤其是，数学细节之美，尚未普遍内化为大脑的快乐，“远古大脑”们仍然高高兴兴地拥抱故事、图像、旋律等感性的幸福，科学苦口婆心也未必能说服它。科学在进步，AI在扩张，我们不断发现自己可以控制和模拟的事物，同时也不断发现新死角，两者竞赛，即便前者胜券在握，后者只剩被围剿的命运，人类的“龟爬”尚有时日残喘吧。

参考文献：

Joseph Fourier： The Man and the Physicist， by John Herivel， Oxford University Press， 1975;

Measured Tones： The Interplay of Physics and Music， by Ian Johnston， CRC Press， 2009;

Music Through Fourier Space： Discrete Fourier Transform in Music Theory， by Emmanuel Amiot， Springer， 2016;

Music： A Mathematical Offering， by David Benson， Cambridge University Press， 2013;

Physics and Music： The Science of Musical Sound， by Harvey E. White， Dover Publications， 2014;

Who Is Fourier？ A Mathematical Adventure， by Transitional College of LEX， Language Research Foundation， 2012.