梳理问题多元研究，追求“本质”探寻方向

余贤华 冯波涛 刘刚

“找次品”一课是人教版五年级下册的一节智力思考的探究课。教师总想带着学生奔着最佳方案去，那就是当一些物品中只有一个次品，且知道它比其他物品轻或重时，尽可能将待测物品分成最多只相差1的3份，且有2份数量相等。称n次，可以从3n-1+1至3n个物品中找出这个次品。要真正在40分钟内让学生通过探究得出这一结论，确实有难度。

迷雾一：需要一架什么样的天平？

找次品的题里几乎都有这样的字眼，“没有砝码的天平，次品稍重（轻）一些”。如果重（轻）相差很多，那天平就不需要了，直接用手掂一掂就可找出次品，天平的出场就没有必要了。教师在课初都提出了这样的问题，让学生回答怎样找出这个次品，学生说用掂一掂的方法。为什么天平不要砝码？因为我们并不需要知道物品具体有多重，有砝码每次只能称1份物品，没有砝码每次至少能称出2份物品，在分成3份时能准确地判断这些物品中的唯一一个次品在哪1份中。关于对天平的认识，除了天平上，还有天平外。在本课的教学研究实践中，一教师在介绍天平时，说了天平的左端，天平的右端，天平之外。如果能直接将待测物品所处的位置描述成左盘、右盘、外盘，并且在后来的探究中为什么分成3份，加以充分的利用，那就很容易成功了。我们甚至设想，如果另有一架特殊的天平，它有三个托盘，则每称一次就可以从总数的四分之一（左右）中找到次品，那么称n次就可以在4n-1+1至4n个物品中找到唯一的一个次品。

迷雾二：至少称几次就能保证找出次品是什么意思？

如何理解这句话，参与教学实践的教师都会引导学生进行深入分析，并且在教学过程中不断地进行强化。如一教师在读题后，问：“你觉得哪些词很重要？”然后逐一解释。又如在学生说出5个产品中找次品时，可采用（2，2，1）的分法，称一次就能找到次品，另一位教师追问：“一次可不可能找到呢？能不能保证？”第三位教师则通过创设情境，引导学生从81个玻璃球中找一个次品，学生回答可以分成（40，40，1），这样称一次就可以找到。该教师追问“这样能保证吗？”其他几位教师也有同样的追问，这样可以让学生较好地理解 “至少”“保证”等关键性的词句。

迷雾三：怎样清晰表达找次品的推理过程？

注重语言的规范化描述。参与教学实践的教师在学生用语言描述时，对学生进行了有效的帮扶、更正。如一教师直接板书“如果……那么……”使学生能用规范化的语言描述推理过程。

注重通过动手操作、小组合作来清晰地呈现推理过程。教师都安排了小组讨论的教学环节。还有几位教师让学生先用学具与同桌摆一摆，说一说，再让学生用小磁片在黑板上演示推理过程，一边摆一边说，这些做法对明晰推理思路都能起到很好的作用。

注重过程的图示表达。教师在教学中都用图示的方式，清晰地表示了分组情况及操作流程，这样能让学生理清思路。如一教师板书，9→（3，3，3）→（1，1，1）=2次。另两位教师则给物品编号，并画图表示过程。

迷雾四：为什么用三分法且尽可能平均分是这类找次品问题的最优方案？

采用三分法是我们找次品的工具——天平决定的。不用砝码的天平，左盘、右盘都可以放置物品，还有在天平之外的物品，我们也可以称之为外盘。每称一次，让没有排除有次品嫌疑的所有物品，都成了待测对象，都可让我们通过这一次称重，对它们做出有没有次品的判断。因为只有1个次品，它必在三个盘的一个盘中，这样我们就排除了三分之二（左右）的物品，只在剩下的三分之一（左右）的物品中找次品。如果采用四分法、五分法……每称一次，仅能对左盘和右盘上的2份物品做出判断，而其他几份物品，在这一次称重中并没有接受有无次品的“审判”。对它们来说，这是一次无效称重，因而肯定不是最优方案。如果一架特殊的天平有三个、四个托盘，则每称一次就可排除四分之三（左右），五分之四（左右）的物品里有無次品，则每称一次可以在更大范围内找出次品。这里的天平只有两个托盘，就要采用三分法。当然在数目很少时，是不能突显三分法的优势的，正如一些简算方法，在数据较小时没有什么优势一样。为什么要将3份尽可能平均分呢？我们知道，在数量越少的物品中找出一个次品越容易。所以每次称重就要排除尽可能多的物品，在相对较少的物品中去找那1个次品。如果3份数目相差较多，排除的对象就不一定是最多的。如我们将25个物品分成8，8，9，称一次就可以排除16个或17个物品不是次品;如果我们分成7，7，11，称一次就可以排除14个或者18个物品不是次品。但是排除18个要有机遇，不是能保证的，能保证的只是排除14个，而按8，8，9的分法，可以保证至少排除16个。其实，分3份（使每份最多相差1），只是一种表象，其实质是要排除尽可能多的物品。

教师在拨开这层迷雾时，大多采用了列表的方式，从探究8个物品中找次品的不同分组方法中，来突显三分法的优势。8个物品中找1个次品，有效的分组方法有4种，从中得出三分法优于其他分法。这一点参与教学实践的教师都做到了。但在进一步挖掘为什么尽可能平均分的实质上，有两位教师要做得好一些，因为她们在引导学生分析这种方法时，强调了每种分组方式能排除多少个物品，这样就能突显采用三分法时为什么要尽可能平均分。

迷雾五：找次品蕴含的数学思想和方法有哪些？在教学中如何贯彻这些思想和方法？

1.符号化的思想。参与教学实践的教师在这节课上很好地贯彻了符号化的思想。如用画出的图示表示天平，用数字编号代替物品，用图示表示推理过程。

2.化繁为简的思想。如一教师通过创设的情境让学生从2187瓶糖中找出1瓶次品，另一位教师设置应聘题，让学生从81个玻璃球中找1个次品，还有教师设置从27枚金币中找1枚次品。先出示数据较大的问题，然后引导学生从数据较小的3个物品开始，找1个次品，都很好地贯彻了化繁为简的思想。

3.推理的思想。如一教师引导学生用“如果……那么……”来描述推理的过程。另一位教师让学生从称一次可以从3个待测物品中找出1个次品，称两次可以从9个物品中找出1个次品，称三次可以从27个物品中找出1个次品，进一步推出称四次、五次、六次、七次，分别从81个、243个、729个、2187个待测物品中保证能找出1个次品。

4.优化的思想。优化的思想是找次品中最突出的思想，优化的思想已在前面的教学中有过渗透。学生在“烙饼问题”中，体会到最大限度地让锅里是满的，在“打电话问题”中，体会到让每一个接到通知的人1分钟也不闲着，帮着完成打电话的任务，只有这样才是最优方案。那么“找次品”时，就要让学生体会每一次称重都是对所有待测物品的一次鉴别，并尽可能将次品限制在最少的数量之中，那就是要排除尽可能多的物品里没有次品。在这一点上，有两位教师做得比较突出，她们在引导学生探究从8个物品中找次品中，从几种不同的分组方法，强调第一次称重排除了多个物品不是次品，排除的越多，剩下的越少，后面称的次数也就应该最少。其他几位教师只是从几种分组中，引导学生发现三分法，并且每份最多相差1时，称重次数最少，但对其实质没有触及。

当然，这节课锁住那道霞光的不仅仅只是以上这几层迷雾，还有要不要将实物天平引入课堂？要不要在找次品的第一节课就总结出规律？现行教材为什么在实验教材的基础之上进行了调整？等等。师生要沐浴在这重重迷雾后面的一缕阳光中，敢问路在何方？

（湖北省仙桃市新生街小学华数工作室   433000）