基于观测器的超静卫星平台关节-任务空间鲁棒控制方法*

郝仁剑, 汤 亮,关 新

0 引 言

当前天基天文观测、深空激光通信以及极高分辨率对地观测等未来先进航天器对指向控制提出了超精、超稳、超敏捷的需求，JWST和ACCESS等[1-3]提出了毫角秒级的指向精度指标.星上飞轮、控制力矩陀螺等扰动源产生的低频振动和高频抖动会严重影响指向精度和稳定度.在星体和载荷之间增加一级具有隔振、抑振和主动指向能力的载荷姿控系统，构成的整星多级复合控制方案已得到广泛关注[4-6].超静平台的指向控制是基于星体姿态测量基础上对相对偏差量的控制，通过关节-任务空间建模可以在无载荷姿态测量的情况下，获得较为精确的载荷动力学模型.然而，还需要解决相对偏差量的解耦控制问题.

六自由度并联平台机构相对于串联机构，具有刚度强、误差小、承载能力大等优点，在运动模拟器、精密定位稳定平台、并联机床操作器以及娱乐设施等场合得到了广泛应用，但由于存在非线性耦合、建模不确定性以及正解问题等，其高精度控制仍然面临很多挑战[7-9].六自由度并联平台是一个典型的非线性耦合的多输入多输出系统.通常为简化控制器设计，往往将并联的六条支链分解为独立的控制回路进行控制，控制回路只包含关节空间信息(如驱动机构位移、末端力等)，即关节空间控制策略[7].基于关节空间的控制策略在模型上仅仅用到了关节位移与动平台位姿的映射关系，没有考虑系统的动力学模型，动平台的控制精度依赖于驱动机构的控制精度.基于任务空间的控制策略直接将目标位姿给定与动平台位姿做差作为控制器的跟踪误差[8]，优势在于能将完整的动力学模型运用于控制器的设计当中，但也存在控制器更加复杂、动平台空间位姿的测量方法以及对建模准确性的依赖.本文提出一种关节-任务空间的控制策略，通过采用给定目标位姿作为模型标称值的方法，控制器的反馈量为关节空间位移，但控制器的设计兼顾了任务空间的模型.因此避免了动平台位姿的观测问题，又将动力学模型应用于控制器设计当中，从而兼顾了两种控制策略的优势.

控制策略应当保证存在模型建模误差、测量误差以及浮动星体扰动下的鲁棒性.与地面六自由度平台控制不同的是，超静卫星的星体平台是浮动的，虽然采用角动量交换进行姿态机动时整星质心不产生平动，但上下平台存在相对的平动和转动偏差，因此为了避免对相对平动偏差的过补偿，应当通过解耦估计的方法对六自由度的扰动进行精确估计.扰动观测器作为估计扰动的手段已经广泛应用于机器人的控制当中[9-10]，本文提出了一种基于关节-任务空间干扰观测器设计的主动指向超静平台鲁棒控制方法，实现无载荷姿态敏感器场景下的高精度指向.

1 主动指向超静平台建模及分析

1.1 主动指向超静平台建模

如图1所示的含有主动指向超静平台(以下简称超静平台)的卫星控制系统由一级星体姿控、二级超静平台控制系统组成.星体与载荷之间为并联驱动六自由度的超静平台.

图1 含有主动指向超静平台的卫星示意图Fig.1 The composition of the ultra-quiet spacecraft

图2给出了一般构型的含有超静平台的示意图.其中星体坐标系为OB-XBYBZB，原点OB位于超静平台下安装面中心，载荷坐标系为OP-XPYPZP，原点OP位于载荷质心，惯性坐标系为O-XYZ，原点O位于整星质心中心.针对如图2所示的超静平台的一般构型，运动学关系可表示为

图2 一般构型的主动指向超静平台示意图Fig.2 Generalstructure of the hexapod platform

本文研究内容为姿态控制方法，无平动控制通道，因此仅转动角位移给定分别为αd,βd,γd.超静平台的给定为相对位姿给定Δqd=[0 0 0 ΔαdΔβdΔγd]T,即平动给定量为0，转动角位移给定量分别为Δαd,Δβd,Δγd,并有以下定义

[ΔαdΔβdΔγd]T=[αdβdγd]T-

[αbβbγb]T(2)

超静平台的动力学分析主要研究各驱动机构的输出力与载荷运动参量之间的关系，为进一步设计控制器提供了机理建模模型.超静平台的输出力对星体姿控系统可视为内力扰动，且最终指向任务对象均为载荷，因此本文对星体姿控不作分析.

写出星体系下载荷的动力学方程为

式中，Fa分别表示输出力，ηk,ηc分别表示刚度矩阵和阻尼矩阵.

1.2 关节空间与任务空间控制方法分析

超静平台为典型的六自由度并联平台，其控制方法可分为关节空间控制和任务空间两种.

关节空间控制通常为简化设计，将并联关节分解为独立的控制回路进行控制，如图3(a)所示.通过运动学逆解，求得每个关节(驱动机构所在关节)的目标位置，设计独立的关节空间控制器.关节空间控制仅考虑关节位移与动平台位姿的映射关系，没有考虑系统的整体动力学模型.

任务空间控制是直接以平台的位姿作为控制器的反馈，如图3(b)所示.通过直接将目标位姿与平台位姿测量做差作为控制器的跟踪误差，其优势在于能将完整的动力学模型运用于控制器的设计当中.式(3)即为在任务空间的建模.因此，在无位姿测量的应用场合，应当对两种方法进行结合.

图3 关节空间和任务空间控制方法示意图Fig.3 Control block diagrams for (a) Joint and (b) Task Space

1.3 关节-任务空间建模

将式(3)进一步改写为包含关节空间模型和不确定性的方程.首先考虑建模不确定性，则式(3)可表示为

式中，M，C矩阵与(2)定义相同，σ表示建模不确定性部分.将式(1)代入(3)可得

式中有

M1=J(Δq)-TM(Δq,σ)J(Δq)-1(7)

对于模型(6)有以下假设

假设1：雅克比矩阵J(Δq)是非奇异的；

假设2：σ表示不确定性包括模型误差，且有σ∈∑,∑为紧集；

式中ω=J-1,对于任意的向量x∈R6可以得到

通过雅克比矩阵变换，式(6)是模型(3)在关节空间和任务空间中的表示.其中状态变量为关节空间中的l,使得控制器可以在关节空间中设计.然而模型参数矩阵包含星体系下载荷任务空间中的位姿向量Δq,为了更好地进行模型补偿，将式(7)～(9)分解为两部分，一部分为已知确定项，一部分为未知不确定项，即

M1(Δq,σ)=M0(Δqd,0)+δM1(12)

1.4 问题描述

通过以上分析可知，超静平台的指向控制是基于星体姿态测量基础上对相对偏差量的控制，通过关节-任务空间建模可以在无载荷姿态测量的情况下，获得较为精确的载荷动力学模型.然而，还需要解决相对偏差量的解耦控制问题.

一方面，对于超静航天器的指向控制而言，由于观测目标距离较远，载荷与星体的平动偏差影响与转动偏差影响相比是可以忽略的.另一方面，超静航天器采用角动量转换实现姿态机动，整星质心无平动位移，但机动过程星体与载荷间存在平动和转动的相对偏差，即关节空间的偏差量是任务空间两类偏差的耦合.因此，虽然相对平动不会直接影响指向精度，但若采用关节空间控制方法，无法对平动和转动进行解耦估计，紧靠提高积分增益容易导致对平动偏差的过补偿.

综上所述，因此以下内容需要解决的问题是：

1) 针对关节任务空间模型设计控制器，保证机动及指向过程载荷实现高精度指向.

2) 在存在干扰和模型不确定性条件下，保证控制系统的鲁棒性.

3) 针对机动过程平动与转动耦合偏差干扰，实现平动与转动自由度的精确解耦补偿.

图4 机动过程误差示意图Fig.4 Relative deviations during the maneuvering process

2 基于关节-任务空间的干扰观测器设计

针对超静平台关节-任务空间模型，本节将进行鲁棒控制器设计，其控制框图如图5所示.控制器的设计建立在关节-任务空间的基础上，采用给定目标位姿作为输入，既避免了正解运算，又考虑了系统动态模型.设计的干扰观测器可以消除由于关节-任务空间建模产生的建模误差和相对平动误差.最终采用李雅普诺夫方法证明整个系统的误差收敛特性.

图5 基于关节-任务空间的鲁棒控制示意图Fig.5 Control block diagrams for Joint-Task Space

首先定义跟踪误差

将式(15)代入模型(6)中，并采用式(12)～(15)的模型分解方法可得

式中，h1即所有不确定性干扰与期望位移ld的综合，其表达式为

式中，df为关节刚度阻尼参数估计误差，即

式中，

对比h1和h2的表达式可知

定义干扰估计误差为

注意到式(17)和(20)的不确定性干扰包含的子项基本一致，因此定义

则(26)可表示为

3 基于关节-任务空间的鲁棒控制器设计

以超静平台在关节-任务空间下的干扰观测器为基础，设计能够满足要求的鲁棒控制器.考虑到实际系统估计和跟踪误差的有界性以及主动指向超静平台小位移下δM1和δC1为小量，因此存在以下满足条件(30)的边界函数ρmax

‖ρ(·)‖≤‖ρmax‖(30)

式中

控制器设计为

Fa=u1+u2(32)

其中，u1,u2的具体形式分别为

和

因此，控制器的设计最终以定理1的形式给出.证明见附录.

定理1.若存在满足条件(30)的边界函数ρmax,采用控制律(32)，系统满足假设1-假设3，那么系统(16)的跟踪误差能一致收敛到可设计的有界球内.

4 仿真分析

4.1 仿真模型搭建及参数设计

为验证算法有效性，采用含有主动指向超静平台的卫星模型进行仿真验证.模型参数如表1所示.

表1 卫星模型仿真参数Tab.1 Simulation parameters of the ultra-quiet spacecraft

表2 主动指向超静平台控制器参数Tab. 2 Parameters of the controller

4.2 对比验证控制器参数设计

为准确验证JT-RC的控制性能，设计关节空间PD控制器(简称J-PDC)、关节空间PID控制器(简称J-PIDC)作为对比验证，且标称前馈补偿量与JT-RC相同，即J-PDC控制器形式为

J-PIDC控制器形式为

其中，积分项系数ki=1×107.同时，为确保对比验证的控制参数一致性，PD控制器中比例与微分项系数分别与JT-RC中误差比例综合系数与误差微分项综合系数保持一致，即

比例项系数kp

kp=Kp+Sρmax/ε(38)

微分项系数kd

kd=Kv+ρmax/ε(39)

4.3 控制仿真结果对比分析

按照以上控制器设计方法，对含有主动指向超静平台的卫星姿态机动及稳定过程进行了仿真.仿真给定的机动规划轨迹如图6所示，卫星绕X轴作正弦机动，机动时间为10 s，稳定时间为20 s，最大角加速度为0.6(°)/s2，最大角速度为2(°)/s.

为验证对外界干扰力矩的抑制能力，在10 s机动到位后，在10～30 s稳态过程中施加于星体上三轴喷气干扰力矩，如图7所示.干扰力矩作用大小为X轴2 N·m，Y轴1.4 N·m，Z轴0.8 N·m，作用力矩采用矩形波信号.

图6 仿真机动规划轨迹Fig.6 The simulated maneuvering trajectory

图7 干扰力矩作用曲线Fig.7 The disturbance torque action curve

对于各对比验证仿真工况，星体一级采用同样控制器参数，仿真得到的星体姿态误差曲线如图8所示.在机动过程中最大误差为92″，机动到位稳态过程中受喷气扰动的影响，最大误差波动为18″.

图9和图10分别给出了机动段和稳态段载荷指向误差对比.从图9中可以看出，在机动段采用J-PD控制得到的指向误差最大为78″，相对于星体一级误差的衰减率为15%.采用J-PID控制由于引入了积分补偿，指向误差最大为19″，相对星体一级误差衰减率提升至80%.采用JT-RC控制指向误差缩小为5″，相对星体一级误差衰减率进一步提升至85%.

从图10中可以看出，J-PD在稳态段喷气扰动下的指向误差超过0.2″，J-PID和JT-RC控制方法在稳态段喷气扰动下的指向误差在0.2″以内.

图8 星体姿态误差曲线Fig.8 Attitude tracking errors of the base

图9 载荷姿态误差曲线对比(机动段)Fig.9 Attitude tracking errors of the payload (maneuvering)

图10 载荷姿态误差曲线对比(稳态段)Fig.10 Attitude tracking errors of the payload (stabilization)

图11和图12分别为J-PID和JT-RC控制下作动器的输出力曲线.通过对比可以看出，JT-RC单个作动器最大输出力小于10 N，而J-PID单个作动器最大输出力达到了200 N.

图13表示了J-PID作动器输出力积分量在6个自由度的合成.通过与图11对比可知，J-PID作动器积分量是输出力中的主要部分，是导致输出力过大的主要原因.与JT-RC的输出力相比，J-PID的输出力产生了较多的内力消耗.

图11 J-PID控制作动器输出力Fig.11 Active force of the actuators (J-PID)

图12 JT-RC控制作动器输出力Fig.12 Active force of the actuators (JT-RC)

图13 J-PID作动器输出力积分量合成Fig.13 Integration force/torque bythe integral controller

图14表示了JT-RC中干扰观测器对6个自由度干扰力的估计.通过与图12对比可知，JT-RC中干扰观测器能够对干扰更为有效准确的估计.

图15和图16分别为J-PID和JT-RC控制下星体与载荷的相对位姿偏差曲线，通过对比可以看出，虽然两种控制方法的相对姿态最大均为0.022°，但J-PID的相对位置为0.000 4 mm，JT-RC的相对位置为0.002 7 mm，因此J-PID控制的最大输出力是由于大量的积分用于相对平动位移的维持造成的.由于J-PID是基于关节空间设计的，无法对平动扰动和转动扰动进行解耦估计，因此平动误差与转动误差在关节空间的耦合导致了积分的过补偿.而JT-RC由于设计了基于关节-任务空间的干扰观测器，能够只对转动方向的相对姿态偏差进行估计补偿，在平动自由度不作控制，避免了相对位置平度误差引起的过补偿.通过仿真分析可知， JT-RC具有更高精度、更高鲁棒性，同时避免了对相对平动的过补偿.

图14 干扰力估计合成Fig.14 Estimated force/torque bythe disturbance observer

图15 J-PID控制星体与载荷相对位姿偏差Fig.15 Position and attitude deviations underJ-PID control

图16 JT-RC控制星体与载荷相对位姿偏差Fig.16 Position and attitude deviations underJT-RC control

5 结 论

本文针对研究了无载荷姿态敏感器场景下的主动指向超静平台高精度指向控制问题进行了研究.为消除机动过程中星体对载荷扰动的影响，提出了一种基于关节-任务空间干扰观测器设计的主动指向超静平台鲁棒控制方法，通过采用给定目标位姿作为模型标称值的方法，兼顾了关节和任务空间控制策略的优势，设计的干扰观测器，能够实现平动与转动干扰力的精确估计.通过设计对比仿真验证了方法的有效性.

附录：定理1证明

证明：定义李雅普诺夫函数为

由假设3可知，V1中两项的正定性和有界性可以得证.继续对V1求导可得

根据控制律(31)、以及引理1可得

由(34)可知，当‖w1‖≥ε1时有

而当‖w1‖<ε1时有

将(a-4)和(a-5)代入(a-3)可得V1导数满足