偏微分方程数值解法在生物持久生存中的应用

周红玲

(黄淮学院 数学与统计学院, 河南 驻马店 463000)

引言

偏微分方程可以用来解释和预见各种自然现象，在众多领域中有着广泛的应用. 但由于偏微分方程本身的复杂性，使得绝大多数偏微分方程都得不到其解析形式的解，因此，求偏微分方程的数值解同样具有重大意义. 对于偏微分方程数值解，国内大多数学者研究的是具有物理背景的偏微分方程的数值解法，如文献[1-3]，而偏微分方程数值解法在生物周期持久生存中的应用还较少涉及.

本文主要研究下面的偏微分方程：

(1)

1 差分格式

系统(1)在一个周期τ内的向前差分格式为

2 数值模拟

为了便于数值模拟, 取种群生存区间长度l=1,生长周期τ=1,环境容纳量r=1,初始值φ1(x)=sinπx, 其余参数取值见表1.

表1 参数取值

当参数q=0.2时, 利用向前差分法求解偏微分方程(1)数值解的Matlab程序如下：

clear;clc;

d=0.021; q=0.2; alpha=-0.0345;gama=1; m=8.7;a=0.2;

xa=0;xb=1;T=1;TT=10;nn=TT/T;

DeltaT=0.01;h=0.01;

N=1/DeltaT;J=(xb-xa)/h;

r=d*DeltaT/h.^2;

qq=DeltaT*q/h;

u=zeros(N+1,J+1);v=zeros(nn+1,J+1);

A1=diag((qq-r)*ones(J-2,1),1)+diag(-(r+qq)*ones(J-2,1),-1)+diag((1+2*r)*ones(J-1,1),0);

x=xa:h:xb; t=0:DeltaT:T;

u(:,1)=0;u(:,J+1)=0;

v(1,:)=7*sin(pi*x);

k=find(abs(x)>5);

v(1,k)=0;

for n=1:nn

u(1,:)=m*v(n,:) .* v(n,:)/(a+ v(n,:) .* v(n,:));

for i=1:N

bb1=u(i,2:J)+alpha*DeltaT*u(i,2:J)-gama*DeltaT*u(i,2:J).^2;

bb1([1 end])=bb1([1 end])+[-r*u(i+1,1) -r*u(i+1,J+1)];

u(i+1,2:J)=A1b1';

u(u<0)=0;

end

v(n+1,:)=u(end,:);

end

figure

tt=0:1:TT;

[X,Y]=meshgrid(x,tt);

surf(X,Y,v);

xlabel('x');

ylabel('t');

zlabel('Population density');

hold on

figure

plot(x,v)

xlabel('Control zone');

ylabel('Population density');

运行上述程序后, 可得图1； 当参数q=0.35时, 可得图2；当参数q=0.45时, 可得图3.

图1 q=0.2 时,Nn(x) 的数值模拟

图2 q=0.35时, Nn(x) 的数值模拟

图3 q=0.45时, Nn(x) 的数值模拟

3 结论

通过图1和图2可以发现, 当g(N)为Holling-III型函数时, 种群数量在经过一个周期后就基本稳定, 这也意味着一个周期后种群可以持久生存. 比较图1和图2 中的右边两个图可发现, 当介质流速由0.2升高到0.35时, 生物种群明显向下游集中, 说明介质流速对种群的持久生存有显著影响, 上述结论与文献[5]中g(N)为Holling-II型和 Ricker型情况下相同. 随着介质流速的升高, 当q=0.45时, 从图3 可发现，随着时间的推移, 种群向右偏移的程度越强, 经过10个周期后, 种群数量基本趋近于零, 这也说明在该介质区域内该种群不能持久生存, 该区域内的生态平衡被破坏. 此外, 与文献[5]中g(N)为Holling-II型的结论比较, 当g(N)为Holling-III型函数时, 种群能更快地适应环境, 在区域内可以持久生存(文献[5]需要10个周期后, 种群数量才趋于稳定)，但种群主要集中在后半区域, 这说明当g(N)为Holling-III型函数时, 种群更容易受介质流速的影响, 种群的持久存活更容易遭到介质流动速度的破坏.