基于分析力学测量复摆作用下的重力加速度

李大正 李体俊 蔡鲁刚

(山东省菏泽市菏泽学院物理与电子工程学院 274015)

重力加速度是一个非常重要的物理常数且有普遍的应用，其数值的准确测量也是大学物理中一个非常重要的实验.传统的测量方法有单摆法、自由落体法，但这些测量方法在实验过程中常受到空气阻力等因素的干扰，导致实验值和理论值之间存在一定误差.如何减小这种误差就成为实验测量中一项重要的工作.本文以复摆为研究对象并采用分析力学导出了复摆摆动周期、摆角与重力加速度之间的关系，通过实验测量获得相关物理数据并借助MATLAB程序对数据进行处理，获得了与理论相符合的重力加速度.

一、复摆重力加速度的推导

图1

复摆的结构模型如图1所示，其中O点为悬挂点，以O为中心建立如图所示坐标轴，OZ轴垂直纸面向里.质心的重力为mg，其距悬挂轴的距离为rC(图中未标出)，θ为摆角且θ<5°.

取q=θ作为广义坐标，OX轴作为零势能面，则质心处的重力势能为V=-mgrCcosθ(1)

令回旋半径为k，取转动惯量I=mk2(3)

将(1)(4)合并，可得拉格朗日函数为

其中qa=θ，对(5)(6)整理得：

利用平行轴定理可知复摆相对于O点的转动惯量为

此为一般情形下，即θ<5°时的复摆周期公式，参考单摆实验中对较大摆角的修正情况，这里也可以对θ<5°的复摆摆角进行修正，修正后的复摆周期公式即为

测出n组(x,y)的值，利用计算机作图求出直线的斜率A和截距AB，进而就可以求出重力加速度g和回旋半径kc.

二、实验测量及数据处理

实验过程中通过改变悬挂点位置，即改变复摆质心到悬挂点的距离共测量九组数据，启动复摆测30个周期的时间，摆角控制在(θ<5°)范围内，实验测量数据如表1所示.

表1 不同高度下各物理量的数值

其中，h是悬挂点高度(单位：cm)，T是周期(单位：s)

实验测量数据及通过MATLAB拟合处理结果如图2所示：

图2

由此可确定重力加速度数值为g=9.772m/s2.

三、总结

本文通过分析力学导出了复摆摆动周期、摆角与重力加速度的关系，通过实验测量获得了相关数据，并借助MATLAB软件对实验数据进行了分析和处理，结果表明所得重力加速度与理论值之间的误差在允许范围之内.