浅谈圆锥体积的解析法求解

孙启晗　聂秀荣

摘 要：文章从解析法的角度提出了圆锥体积的求解方法。圆柱和圆锥可以分别切割为无数个相似的三棱柱和三棱 锥，文章将“同底等高”的圆柱体积是圆锥体积的3倍问题转化为“同底等高”的三棱柱体积是三棱锥体积的3倍问题，通过切割三棱柱的方法得到圆锥体的体积公式。

关键词：圆锥体积;三棱锥体积;倒水法

一、问题描述

小学生在学习圆锥体积公式时经常产生这样的疑问，“圆柱是由矩形以其中一条边为轴，顺时针或者逆时针旋转360度得到的，而圆锥是由此矩形沿对角线切开的直角三角形以相同边为轴，顺时针或者逆时针旋转360度得到的，该直角三角形面积是矩形面积的二分之一，那么该圆锥的体积为什么是圆柱体积的三分之一而不是二分之一呢？”。教师的回答往往是“倒水法”或者“倒沙法”，然而此类方法缺乏严谨的证明。更进一步的追问将会得到“微积分”的答案，而在小学生的眼中，“微积分”又是那样遥不可及。因此，一种易懂的圆锥体积解析证明方法亟待提出。

二、圆锥体积解析法求解

如下图所示，我们可以将圆柱切割成无数个相同的近似三棱柱，再将同底等高的圆锥切割成相同个数的近似三棱锥。因此，任意选取一个三棱柱和三棱锥，两者之间同底等高，于是我们将圆柱体积是其同底等高圆锥体积的三倍问题转化为三棱柱体积是三棱锥体积的三倍问题。

更进一步，我们将得到的三棱柱命名为三棱柱ABCDEF，同底等高的三棱锥命名为三棱锥BDEF，我们只需证明三棱柱ABCDEF的体积是三棱锥BDEF的体积的三倍即可。

第一，三棱锥BDEF和三棱锥ABCF都是以三角形BFE为底，由于BE是矩形BCDE的对角线，所以点C到BE的垂线段距离等于点D到BE的垂线段距离，因此三棱锥BDEF和三棱锥ABCF等高且同底，所以三棱锥BDEF和三棱锥ABCF的体积是相等的。

第二，三棱錐ABCF和三棱锥BCEF都是以三角形BCF为底，因为CE是矩形ACEF的对角线，所以点A到CF的垂线段距离和点E到CF的垂线段距离相同，因此三棱锥ABCF和三棱锥BCEF等高同底，所以三棱锥ABCF和三棱锥BCFE的体积相等，因为三棱锥BDEF和三棱锥ABCF的体积相等，三棱锥ABCF和三棱锥BCEF的体积相等，所以三棱锥BDFE体积等于三棱锥BCEF的体积等于三棱锥ABCF的体积，即三棱柱ABCDEF的体积是三棱锥BDEF体积的三倍。也就是同底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。

综上所述，同底等高的圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

三、 圆锥体积解析法与倒水法对比

圆锥体积解析法与倒水法分别从公式推导和动手操作两个角度给出了圆锥体积和圆柱体积的关系。本文内容是学生在学习了圆的面积、长方体和棱柱体的体积基础上接触到的新的学习内容。六年级的学生不仅具备了较强的动手操作能力，也具备了一定的抽象思维和空间想象能力，因此采用“倒水法”等动手实验和解析法等抽象推导相结合的学习方式将是一个最佳的选项。

参考文献：

[1]金雯.“圆锥的体积”教学设计与说明[J].小学数学教育，2017（Z2）.

[2]潘小红.圆锥及圆柱体体积的教学感知快递[J].求知导刊，2015（13）.

[3]陈永明.化尴尬为神奇——从倒水实验推导圆锥体积公式谈起[J].小学数学教师，2018（7）.

[4]董丽蓉.引源头活水，润泽灵动课堂——圆锥体积教学案例[J].数学学习与研究，2016（6）：134-135.

作者简介：孙启晗，女，辽宁沈阳人，研究方向：中学数学研究;

聂秀荣（1970—），女，辽宁沈阳人，本科，研究方向：中小学数学教育研究。