巧用换元法 提升解题力

黄慧群 张祖兰

【摘 要】本文以例讲解换元法的基本思想与具体用法，引导学生深入理解换元法，培养学生换元求解的数学思想方法，掌握化归与转化的数学思想，以提高学生的数学解题能力和学科素养。

【关键词】函数值域 换元法 化归与转化

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）03B-0155-04

《普通高中数学课程标准（2017 版）》中指出，函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变化关系的数学语言与有效的数学工具。同时，函数内容是贯穿高中数学课程的主线。高中数学函数部分主要研究基本初等函数的性质与图象，并且进行基本的复合学习。学生在初中与高中阶段已经学习完六大初等函数。而高考中所考查的函数都是由以上函数经过混合运算或者复合关系而得到的。因此学生接触的函数解析式复杂、综合性强，学生面对这些问题时大多会感到无从下手。在函数的考查中，函数的三要素一直占据着重要地位。特别的是，复合函数的值域更是一个热门的考点，但是学生却不易找到解法。为了有效地突出重点—— 基本初等函数的性质，突破难点—— 如何利用学习过的知识解决新的难题，就很有必要带领学生学习换元法。

美国著名数学教育家 G.波利亚在《怎样解题》中说过，“数学教学的目的在于培养学生的思维能力”“掌握数学就意味着要善于解题”，而“数学解题就是命题的连续变换”。在高中数学的学习中，换元法是一种常见并且十分重要的数学思想方法、解题方法。换元法，亦称辅助未知数法，又称变元代换法。它是普遍应用的一种方法，其一般意义是将由一个或几个变元构成的数学表达式中的一部分用新的变元表示，以利于问题的解决。

换元转化就是通过对函数解析式的观察抽象出模块，并转化为其他函数知识的过程。当研究结构相对复杂的函数值域问题，如果能够观察出该函数解析式的特点，将其他的部分当成一个整体，并引入新的变量，那么就可以使问题简单化，结构清晰化，从而可以运用初等函数的有关知识解决问题。这种方法能比较好地启发学生解题的思路，使学生找出解题的捷径，强化学生求解值域问题的能力。贺双桂等（2006）指出，在高中阶段，学生接触到的换元法主要有：（1）整体代换。它是指在一個代数式结构中，有某个代数式作为一个单元重复多次出现时，可以选择用一个字母即元来代替此单元，进而简化代数式的结构，观察出代数式的规律特点，从而解决问题。（2）三角换元。此类代数式中常常含有根号，借助三角函数的性质进行与根号的转化。此外，还有万能换元法等，高中阶段并不常见，在此不赘述。

本节课主要研究的是整体代换法，其方法和步骤如下：（1）分析函数的复合关系。（2）设立新的变量，并且换元，建立以新元为变量的新函数。（3）求出新元的取值范围。（4）根据新函数的性质，求出值域，回答问题。教学过程如下：

一、热身训练

1.函数 y=x2+5x+4 的值域为

2.函数 y=x2+5x+4，x∈[2，5）的值域为

3.函数  在区间[2，5）上值域为

4.函数  ，（x>0）的值域为

【设计意图】回顾二次函数、反比例函数以及对构型函数的值域求解知识，这是本节课的知识基础，为求解复合型函数的值域问题做铺垫。

二、问题探究

（一）二次型值域问题

（1）函数  的值域是

〖解析〗（1）中的难点在于含有 ，故想到令 ，则把原函数代换成学生所熟悉的二次函数，把复杂的问题化归成熟悉的二次函数在某一区间的最值问题。

令 ，则 x=1-t2，

y=1-t2+t

，

∴函数  的值域为

（2）函数   y=4x-3×2x+1+5  的值域是

〖解析〗经过简单的变形 4x=（2x）2 后，容易发现函数解析式中重复出现了 2x 这个单元，因此可以进行换元。

令 t=2x ∈（0，+∞），则

y=（2x）2-3×2×2x+5

=t2-6t+5

=（t-3）2-4，t∈（0，+∞）

∴函数  y=4x-3×2x+1+5 的值域为[4，+∞）

（3）函数  的值域是

〖解析〗此道题有一定的难度。学生很容易观察到 x2 是重复出现的，但若此时将 x2 进行换元，则新的函数解析式会出现根号，不利于我们解决问题。因此我们可以利用分式的性质先将原函数进行恒等变形得到 。

令 ，可得到

∴函数  的值域为

（4）函数 y=cos2x+4sinx 的值域是

〖解析〗原函数是由两个三角函数相加而成，其中，cos2x 含有二倍角，因此可以先运用二倍角公式 cos2x=1-2sin2x 进行函数变形 y=1-2sin2x+4sinx，从而得到一个以 sinx 为基础单元的二次函数。

令 t=sinx，则 t∈[-1，1]

y=1-2t2+4t=-2（t-1）2+3

∵ t∈[-1，1]

∴ y∈[-5，3]

函数 y=cos2x+4sinx 的值域的[-5，3]。

（5）定义在 R 上的函数 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4） 的值域是

〖解析〗注意到函数式中各因式的常数部分的等差规律，通过因式重组相乘产生相同项，进而找到换元的切入点。

因为 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=（x2+5x+4）[（x2+5x+4）+2]

令 t=x2+5x+4，则 。

所以 f（x）=t（t+2）=t2+2t，值域为[-1，+∞）。

即函数 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值域是[-1，+∞）

【设计意图】初中阶段学生学习过二次函数的基本性质，也在实际应用中接触过二次函数的最大最小值问题，但是都是比较简单与基础的题。现在高中阶段再次学习二次函数，学习的广度与深度都进一步加大，此时不再需要直接求解二次函数的值域问题，而是需要学生有一种模型的思想，观察函数解析式的特点，以二次函数为解决问题的桥梁从而求值域。

一般来说，能够转化成二次型函数问题有几类：（1）含有二次根式的二次型，利用平方根与平方的互逆关系进行换元，将原函数转化成二次函数。（2）含有指数的二次型，根据指数的运算法则进行适当地变形之后，可以选择合适的新元，把原函数转化成二次函数。（3）含有对数的二次型，根据运算法则也可以转化成二次函数。（4）含有三角函数的二次型，根据三角函数的公式进行变形转化成二次函数问题。

当然，在解决具体问题的过程中，教师应该注意强调，无论何种情况都要保证换元得到的新函数的自变量的取值范围是正确的，以免出错。

（二）对勾型值域问题

【例题】函数 ，x∈（-1，+∞）的值域为

〖解析〗令 t=x+1，则 x=t-1，

∵ x∈（-1，+∞），则 t∈（0，+∞）

∴

∴，即 y∈（1，+∞）

【变式】函数 ，x∈（-1，+∞）的值域为

〖解析〗我们可以观察到变式中的函数是原题中函数的倒数，在解题的过程中要善于借助已有的知识与结论来解决问题，从而使得问题的解决简单化、逻辑化、系统化。

令 t=x+1，，则

由例题可知，u∈[1，+∞），∴ ∈（0，1]

【设计意图】对勾函数是形如  的函数，是由正比例函数与反比例函数复合而得到的函数。因其图象的特点，也被称作“耐克函数”或者“耐克曲线”。高中数学人教版教材必修 5 中均值不等式部分引用了对勾函数作为例题，但是教材中没有对对勾函数进行介绍。但是这类函数在求取函数的单调性与值域问题、不等式的证明问题，以及解方程上起着重要的作用。对勾函数在高中考查中难度大，需要一定的逻辑推理能力以及较好的运算水平，应当引起学生足够的重视。在掌握对勾函数的性质之后，学生还要学会灵活地运用它，将问题变形成对勾函数。比如，函数  可以通过恒等变形转化成 ;函数  可以通过变换转化为 ;函数  可以通过变换转化为 。通过适当的變形后，运用对勾函数的性质求解这类函数的值域问题。

（三）反比例型值域问题

【例题 1】函数  的值域为

〖解析〗令 t=x+1，则 x=t-1

【例题 2】函数  的值域为

〖解析〗令 t=x2+1，则 x2=t-1

函数

又

∴ 函数 。

【变式】函数  的值域为

〖解析〗分式函数  的值域问题的解法很多，本节课主要介绍了换元法，但也可以运用分离参数法将其转化为二次函数，然后运用判别式法来解决问题。在实际教学中，应该注意引导学生集思广益，拓展思路，运用不同的方法解决问题，使学生在思考与计算的过程中，深刻体会换元法在解决这类问题时的简洁性、有效性。

令 t=x2+x+1，则

。

【设计意图】反比例型函数是形如  的函数，是由反比例函数平移变换而得到的一类函数。形如  的函数可以通过分离常数的变形变为 。一般来说，形如 （f（x）≠0，且 f（x），g（x）都是次数相同的整式代数式的函数都可以转化为反比例型函数，学生在学习过程中应该注意归纳，总结做题经验。

三、自我检测

1.达标检测题

（1）定义在 R 上的函数  的值域为 ;

（2）函数，x∈（2，∞）的值域为;

（3）函数  的值域为 ;

（4）函数  的值域为 ;

（5）函数  的值域为 。

【设计意图】这五道题目分别考查了用换元法求解函数值域问题中的二次型值域问题、对构型问题以及反比例型问题。难度中等，题型常规，主要是检测学生的学习效果。目的是使学生掌握运用换元法求解函数值域的基本方法，及时巩固所学的内容;在练习中进一步感悟转化这一数学思想，积极主动地理解换元法的本质;有意识地去总结题型，注意这三类问题的解决方法，慢慢地培养适合自己的分析习惯，从而突破函数值域的求解问题。

2.能力提高题

（1）函数  的值域为 ;

（2）已知 ，则函数  的值域是 ;

（3）定义在 R 上的函数 f（x）=（sinx-2）（sinx-3）（sinx-4）（sinx-5）的值域是 。

【设计意图】这三个题目属于能力提高题，需要学生认真观察，充分分析函数的结构，选择恰当的“元”进行变形。变形的步骤比较繁琐，难度较大，对学生的逻辑推理与数学运算能力都提出了更高的要求。这三道题目要求学生在掌握解决这三类函数的值域问题的基本方法与基本技能后，深刻理解其中所蕴含的数学思想。虽然所考查的函数千变万化，但是核心的考点还是对函数代数式进行转化，化归成学生熟悉的问题进行求解。在积极思考，合作交流解决问题的过程中，使学生更加深刻感悟此类问题的内核与本质，体会不同题目之间的联系与区别;领悟其中蕴含的思想，懂得解法万变不离其宗，（下转第166页）（上接第157页）从而概括抽象出数学思想方法，形成自己的思考。这样才是真正发展学生的数学能力，在课堂中落实核心素养培养。

四、归纳总结

在高中数学的学习中，换元法是一种常见并且十分重要的数学思想、解题方法。换元转化是通过对函数解析式的观察抽象出模块，并转化为其他函数的过程。换元法是将未知转化成已知，将局部联系整体，运用特殊到一般的转化，充分体现了化归这一重要的数学思想。教师在教学中要时刻引导学生感悟数学思想与数学方法，既要帮助学生更快地解决数学问题，又要加深学生对化归理想的理解。因此，笔者希望通过针对性的例题学习，层层递进，引导学生总结换元的规律与题型，学会用换元法求函数的值域，具备化归的思想。同时，在这一过程中，学生通过对函数解析式整体与局部特点的分析，逐步建立解题大局观，培养迎难而上，勇于钻研的精神，从而落实学生的素养教育措施，让学生更加深刻地体会辩证唯物主义—— 万事万物在一定条件下是互相转化的的思想。

【参考文献】

[1]卢 阳.例析多元函数最值问题的求解策略[J].中学数学研究，2018（11）

[2]高永亮.函数值域的求法分类例析[J].中学数学，2018（19）

[3]卢春婷，黄登香，林 姗，刘 一.基于翻转课堂模式的定积分第一换元法的教学设计[J].现代经济信息，2018（19）

[4]杨建奇，朱雯婷.中学数学教学中换元法思想的培养[J].科技风，2018（29）

[5]兰诗全，林纪礼.换元法—— 解题的利器[J].中学数学教学，2018（4）

（责编 卢建龙）