对模态命题逻辑的简单介绍

谢 倩

(中央财经大学文化与传媒学院，北京 100001)

一、引言

模态逻辑作为一门重要的学科包括了道义逻辑和时态逻辑(或时间逻辑)可以处理许多用命题逻辑无法解决的难题。且在我们生活、学习和工作中都发挥着或大或小的作用，尤其是在人工智能与计算机领域中。

二、命题逻辑

命题逻辑①是研究以命题为最小单位的命题形式。我们普遍认为，命题逻辑是模态命题逻辑的基础，所以探究模态命题逻辑之前，我们首先要了解命题逻辑的形式系统。

(一)命题逻辑的形式系统p

1.初始符号

命题变元：p1,p2,…

普通符号：(，)

2.形成规则

对所有命题变元p是原子命题，那么p是公式；

假设α，β是公式，那么α→β也是公式。

3.公理

从直观上来说，命题逻辑的形式系统为后来模态命题逻辑的形式系统的建立奠定了基础。

三、模态命题逻辑

模态命题逻辑中的“模态”通常是指事物或认识的必然性和可能性等这一类的性质②。所以引入了“必然”和“可能”这两个概念，在一般情况下，通常把“必然性”和“可能性”称为模态词，符号表示为“□”和“◇”。除了单个的模态词，还有可能出现“□◇□□”或“□□”这类多个模态词在一起，而这种由单个模态词叠加在一起的情况又称为叠置模态词③。

(一)模态算子

● 明天会下雨。p

● 必然明天会下雨。□p

● 可能明天会下雨。◇p

(二)模态命题逻辑的形式系统PM

1.初始符号

命题变元：p1，p2，…

普通符号：(，)

模态词：□

2.形成规则

对所有命题变元p是原子命题，那么p是公式；

假设α，β是公式，那么α→β也是公式；

假设α是公式，那么□α也是公式。

3.引入符号

模态命题逻辑在命题逻辑的基础上增加了符号的引入，可以解决一些命题逻辑无法解决的事情。

(三)模态命题系统K、D、T、B与S4、S5

1.正规系统K

K系统是模态命题逻辑中最小的形式系统，K被视为命题逻辑的扩张系统。所以我们在讨论K系统时，同样要以前面提到的命题逻辑的系统为基础来认识了解。

K系统通过扩张形成的最终系统为K=P+K+N。P是命题逻辑的形式系统，包括初始符号，公理和一些导出规则。Κ是K系统中新增加的一条公理：□(p→q)→(□p→□q)。因为相对于命题逻辑引入了模态词，所以K系统还加入了必然化规则：如果有α，那么可以有□α。除此以外，我还选取了几个较为重要的定理和推理规则。

2.正规系统D和T

● 明天有比赛。P

● 可能明天有比赛。□p

● 一定明天有比赛。◇p

从上面三个举例的语句意思通过常识进行分析，“可能明天有比赛”意味着明天比赛或者不比赛的概率各占一半；“一定明天有比赛”无条件明天百分百要比赛。借用概率来分析，必然可能与普通命题的强弱如下：□p>p>◇p。而这个种强弱关系也恰好对应了正规系统D和T的两个新增公理。

两个系统都以K为基础系统，在K的基础上又分别加入了公理D：□p→◇p和公理T：□p→p。由强弱关系可以知道，□p是最强的。所以在有了必然为前提之后，可以推出◇p或者p。

值得一提的是，道义逻辑使用D系统进行正式的研究与解释。

3.正规系统S4和S5

虽然在前面的T系统已经是扩张的“最大”系统，但是就T系统而言仍然无法解决叠置模态词这一问题。而系统S4和S5建立可以解决关于叠置模态词这个难题。

S4系统是在K和T的基础上增加了公式4：□p→□□□p。S_5系统样是在K和T的基础上增加了公式E：◇p→□◇p。所以S4与S5都是K、T的扩张。

4.正规系统B

B系统是在T的基础上又加入了新公理B：p→□◇p，即B=KTB。从扩张系统来看，B系统和S4都是T系统的扩张系统，所以这两个系统是平行关系，不存在相互之间的扩张关系。

我们只重点讨论了上面六种正规系统④。但是模态系统中却有很多作用不同的系统。就探讨的这六个正规系统，通过图形来了解这它们之间的关系：

四、可能世界语义

在命题逻辑中，我们研究的主要是语形和语义。语形主要是指形式化系统之类的，如前面所说到的命题逻辑系统或者将一句话通过符号形式化表达。而语义主要是通过赋值研究命题的真假。模态命题逻辑也是如此，但是因为模态命题逻辑引入了模态词，相对于命题逻辑新增了很多不同的表达，所以莱布尼茨提出了“可能世界⑤”这一概念希望能解决这些新出现的问题。

(一)模型的构建

在莱布尼茨可能世界里，可以有这样几种解释：

命题α任何的可能世界中是必然的，当且仅当，命题α在所有的可能世界里都为真。用符号形式化之后可以表达成：

V(□α，w)=1⟺任w′∈W，V(α，w′)=1。

进一步可以表达成：V(□α，w)=1⟺任w′，若Rww′，则V(α，w′)=1。

莱布尼茨通过引入一个关系R，将可能世界w与另一个可能世界w′产生一种联系，而这个关系就是可通达关系。在整个可能世界W中，有许多小的w′,w″,…wn，我们也可以将它看成是集合的关系，即集合W。这样，在对一个模态形式解释的前提就必须有三个基本前提：第一，可能世界W。第二，可通达关系R和第三，赋值V。其中是框架，也是基础构造.在加入赋值V后就构成了一个完整的解释，称它为模型。

假设w∈W，w′∈W，w″∈W，……，wn∈W过图形来进行描述：

由上图可知，在可能世界W中的w中，令□(□α的赋值为真)，即V(□α)=1，R关系是w可通达w′，那么在w′中，α的赋值也为真，即V(α)=1。

我们在上面只讨论了关于必然算子□在可能世界中的模型。在可能世界中，令可能算子◇α赋值为真，即V(◇α)=1，R关系同样是w可通达w′，但是在w′中只存在一个α赋值为真，即V(α)=1。通过简图来描述：

五、小结

总而言之，模态命题逻辑的发展离不开命题逻辑，而模态命题逻辑可以解决问题的范围远远大于命题逻辑。模态命题逻辑虽然有很多形式系统，但正规系统只有六个，而正规系统K是所有其它正规系统中包容性最大的，因此K系统才和命题逻辑作为基础让其它的系统得到扩张。本文在前人现有基础上加入自己的理解对模态命题逻辑进行描述与讨论。

[ 注 释 ]

①命题逻辑：单个或多个原子命题通过一元连接词或二元连接词组合而成.

②“这类性质”：除了可能性和必然性还有其它的性质(叠纸模态词)，如不可能性，偶然性必然的可能性等.

③叠置模态词：一般在S4、S5系统中出现.

④正规系统：对K系统进行扩张的系统.

⑤可能世界：莱布尼茨为更好对模态逻辑进行语义分析而创造.