MUSIC分级搜索策略研究

靳浩,王坤,张恒,沈义龙

(中国洛阳电子装备试验中心，河南 洛阳 471003)

0 引言

波达方向估计在雷达、通信、声呐等方面中有着重要的意义。传统的测向方法由于受瑞利限的制约，其角度分辨率不能达到很高。而基于阵列信号处理的MUSIC(multiple signal classification)[1]算法可以实现角度的超分辨率估计。由于阵列方向矩阵与阵列输出向量的协方差矩阵的信号子空间张成的空间相同(或与噪声子空间正交)，MUSIC算法据此而构建空间谱，根据其谱峰位置来确定波达方向。MUSIC算法具有测向精度高等优点，但是由于其为搜索类算法，需要在立体空间内进行搜索，而为了保证测角精度，搜索间隔必须足够小，因而搜索次数多，计算速度慢[2]。为了实现快速测向，有了很多的MUSIC改进算法，如文献[2-11]等提到的方法，文献[12-14]还针对其中一些算法进行了性能的比较。但这些方法都有一定的局限性，如对阵元排列形式有要求或者在阵元数较多时，其速度提升并不是很明显等。一般为达到快速测向的目的，可以对搜索类算法采用分级搜索策略，即先进行大间隔的粗搜索，而后再以粗搜索的结果作为初值，在初值附近进行小间隔精搜索，以达到快速测向的目的。文献[15-19]等提到了分级搜索算法可以大幅降低运算耗时，但仅仅进行两级搜索且只是人为地设定搜索间隔等简单的分级，并没有针对最优分级和搜索间隔进行讨论。本文针对MUSIC算法，进行分级搜索处理，从理论上分析了各级分级算法耗时最少的分级策略，得到各级分级搜索能达到的最佳效果。并将各级搜索计算次数与直接搜索相比，分析其相对于直接搜索的运算速度提升效果，得出最佳的分级搜索策略。最后利用Matlab平台进行了仿真实验，实验结果验证了理论的正确性。

1 MUSIC分级搜索策略

在每次估计来波方向时，接收数据的协方差矩阵和其特征值分解都只需要计算1次，但每个角度的空间谱计算则需要先计算导向矢量，而后计算空间谱，且这些运算一般都是针对复数进行的。这就导致在角度搜索上耗时过多，如果能够降低角度搜索的次数，则对于运算速度提升有很大的帮助。分级搜索可以很大程度上减少搜索计算次数，从而达到提升运算速度的目的。下面针对多级分级搜索进行分析。

1.1 直接搜索

以单目标入射为例。首先是直接搜索，假设待搜索角度范围为[-N,N]，要求的测角精度为Dg，那么在直接搜索情况下，需要进行搜索计算的空间谱次数(1个方位角和1个俯仰角需要1次)为

(1)

1.2 2级搜索

分2级进行谱峰搜索，第1级的搜索范围为[-N,N]，间隔为Dg1，则第1级搜索计算的空间谱次数为

(2)

第2级的搜索以第1级搜索得到的角度为中心，角度搜索范围为[-Dg1/2,Dg1/2]，间隔为Dg，则第2级搜索计算的空间谱次数为

(3)

总的搜索计算的空间谱次数为

(4)

式中：N与Dg在特定情况下可以视为已知量，则式(4)转换为求在正数范围内能使f2取得最小值的解。

对式(4)求导，可得

(5)

令式(5)等于0，则有

(6)

即

(7)

由此可得Dg1的正数解为

(8)

此时总的搜索次数为

(9)

则2级搜索的搜索次数与直接搜索的搜索次数的比值为

(10)

1.3 3级搜索

分3级进行谱峰搜索，第1级的搜索范围为[-N,N]，间隔为Dg1，则第1级搜索计算的空间谱次数为

(11)

第2级的搜索以第1级搜索得到的角度为中心，角度搜索范围为[-Dg1/2,Dg1/2]，间隔为Dg2，则第2级搜索计算的空间谱次数为

(12)

第3级的搜索以第2级搜索得到的角度为中心，角度搜索范围为[-Dg2/2,Dg2/2]，间隔Dg，则第3级搜索计算的空间谱次数为

(13)

总的搜索计算的空间谱次数为

(14)

式中：

0

(15)

想要f3最小，即为求解

(16)

在式(15)情况下的极小值。对式(16)求偏导数，由二元方程求极值法则可知，在Dg1和Dg2满足式(17)的情况下，f(Dg1,Dg2)可以取得极小值。

(17)

由式(17)可以解得

(18)

可知，在2N>Dg时，有Dg1>Dg和Dg2>Dg，且在N>Dg时，始终有Dg1>Dg2，满足式(15)要求。此时，f(Dg1,Dg2)取最小值：

(19)

由此可得3级搜索的总搜索次数与直接搜索的搜索次数的比值为

(20)

1.4 M级搜索

对于M级搜索，总的搜索次数为

(21)

易知在

(22)

fM可以取得最小值。由此可以计算出各级搜索的最佳搜索间隔。

2 理论结果分析

从式(10)和式(20)可以看出，在MUSIC算法中，要求的精度Dg越高，搜索区间[-N,N]越大，多级搜索提升的运算速度越多。例如，在[-40,40]范围内搜索(一般情况下，实际作战环境中导引头的搜索范围)，要求精度为0.1，表1给出了理论计算的最优情况下,直接搜索、2级搜索、3级搜索和4级搜索各自的每级搜索间隔和总的搜索次数，同时还给出了各级搜索的搜索总次数与直接搜索的搜索总次数的比值。

表1 多级搜索理论结果对比Table 1 Comparison of theoretical results of multi-level search

由表1可知，2级搜索相对于直接搜索，搜索次数明显减少；3级搜索相对于2级搜索，搜索次数也减少了许多；4级搜索相对于3级搜索，搜索次数也有一定的减少。

由此可见，多级搜索可以在很大程度上降低运算耗时，提高运算速度。但是其相对于上一级的搜索(如3级搜索相对于2级搜索)提升效果明显小于上一级搜索相对于其上一级搜索(如2级搜索相对于直接搜索)的提升效果。特别是4级搜索以后，其速度提升有限，可以不必考虑。

实际上，在具体运算中，2级以上分级搜索计算次数要小于上述计算的次数。这是因为从理论上计算次数时，包含了小数部分，而实际中则会对小数向下取整。如在3级计算中，第1级计算次数为(80/8.6)2，约为9.32，大约86.5，而实际中只需要9×9=81次。

3 仿真实验

为了更好的验证理论分析的正确性，利用Matlab进行了仿真实验。实验中采用阵列为均匀间隔L阵，9个阵元，除去原点，x和y方向各4个阵元，阵元间隔为半波长。入射信号频率为4.5 GHz，方位角为2.3°，俯仰角为8.5°，信噪比为14 dB，使用100个采样点数据计算接收数据的协方差矩阵(简称R阵)，进行100次蒙特卡罗模拟实验。

图1给出了100次实验的方位角和俯仰角测试结果。图2给出了100次实验的耗时结果。表2则给出了直接搜索、2级搜索、3级搜索和4级搜索4种方法耗时(此处的耗时为搜索计算空间谱耗时，鉴于R的计算是必不可少的，且谱峰搜索是实数运算，相对于搜索计算空间谱的复数运算，耗时较少，没有统计计算R阵与谱峰搜索的耗时)与精度对比。

对比项直接搜索2级搜索3级搜索4级搜索方位角均值/(°)2.305 02.308 02.307 02.300 0方位角标准差/(°)0.079 40.080 00.076 80.083 7俯仰角均值/(°)8.497 08.506 08.515 08.495 0俯仰角标准差/(°)0.068 60.076 20.087 70.081 9耗时均值/ms4 962.272 714.459 33.027 21.596 8耗时方差/ms2261.349 85.559 40.390 60.193 5

从图1中可以看出，无论是方位角还是俯仰角，4种搜索方法测角结果大致相同，实验中俯仰角和方位角估计值在真值附近上下波动。从表2的均值中也可以看出，4种测角方法，方位角和俯仰角的估计均值与真值的误差较小，且测角精度大致相同。而4种方法的测角方差也是很小。

从图2中可以看出，4种测角方法中直接搜索耗时最多，平均耗时大约4 962.2 727 ms，2级搜索平均耗时14.459 3 ms，约为直接搜索的1/343；3级搜索平均耗时3.027 2 ms，约为直接搜索的1/1 639，约为2级搜索的1/4.7；4级搜索平均耗时1.596 8 ms，约为直接搜索的1/3 107，约为2级搜索的1/9.1，约为3级搜索的1/1.9。

结合前面的分析和实验结果可以看出，多级搜索可以大大地减少运算耗时，提高越算速度。而随着分级增多，提高效率明显降低。4级搜索的耗时相对于3级搜索的耗时已经减少不多，再加上计算R阵与谱峰搜索的耗时，4级搜索相对于3级搜索的速度提升可以忽略不计。且4级搜索第1级搜索间隔较大，在某些情况下，目标的MUSIC空间谱谱峰宽度可能较小，甚至小于第1级搜索间隔，就会导致4级搜索算法失效，因而在实际应用中对于单目标测向使用3级分级搜索最优。

对于多目标入射信号，同样可以利用前面的分析进行处理，如有m个目标，则第2级搜索的搜索次数需要乘以m，第3级搜索的搜索次数需要乘以m2，以此类推。对于M级搜索，同样可以构建一个M元函数，只需求解次M元函数在特定情况下的极小值即可。由此就可以获得m个目标的最优分级搜索策略。

4 结束语

本文首先从理论上分析了MUSIC算法的分级搜索策略，根据搜索计算空间谱的次数来确定最优的分级搜索策略，得出分级搜索可以大幅降低运算耗时的结论，并利用Matlab进行了仿真实验，验证了理论的正确性。下一步工作将会针对信噪比、采样数、目标雷达数等对分级搜索策略的影响进行分析。