关于“重建三角”初等数学新体系的研究

摘 要：数学教学需要与时俱进，张景中院士在2006年提出“重建三角”初等数学新体系，从三角形内角和的知识以及三角形面积公式出发，直观而严谨地给出了正弦的新定义，为初中数学课程改革提供了一条新思路。“重建三角”新体系有直观的三角函数定义方式和简易却严谨的推理过程。在新体系中，三角、几何、代数间彼此渗透，有助于培养学生的数学推理能力和几何直观能力。同时，在“重建三角”实验教学中也取得了一些功效。

关键词：初等数学;重建三角;新体系

一、“重建三角”初等数学新体系的背景

1.我国初中数学三角课程的发展

中华人民共和国成立以来，我国陆续颁布了十多个初中数学教学大纲，对三角这一块内容，主要要求学生了解锐角和特殊角的三角函数值以及运用三角函数解决直角三角形中的问题。2011年教育部制定的《义务教育数学课程标准》对三角内容的学习要求几乎没有改变，要求学生探索并认识锐角的三角函数，了解特殊角的三角函数值，会用计算器求已知锐角的三角函数值、能用锐角三角函数解直角三角形[1]。当前初中三角函数内容是基于直角三角形中对边、邻边、斜边的关系对三角函数下定义，而且对三角函数的认识停留在锐角和特殊角上面。由此可见，我国对初中数学中的三角内容要求不高，其主要目的是给初中生减负。

2.“重建三角”初等数学新体系的提出

“重建三角”一词来源于2006年张景中院士在《数学教学》上发表的《重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议》[2]，他提出“重建三角”的初中数学新体系，将三角、几何、代数彼此渗透。其实早在1980年，张景中院士就在《中学数学教学》发表了《改变平面几何推理系统的一点想法——略谈面积公式在几何推理中的重要作用》《改变平面几何推理系统的一点想法（续）——略谈面积公式在集合推理中的重要作用》，深入探讨平面几何推理系统，对“重建三角”的提出有很大影响。2009年，张景中院士出版了《一线串通的初等数学》，该书从三角形内角和的知识以及三角形面积公式出发，直观而严谨地给出了正弦的新定义，为初中数学教学的改革提供了一条新思路。

二、“重建三角”初等数学新体系的理论探讨

1.直观的三角函数定义方式

“重建三角”体系是用面积法建构三角，把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sinA，紧接着可以定义平行四边形和三角形的面积，然后得出正弦的基本性质。这个定义方式从面积出发，而面积是小学就重点介绍的内容，在学生的认知体系中，面积是非常直观的概念，容易理解。这个定义不再需要相似三角形和比的知识作为铺垫，而且脱离了直角三角形这个限制，对于直角和钝角也同样试用，这样就可以用这个定义去研究一系列当前初中数学三角内容所不能研究的问题。

另外，先只谈正弦而不谈其他三角函数，学生学起来更容易。相比之前的正弦、余弦、正切一起定义，学生往往会出现记不住，混淆使用等问题，这里就只需要记住正弦的定义和简单性质。在学习了正弦的相关内容后，引入余弦cosA=sin（90°-A），要求A是0°～180°的角，并且余弦的后续学习完全可以利用正弦的知识，这样，学生对三角的学习就经历了知识的生成与理解的过程。

2.简易却严谨的推理过程

定义了正弦之后，就可以使用代数计算的方法推导正弦定理、正弦和角公式、勾股定理、正弦的增减性等内容，使得推导过程成为一个简洁有力推理体系，适合初中学生的认知水平。比如，通过对三角形的面积公式S△ABC=—=—=—进行变形即得到了正弦定理，过程非常简单，而且正弦定理成了推导许多几何命题的有力工具，如相似三角形和勾股定理，这样就能在三角中解决这两个知识点。与传统教学相比，“重建三角”的推理体系简易却严谨，学生学起来相对轻松。

3.三角、代数和几何相互渗透

三角函数是连接代数与几何的桥梁。原有的初中数学体系中，三角、代数、几何的沟通并不多，三角是在相似三角形内容的后面，有点类似于对相似三角形内容的补充与拓展，而三角内容的学习与代数的联系不紧密，对于锐角的三角函数值，课标要求是会用计算器求值。这样，三角、几何、代数这三块内容无形之中有了屏障，无法发挥三角函数的桥梁作用。

“重建三角”初中数学新体系，用面积法定义正弦，即用几何引出三角，用的是代数的方法;接着利用定义推理出性质和定理，也是用代数的方法。这样做充分体现了三角内容在初中数学知识体系中的重要地位，也让三角、几何、代数之间的屏障消失。三者之间的相互渗透，是“重建三角”新体系的基本方向，也对学生数学思想方法的形成和数学思维能力的培养起到了推动作用。

4.学生几何直观能力的获得

史宁中教授认为，平面几何的教育价值是培养学生的推理能力和几何直观能力。现有的初中平面几何体系重视演绎体系而缺少几何直观。尤其是三角体系对学生的要求并不高，只需要掌握一些简单的内容即可，培养学生的几何直观能力无法体现。“重建三角”新体系将许多高中知识下放到初中学习，并且用新定义的方式引出许多性质和定理，这个过程可以充分培养学生的几何直观能力，而且对初中平面几何内容是个很好的补充，改变初中数学平面几何难度低的现状。

三、“重建三角”实验教学的进展

目前，“重建三角”初等数学新体系的实验教学在广东、四川、贵州等地展开，大部分学校是采用整合教材的方法进行实验教学，也有学校是通过校本课程的方式开展。实验结果表明，学生更容易认识和理解“重建三角”新体系下的三角知识内容，他们认为新体系下的三角内容更加直观和简单。相比于同层次的其他班级，采用“重建三角”新体系学习的班级学习成绩更好。另外，学生解决几何问题和综合问题的能力得到提升，能从多个方面对问题进行探讨。但同时，实验教学也发现了一些问題，比如教学资源不足、教师能力水平有限、学生配套练习不足等。总而言之，“重建三角”能较好地拓展学生的思维，提升学生的成绩，但仍需完善不足之处。

四、结论与建议

“重建三角”初等数学新体系对初中数学教学的改革提供了参考。“重建三角”新体系具有直观的三角函数定义方式和简易却严谨的推理过程，在这个新体系下，三角、几何、代数间相互渗透，有助于培养学生的几何直观能力。在实验教学初期也表现出了非常好的进展，但也有些不足。希望能加快“重建三角”教学方案的完善和实验教学的进度，加强对“重建三角”实验教学中教师的培训并且能开发相应的练习供学生使用，让初中数学三角函数焕发生机。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张景中.重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议[J].数学教学，2006（10）.

[3]张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社，2009.

作者简介：沈健（1995—），男，江苏苏州人，硕士在读，研究方向：数学教学。