基于解析法和有限元法的PMSM电磁力波分析

王 伟，黄开胜，杜晓彬

(广东工业大学，广州 510006)

0 引 言

随着环境的发展和工艺的改善，现代居住的环保要求以及电机系统的控制技术对电机的振动噪声提出了更高的要求，使得振动噪声逐步成为衡量电机性能的重要指标之一。现在电机的主要噪声源涉及三个部分，包括电磁力波产生的电磁噪声、机械结构原因产生的机械噪声以及由于通风所造成的空气噪声[1]。对于现代纺织用电机的电磁振动噪声却鲜有研究[2-3]。

目前，国内外对电磁力波的分析方法取得了诸多成果。文献[4]提出通过解析法采用磁势乘磁导的方法计算气隙磁场，并且在考虑了定子开槽的影响下推导出电磁力波表达式，但是该解析分析没有考虑电枢反应磁场以及电机瞬态磁场的分布，而且做了很多近似和假设，解析分析与实际工程误差很大。文献[5-8]最早对表贴式无刷永磁电机的气隙磁场进行解析分析，通过解析法分别计算了空载磁场、电枢反应磁场、定子齿槽效应以及负载合成磁场4种情况的瞬态磁场分布及表达式。但是，解析法由于自身的局限性，铁磁材料饱和性和电机复杂结构等因素对气隙磁场的影响却只能被忽略和近似。随着有限元软件的版本更新和功能强化，其对于工程应用中的电磁分析具有更强的适用性。文献[9]基于有限元数值计算方法，考虑了定子齿槽、磁路饱和对同步电机气隙磁场特性的影响。文献[10]针对永磁伺服电机详细介绍了有限元仿真电磁力波的具体步骤。文献[11]比较了分数槽永磁无刷电机径向电磁力的解析模型和有限元仿真结果。文献[12]分析了永磁同步电主轴分数槽电机的径向电磁力。

本文利用解析模型与有限元模型的双模型，通过由解析法过渡到有限元法的层层深入，对现代纺织用永磁同步电动机(以下简称PMSM)的径向电磁力波进行了详细分析，为后续电机的减振降噪优化设计提供了参考。

1 PMSM气隙磁场的谐波解析分析

本文主要采用解析法分析48槽8极整数槽表贴式PMSM，其气隙合成磁场主要是由定、转子磁场相互作用产生的，并在此基础上产生了径向电磁力波，其大小取决于定、转子磁动势和气隙比磁导[13]。在三相绕组通入三相对称电流时，通过解析分析PMSM的气隙合成磁场和定、转子谐波磁场，为与有限元法结合及对比分析径向电磁力波次数作了理论指导。

1.1 PMSM磁场和磁动势的谐波分析

PMSM的气隙磁场，当不考虑饱和效应时，同时忽略铁心磁阻，即铁心部分无磁压降，气隙磁密的解析式：

b(θ,t)=λ(θ,t)·f(θ,t)

(1)

式中：λ(θ,t)为气隙比磁导；f(θ,t)为气隙磁动势。

当电机为表贴式PMSM且定子开齿槽，气隙比磁导的解析式[14]：

λ(θ,t)=Λ0+∑λl1

(2)

式中：Λ0为单位面积气隙磁导的不变量；λl1为定子齿槽引起的谐波比磁导的周期量。

在三相绕组通入三相对称电流时，PMSM的气隙磁动势由定子基波磁动势、定子谐波磁动势和转子永磁体谐波磁动势组成，气隙磁动势的解析式：

1.2 定子电枢绕组谐波磁场的解析分析

1.2.1 定子谐波磁动势

PMSM定子谐波磁动势的解析式：

(4)

式中：ν为定子磁场谐波极对数。

当非正弦分布电枢绕组通过定子基波电流，会在气隙中产生ν次谐波磁动势，其转速为n0p/ν，感应电动势与基波的角频率一致。

1.2.2 定子磁场谐波极对数

通过对定子磁场进行解析分析，当每极每相槽数为整数，即q=Z1/(2mp)为整数时，定子谐波磁场中只含有奇数次谐波。此时谐波极对数与谐波次数的关系：

ν=(±2mk1+1)p

(5)

式中：k1=0，1，2，3，…；m为电机相数；p为电机极对数。

将k1=0，1，2，3，…分别代入式(5)，可以得到定子磁场谐波极对数ν=4，-20，28，-44，52，-68，76，…。

1.3 转子永磁体谐波磁场的解析分析

1.3.1 永磁体谐波磁动势

PMSM永磁体谐波磁动势的解析式：

(6)

式中：μ为永磁体磁场谐波极对数。

解析时采用等效永磁体谐波磁动势表征电机实际非正弦转子永磁体磁场[15]，会在气隙中产生μ次谐波磁动势，其转速为n0,感应电动势的角频率为ω0μ/p。

1.3.2 永磁体磁场谐波极对数

通过对永磁体磁场进行解析分析，永磁体磁场中只含有奇数次谐波。此时，谐波极对数与谐波次数的关系：

μ=(2k2+1)p

(7)

式中：k2=0，1，2，3，…；p为电机极对数。

将k2=0，1，2，3，…分别代入式(7)，可以得到永磁体磁场谐波极对数μ=4，12，20，28，…。

对于该款整数槽表贴式PMSM，通过解析式(4)、式(6)和式(5)、式(7)可以准确地定性分析谐波极对数与谐波磁动势之间的关系及磁场谐波性质，对于理论分析电机性能起到了参考作用。但上述解析法也存在一定的局限性，除了与实际工程存在误差外，主要是不能快速、直观以及整体性地定量分析定、转子磁场谐波幅值大小及幅值与谐波极对数之间的关系，不能明晰地观察定子电枢磁场和转子永磁体磁场气隙磁密分布的波动程度，以及与定子槽、极对数、永磁体等电机本体参数之间的关系；同时解析法无法有效、快速地剔除作为引起电磁振动噪声非主要根源的高次数小幅值谐波数据，对于力波次数表的形成无法节约时间成本，其冗余性影响了对电机的优化和设计。

2 PMSM电磁力波次数解析法与有限元法的对比分析

定、转子气隙磁场的径向分量相互作用形成径向电磁力波，是引起电磁振动噪声的主要因素。对于引起电机径向振动发生形变的电磁力波，次数越低，则形变就越大。定子铁心形变量随着力波幅值的增大而加剧；随着力波次数的4次方的增大而弱化，所以电磁振动噪声主要源于低次数大幅值的电磁力波。

2.1 径向电磁力波次数的解析分析

通过对48槽8极整数槽表贴式PMSM的定子磁场和转子磁场的谐波分析，可得出径向电磁力波次数的解析式为：

γ=ν±μ

(8)

其中，力波次数不大于4次的径向电磁力波更容易产生电磁振动噪声，所以将力波次数提高至大于4次时，电机的电磁振动噪声将得到明显抑制[16]。将式(5)和式(7)代入式(8)，忽略数学表达式结果大于4的解析式，只保留可能产生力波次数为0或者2p的部分，因此其主要径向电磁力波次数的解析式：

(9)

式中：k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…。

将k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…分别代入式(9)，可以得到径向电磁力波次数γ=0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，满足上述力波次数为0或者2p倍的解析理论。

通过解析式(8)、式(9)可以定性地分析影响该款电机电磁振动噪声的主要力波次数，是否含有4次以下径向电磁力波，初步判断电磁振动噪声的影响程度。但上述解析法还存在一定的局限性，不能快速、直观以及整体性地定量分析电磁力波的次数，不能明晰地观察径向电磁力波空间与时间分布的波动程度及波动位置。

2.2 径向气隙磁场的有限元仿真分析

采用解析法对PMSM磁场谐波理论和径向力波进行分析，虽然能较好地表达定、转子谐波，但是其快速性、直观性、整体性较差，而且对解析过程作了很多近似和假设，如忽略铁心磁阻、铁心饱和等，这些都会影响解析分析的准确性。所以，在解析法的基础上融入有限元法，对PMSM谐波磁场和径向电磁力波的分析是非常有意义的[17]。

本文的PMSM解析模型与有限元模型的结合过程如下：

a) 直接采用有限元法仿真分析电机气隙磁场(额定负载时定子电枢磁场和空载永磁体磁场)。

b) 分别对上述的气隙磁场波形进行快速傅里叶变换(FFT)分析，准确获得气隙磁场的基波与谐波幅值。

c) 对快速傅里叶变换柱状图进行数据转换并做预处理。

d) 设计基于Python和Excel结合的预处理程序[18]，如图1所示。

图1 Python程序流程图

e) 通过对比解析法分析得到的谐波极对数数据与有限元法仿真及Python预处理后的数据，来验证有限元法的正确性；同时结合解析式γ=ν±μ，使用预处理后的谐波极对数ν和μ，合成径向电磁力波次数表。

2.2.1 额定负载时定子电枢磁场谐波仿真

通过ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，对定子绕组加载额定电流，同时将转子永磁体材料设为空气，如图2所示。

图2 额定负载时电机有限元模型

对图2有限元模型进行径向气隙磁密仿真，可以得到额定负载时定子电枢磁场波形，如图3所示。

图3 额定负载时定子电枢磁场波形图

对图3波形进行FFT分析，可以得到各次谐波及其幅值，如图4所示。

图4 额定负载时定子电枢磁场FFT柱状图

利用基于Python的设计程序对图4进行预处理，得到筛选后的磁场谐波数据及磁场谐波分析图，如表1及图5所示。

表1 预处理后的定子电枢磁场谐波数据

图5 预处理后的定子电枢磁场谐波分析图

由图3可知，电枢磁场基本呈正弦性，具有4个周期和48个小范围波动，与电机极对数和定子槽数一一对应；同时，在定子齿冠与永磁体接近时存在明显波动，即波峰和波谷处。由图4、表1可知，电枢磁场基波幅值最大，为0.56 T，且仅含有1，5，7，…奇数次谐波。由图5可知，有限元法有效地剔除了定子磁场中高次数小幅值谐波，并将横坐标转换成谐波极对数，为快速形成力波次数表节约了时间成本，避免了解析法的冗余性。

2.2.2 空载永磁体磁场谐波仿真

通过ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，将定子绕组及激励删除，如图6所示。

图6 空载电机有限元模型

对图6有限元模型进行径向气隙磁密仿真，可以得到空载永磁体磁场波形，如图7所示。

图7 空载永磁体磁场波形图

对图7波形进行FFT分析，可以得到各次谐波及其幅值，如图8所示。

图8 空载永磁体磁场FFT柱状图

利用基于Python的设计程序对图8进行预处理，得到筛选后的磁场谐波数据及磁场谐波分析图，如表2及图9所示。

表2 预处理后的永磁体磁场谐波数据

图9 预处理后的永磁体磁场谐波分析图

由图7可知，永磁体磁场趋近于正弦波，具有4个周期与电机极对数是对应的；同时，可以观察到磁场波动平稳，主要与磁极厚度有关。由图8、表2可知，永磁体磁场基波幅值最大，为0.88 T，且也仅含有1，3，5，…奇数次谐波。由图9可知，有限元法有效地剔除了永磁体磁场中高次数小幅值谐波，并将横坐标转换成谐波极对数，为快速形成力波次数表节约了时间成本，避免了解析法的冗余性。

2.3 解析模型与有限元模型的对比分析

通过式(5)、式(7)得到的谐波极对数与有限元法仿真及Python预处理后的数据进行对比，如表3、表4所示。

表3 48槽8极定子电枢磁场谐波极对数ν

由表3可知，标注“□”的36次谐波极对数只有有限元法算出，是因为解析法忽略了定子齿槽、铁心磁阻和饱和等非线性因素的影响，造成解析法的丢解。标注“＿”的124次谐波极对数只有解析法算出，其余数据完全一致。

表4 48槽8极转子永磁体磁场谐波极对数μ

由表4可知，标注“＿”的52，108，124，132次谐波极对数只有解析法算出，是因为在有限元法分析的数据预处理过程中，剔除了幅值较小的谐波次数。其余数据完全一致。

通过表3和表4关于谐波极对数ν和μ的对比可知，有限元法的结果与解析法趋近于一致，验证了有限元法的正确性，为下文形成力波次数表以及在工程中去解析化地快速分析作了铺垫。

基于上述分析并结合解析式γ=ν±μ，使用预处理后的谐波极对数ν和μ，合成径向电磁力波次数表，如表5所示。

表5 48槽8极PMSM力波次数表

注：由于篇幅限制，节选部分低阶定、转子谐波极对数

由表5可知，48槽8极PMSM径向电磁力波次数γ为0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，与解析式(9)的结果完全一致，满足上述力波次数为0或者2p倍的解析理论；还可以明确地知道该款电机的低次力波只有0次。在解析法的基础上，融入了有限元法，可以快速且直观地辨别定、转子磁场下不同谐波极对数相互作用所产生的径向电磁力波，对通过极槽配合、斜槽等传统方法消除低次力波提供了参考，更加验证了有限元法的准确性和高效性，也为完全去解析化夯实了基础。

3 PMSM电磁力波幅值与频率有限元分析

针对48槽8极整数槽表贴式PMSM，采用解析法和有限元法的结合模型分析了径向电磁力波次数，突显了有限元法的快速性、直观性以及整体性。因此，为了可以在工程应用中完全去解析化地快速分析电磁力波，本文通过对PMSM的力波进行空间分布和时间分布的有限元仿真来进一步分析电磁力波的幅值与频率。

3.1 径向电磁力波幅值

由麦克斯应力张量(Maxwell stress tensor)，推导出定子铁心内表面的径向电磁力波pr(θ,t)：

(10)

式中:μ0为真空磁导率。

虽然式(10)的展开式可以物理概念清晰地表示产生径向电磁力波的磁场，但是求解过程复杂，计算量极大，所以只选择有限元法计算。

采用有限元法对额定运行时径向电磁力波空间分布进行谐波分析，并做FFT分析，同时利用Python程序剔除冗余值，绘制径向电磁力波空间分布谐波分析图，分别如图10、图11和图12所示。

图10 额定运行时径向电磁力波空间分布图

图11 额定运行时径向电磁力波空间分布FFT柱状图

图12 额定运行时径向电磁力波空间分布谐波分析图

根据式(9)所阐述的解析理论，对于PMSM的径向电磁力波次数应满足γ为0或者8的倍数。由图12所示，径向电磁力波空间分布谐波次数主要是8，16，24，32，40，…等8的整数倍次数与式(9)和表5的结果完全一致。同时，又给出了具体的幅值，除了直流分量外，即γ=0所对应的分量为175.988 kN/m2，其余幅值较大的谐波次数为8次，16次，24次，48次，96次，所对应的幅值依次为192.461kN/m2，21.626 kN/m2，38.423 kN/m2，37.573 kN/m2，25.545 kN/m2。

通过额定运行时对径向电磁力波进行空间分布谐波分析，可以准确地得到电磁力波次数及所对应的幅值，省去了冗长复杂的解析过程，为后续振动噪声的分析和去解析化提供了直接而且有效的依据。

3.2 径向电磁力波频率

由定子谐波磁场频率f0与转子永磁体谐波磁场频率 (2k1-1)f0，推导出该款PMSM的电磁力波频率f：

f=f0±(2k1-1)f0=2k1f0

(11)

式中：k1=1，2，3，…；f0为基波频率。

将k1=1，2，3，…分别代入式(11)，其中f0=100 Hz，可以得到电磁力波频率f=200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…。

虽然式(11)的计算过程简便,但是对于后续PMSM机械结构的模态分析只有单一变量，没有参考性；同时，解析法求解的模态参数可能存在误差。

采用有限元法对额定运行时径向电磁力波时间分布进行谐波分析，并做FFT分析；同时利用Python程序剔除冗余值，绘制径向电磁力波时间分布谐波分析图，分别如图13、图14和图15所示。

图13 额定运行时径向电磁力波时间分布图

图14 额定运行时径向电磁力波时间分布FFT柱状图

图15 额定运行时径向电磁力波时间分布谐波分析图

为了研究径向电磁力波时间分布的主要谐波频率，通过在某一个定子齿冠内表面取一点，仿真该点在额定运行时径向电磁力波随着时间变化的波形，如图13所示。可知，径向电磁力波时间分布呈周期性变化，以5 ms为周期。90 ms以后的波形趋于稳定。取图13波形稳定后的2个周期进行FFT分析，即90～100 ms稳定区；同时做预处理，结果如图15所示。径向电磁力波时间分布谐波频率主要是200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…等电源基频的偶数倍频率,与式(11)的结果完全一致，符合解析理论；同时，也给出了具体的幅值，除了直流分量外，即f=0所对应的分量为178.745 kN/m2，其余幅值较大的谐波频率为200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz，所对应的幅值依次为192.637 kN/m2，24.962 kN/m2，40.553 kN/m2，12.847 kN/m2，13.424 kN/m2。还可以看出，随着频率的递增，谐波幅值呈下降趋势。

通过额定运行时对径向电磁力波进行时间分布谐波分析，可以准确地得到电磁力波频率及所对应的幅值，为后续完全去解析化分析PMSM的固有频率、振型、共振频率以及防止高频率小幅值径向电磁力波产生共振现象，提供了有效的对比和参考。

4 结 语

本文首先采用解析法对气隙谐波磁场进行解析分析，推导出定子和转子谐波解析式，然后通过解析模型与有限元模型的结合形成力波表，最后过渡到完全去解析化只通过有限元法仿真分析PMSM随空间和时间变化的径向电磁力波幅值和频率。

通过递进式的分析表明，解析法在合适的情况下能获得物理概念较清晰的解析解，但对于工程应用中非线性等问题却有局限性。而有限元法适应了当今工程分析的需要，对于各种电磁计算问题具有较强的适应性，计算精度高，已获得广泛的应用。本文也通过解析法校验了有限元计算结果的准确性。对于完全去解析化分析现代纺织用PMSM的电磁力波，以及后续模态分析和电磁噪声的优化奠定了基础，具有实际的参考意义。