巧用数形结合 优化几何直观

江永胜

[摘 要]在数学学习中，数形结合是重要的数学思想，也是最常用的解决问题方法之一。数形结合可以将抽象的信息、复杂的数量关系用几何图形直观地呈现出来，使问题由抽象变具体、由复杂变简单，有利于培养学生解决问题的能力。

[关键词]数形结合;几何直观;行程问题;小学数学

“行程问题”是小学数学的教学内容之一，一般以应用题的形式出现，有着丰富的变式。下面，我就以“行程问题”的教学为例，谈谈如何巧用数形结合，优化几何直观，促进学生的数学学习，构建高效的数学课堂。

一、“行程问题”教学案例

小学阶段，“行程问题”最早出现在人教版小学数学四年级上册教材，在人教版小学数学五年级上册第五单元中设计和编排了列方程解决“行程问题”的内容。“行程问题”具体是指与速度、时间以及路程有关的数学问题，其中的数量关系式有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。在“行程问题”中，涉及的数有整数、小数和分数;设计的运动变化情况也很多，如单个物体运动、两个或两个以上的物体运动;运动方向有相向运动、同向运动以及背向运动。在实际教学中，教师可先基于学生已有的知识经验，引导学生利用数形结合分析和理解题中的数量关系，找到未知数，再让学生依据等量关系列出正确的方程，最后解决问题。为此，我对人教版小学数学五年级上册“行程问题”的教学进行改进，巧用数形结合，优化几何直观，引导学生解决问题。

教学片段1：

（1）出示教材第79页的例5。

师：题中的已知条件和要求的问题是什么？

生1：已知條件为“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的骑车速度是0.25千米/分钟”“小云的骑车速度是0.2千米/分钟”，要求的问题是“两人何时相遇”。

师：求“两人何时相遇”是什么意思？（生答略）

师（总结）：这里的路程已经不是指一个人行驶的路程了，而是指两个人行驶的路程之和，那么相遇时间就是指两个人共同行驶完全程用的时间。

（2）活动：让学生上台演示相遇情景，并用画线段图的方式分析题中的数量关系。

师：小林与小云分别从相对的方向同时出发，经过一段时间后相遇，也就是行驶完了全程。

师：从线段图中，你知道了什么？

生2：小林骑的路程+小云骑的路程=总路程。

（3）质疑。

师：现在能不能求出“小林骑的路程”和“小云骑的路程”呢？

生3：都不能求出，因为他们行驶的时间不知道。

师：他们行驶的时间一样吗？为什么？（生讨论交流）

生4：他们是同时出发的，所以相遇时行驶的时间应该是一样的，可以把他们行驶的时间设为x。

（4）思考分析，尝试列方程解答问题。

（学生先小组交流，然后小组代表汇报，师根据学生代表的汇报板书）

师：（小结）“相遇问题”中有哪些等量关系？（板书：甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=路程）

（5）课件出示线段图（如下），引导分析思考。

师：小林与小云分别从相对的方向同时出发，经过1分钟后，他们共走了多少千米？

师：（追问）再经过1分钟，他们共走了多少千米？第5分钟，他们共走了多少千米？（学生思考交流，尝试理解：他们共走了几分钟，就走了几个0.45千米）

师：（总结）“行程问题”中的等量关系为“（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=路程和”，即“速度和×相遇时间=路程和”。

……

二、反思教学，整改提升

在学生演示相遇情景时，一位学生脱口而出：“他们撞上了！”我先是一惊，然后对“相遇”与“相撞”进行了解释。然而，我在后面教学中出示表示相遇的线段图时，仍有学生小声嘀咕：“还是撞上了！”由于教学进度的原因，我对学生的这一反应没有及时处理。课后，我不禁反思学生的这一反应：“这样的绘图方式是不是可以改进？要如何改进呢？”随后，我查阅了很多资料与习题集，并搜集小学和初中数学中出现的典型的“行程问题”，运用画线段图的方式，尝试解决问题。通过探究与实践，我发现“行程问题”中多个物体的运动，除了有简单的“相遇问题”和“追及问题”外，还有复杂的“多次相遇”“流水行船”“环形跑道”等问题，如果都通过线段图呈现和分析，不利于学生理解题意。于是，我将教学进行了修改。

教学片段2：

师：（在学生明确题中的已知条件和问题，理解何为“相遇”后）现在能不能求出“小林骑的路程”和“小云骑的路程”呢？

生1：都不能求出，因为他们行驶的时间不知道。

师：他们行驶的时间一样吗？为什么？（生讨论交流）

生2：他们是同时出发的，又同时停止行驶，所以相遇时行驶的时间应该是一样的。

师：小林与小云分别从相对的方向同时出发（用不同颜色的粗细线段表示小林和小云的行驶路程），经过一段时间后相遇，也就是行驶完了全程。

师：他们的相遇地点离哪里比较近？为什么？

生3：离小云家比较近，因为小林的速度快。

生4：在相同时间内，速度越快，行驶的距离越长。

（师引导学生完成线段图）

……

上述教学，我遵循学生的认知规律，通过多媒体创设教学情境，并充分运用直观教学法，引导学生理解题中的数量、数量关系及关键词，体现了数形结合的简洁美，使学生真正掌握所学的数学知识。

数形结合之美在于以形助数，通过直观分析获得对数学本质的认识与理解。因此，在数学教学过程中，教师应注重对学生学习方法的指导，也就是通常所说的数学思想方法，只有这样才能真正做到以不变应万变。学习掌握和灵活运用这些数学思想方法，对学生解题能力的培养有重大作用和意义。此外，教师还要培养学生数中思形、形中觅数的意识，使学生能够准确地构造出图形，找到数与形的切合点，从而理解图中蕴含的数量关系，提高解决问题的能力。

（责编 杜 华）