复积分的几种常用计算方法的研究

刘丽敏 向修栋 武洪萍

【摘 要】本文主要研究复积分的几种常用计算方法，如参数方程法，Newton-Leibnitz公式，参数方程法的重要结论，Cauchy-Gusa定理，Cauchy积分公式，高阶导数公式，复合闭路定理，留数定理等.选取典型例题，针对每个例子给出相应的方法，比较、分析，归纳总结出不同类型复积分的解题技巧。

【关键词】复积分;参数方程法;Cauchy积分公式;留数定理

中图分类号： O174.5;O172.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）16-0065-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.16.029

Research on Several Common Computational Methods of Complex Integral

LIU Li-min1 XIANG Xiu-dong1，2 WU Hong-ping1，2

（1.Shengli college China university of petroleum， Dongying Shandong 257000， China;

2.China university of petroleum，college of science， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】This paper mainly studies the complex integration of several common calculation methods，such as parametric equation method，Newton-Leibnitz formula， an important conclusion parametric equation method，Cauchy-Gusa theorem，Cauchy integral formula，higher derivative formula，complex closed circuit theorem， residue theorem，etc.Select typical examples and give the corresponding method for each example，comparison，analysis，then summarize the different types of complex integrals problem solving techniques.

【Key words】Complex Integral; Parametric Equation Method; Cauchy Integral Formula; Residue Theorem

復积分是研究解析函数的有力工具，能灵活运用各种方法计算复积分是很重要的.本文先系统介绍复积分的几种常用计算方法，并以典型例题进行说明，方便能更灵活计算复积分。

1 复积分的几种常用计算方法的介绍

1.1 参数方程法[1]

设C为一光滑或分段光滑曲线，其参数方程为：

z=z（t）=x（t）+iy（t），（a≤t≤b），

曲线C的起点对应参数t=a，C的终点对应t=b。设f（z）沿曲线C连续，则？蘩 f（z）dz=？蘩  f（z（t））z'（t）dt。

积分路径C为开曲线或闭曲线，被积函数f（z）为解析函数或不解析函数，解题时，均可用参数方程法。运用此方法的解题步骤为：

第一步，画积分路径，并标明方向。

第二步，写出积分路径的参数方程，z=z（t）=x（t）+iy（t），（t：a→b）。

第三步，一代、二定限.将参数方程带入被积表达式中，简称“一代”;确定积分的上下限，起点参数t=a对应下限，终点参数t=b对应上限，简称“二定限”。

1.2 Newton-Leibnitz公式[1]

积分路径C为开曲线，在单连通区域D内，被积函数f（z）是解析函数，则积分结果与积分路径C无关，只与C的起点z0、终点z1有关，若φ（z）是f（z）的一个原函数，则？蘩  f（z）dz=φ（z）|  =φ（z ）-φ（z ）。

1.3 参数方程法的重要结论[1-2]

=2πi，n=0; 0， n≠0.

n为整数，积分路径C是闭曲线，且是以z0为圆心，r为半径的正向圆周，被积函数f（z）= 是分式形式，分子为1，在C所围成的闭区域内只有一个奇点z=z0，且此唯一奇点恰好是C的圆心，解题时，如果符合此特征，可用此重要结论，根据n的情况，直接得结果.注意被积函数f（z）中n是以n+1的形式出现的。

1.4 Cauchy-Gusa定理[1]

在单连通区域D内，若函数f（z）是解析函数，C为D内任一条闭曲线，则 f（z）dz=0。

积分路径C为闭曲线，被积函数f（z）是C内的解析函数，即被积函数在闭曲线C内无奇点时，可直接根据Cauchy-Gusa定理，判定积分结果为0。

1.5 Cauchy积分公式[1]

在区域D内，函数f（z）是解析函数，C为D内的正向简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z0为C内部任一点，则f（z0）=   dz。

实际求解复积分过程中，选择Cauchy积分公式的变形  dz=2πi·f（z0）。积分路径C为闭曲线，在C中被积函数g（z）= 只有一个一阶极点z0，也就是说，当被积函数在闭曲线C中只有一个一阶极点时，可选择用Cauchy积分公式。运用此方法的解题步骤为：

第一步，变换被积函数g（z）的形式，区分分子和分母，将其表示为g（z）= 。首先确定g（z）在闭曲线C内的奇点，即为z0，则z-z0就是分母，剩下的就是分子，故g（z）= 。

第二步，代公式。

1.6 高阶导数公式[1]

若区域D内的解析函数f（z）有各阶导数，且有

f（n）（z0）=   dz，（n=1，2，…），

其中C为区域D内任一条闭曲线，z0在C中。

在求解复积分过程中，同样用的是高阶导数公式的变形  dz= ·f（n）（z0）。积分路径C为闭曲线，被积函数h（z）= 在C内有一个n+1阶极点z0，即被积函数在闭曲线C内只有一个高阶极点时，可用高阶导数公式解题。运用此方法的解题步骤为：

第一步，变换被积函数h（z）的形式，区分分子和分母，将其表示为h（z）= 。首先确定h（z）在闭曲线C内的奇点，即为z0，则（z-z0）n+1就是分母，剩下的就是分子，故h（z）= 。

第二步，代公式。

1.7 复合闭路定理[1]

若f（z）在复合闭路C=C0+C  +C  +…+C  及其所圍成的多连通区域内解析，则

f（z）dz= f（z）dz+ f（z）dz+…+ f（z）dz，

即 f（z）dz=0。

通俗的讲，复合闭路定理就是沿外圈的积分等于沿内圈的积分之和。积分路径C为闭曲线，被积函数f（z）在C内有两个或两个以上的奇点时，可先用复合闭路定理“挖奇点”，然后在选择合适的闭曲线内只有一个奇点的方法（3）（5）（6）去做。

1.8 留数定理[1-3]

在区域D内，除有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外，函数f（z）处处解析，C是D内的一条正向简单闭曲线，上述n个孤立奇点在C中，那么

f（z）dz=2πi Re s[f（z），zk]。

积分路径C为闭曲线，被积函数f（z）在C内有一个奇点或有多个奇点时，可用留数定理解题.运用此方法的解题步骤为：

第一步，找孤立奇点，并判断孤立奇点的类型。

第二步，计算函数f（z）在各孤立奇点处的留数。

第三步，代公式。沿闭曲线C的积分等于C内各孤立奇点留数之和的2πi倍。

2 典型例题

例1计算积分？蘩 Im（z）dz，其中C为从原点（0，0）到（1，1）的直线段。

分析：积分路径C为开曲线，可写出其参数方程，且在复平面上，被积函数Im（z）处处不解析，因此只可选择参数方程法。

解：积分路径C如右图1所示。

C的参数方程为z=t+it=（1+i）t，t：0→1。

故？蘩 Im（z）dz=？蘩  t·（1+i）dt=（1+i）？蘩  tdt

=（1+i）· |  = 。

例2求积分？蘩  （2+iz）2dz的值。

分析：积分路径C为开曲线，没有具体的积分路径，只是给出了它的起点1，终点i，在整个复平面上，被积函数（2+iz）2处处解析，所以积分结果与路径无关，只与C的起点和终点有关，可用Newton-Leibnitz公式。

解：因为（2+iz）2在复平面上解析，故积分与路径无关，可用Newton-Leibnitz公式来计算。

积分路径C为开曲线时，常用复积分计算方法有两种——参数方程法和Newton-Leibnitz公式.例1中的被积函数Im（z）在复平面上不解析，故只可选择用参数方程法。而例2只给出积分路径的起点和终点，特征明显，只可选择用Newton-Leibnitz公式。

例3计算积分  dz，其中C为|z|= 。

分析：积分路径C为闭曲线，在复平面上，被积函数 有两个一阶极点z=0，z=- ，只有z=0在C内，如图2所示.

法2（参数方程法的重要结论结合Cauchy-Gusa定理）

在内无奇点，所以  dz只能选择用Cauchy-Gusa定理; 在C中只有一个奇点，恰好是圆心，且符合参数方程法的重要结论的被积函数的特征，所以  dz可以选择用参数方程法的重要结论.

法3（Cauchy积分公式）

法4（留数定理）

令f（z）= ，则z1=0，z2=- 为f（z）的两个一阶极点.由图2，容易看出zi=0位于C的内部。由留数定理，

法3（留数定理）

令f（z）= ，则z0= 为f（z）的一个二阶极点。由图3，容易看出z0= 位于C的内部。由留数定理，

f（z）dz=2πi·Res[f（z），z0]

又

Res[f（z）， ]=  z-  · = e =i

于是

dz=2πi·i=-2π

例5 求积分  dz的值，其中C为|z|=2。

分析：积分路径C为闭曲线，在复平面上，被积函数 有一个二阶极点z=0和一个一阶极点z=1，且都在C内，如图4所示。

解：

法1（参数方程法）

C的参数方程为z=2eiθ，θ：0→2π

故  dz=？蘩   ·2eiθdθ=…

此方法计算较繁琐，选择其他方法。

法2（复合闭路定理“挖奇点”）

在C内作两个正向圆周C1和C2，它们即互不相交又互不包含的，C1中只含奇点z=0，C2中只含奇点z=1，如图5所示，根据复合闭路定理，得

其中 在C1内有一个二阶极点z=0，可用高阶导数公式或留数定理，此处选择用高阶导数公式; 在C2内有一个一阶极点z=1，可用Cauchy积分公式或留数定理，此处选择用Cauchy积分公式，留数定理的应用见法3。故

dz=  dz+  dz

=  dz+  dz

= ·（ ）'|z=0+2πi· |z=1

= · |z=0-2πi

=-4πi

法3（留数定理）

令f（z）= ，则z1=0为f（z）的一个二阶极点，z2=1为f（z）的一个一阶极点.由图4，容易看出z1=0和z2=1都位于C的内部.由留数定理，

f（z）dz=2πi Res[f（z），z ]

又

Res[f（z），0]=  z ·  =  =-1，

Res[f（z），1]= （z-1）· =  =-1，

于是

dz=2πi·（-1-1）=-4πi

3 总结

复积分的常用计算方法有参数方程法、Newton-Leibnitz公式、參数方程法的重要结论、Cauchy-Gusa定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式、复合闭路定理、留数定理。通过例题我们发现，同一个问题有多种方法，正所谓“条条大路通罗马”。因此，有必要用一条线将复积分的常用计算方法串起来，方便选择。

1）当积分路径C为开曲线时，可选择参数方程法和Newton-Leibnitz公式，但需要注意的是Newton-Leibnitz公式要求被积函数是单连通区域内的解析函数，且往往使用此种方法的积分直接带着积分限，比较好区分。

2）当积分路径C为闭曲线时，根据C内奇点的个数划分为：

被积函数

（1）若在C内无奇点，只能用Cauchy-Gusa定理。

（2）若在C内只有一个奇点，且：

①若此奇点为单阶奇点，则可选择用Cauchy积分公式和留数定理。

②若此奇点为高阶奇点，则可选择用高阶导数公式和留数定理。

③若C是圆周，C内的唯一奇点恰好是圆心，被积函数f（z）= 是分式形式，分子为1，符合参数方程法的重要结论，也可选择用此方法。

（3）若在内有两个或两个以上的奇点，可选择先用复合闭路定理“挖奇点”，保证每个圆内只有一个奇点，再选择合适的方法，亦可选择直接用留数定理。

按照上述基本步骤来判断寻找每个问题的计算方法，那么解决有关复积分的问题就会得心应手。

【参考文献】

[1]《复变函数与积分变换》编写组.复变函数与积分变换[M].北京：北京邮电大学出版社，2011.

[2]杨文钰.浅析复积分的计算方法[J].科技视界，2018，21：149-150.

[3]岳红云，刘功伟.浅析复积分的计算[J].数学学习与研究，2018，14：9.