全球定位系统基线解算病态问题的研究

代正娇　边倩倩　赵佶　王嘉祥　李育红

摘要：自经典的最小二乘法（LS）被证明可以独立应用于GPS数据的分析之后，最小二乘法便成为GPS数据处理过程中应用频率较高的方法之一。但在 GPS快速定位等空间数据采集技术的迅速发展下，测量手段不断提高，数据量迅速膨胀，数据之间的相关性越来越强，如果仍采用经典的 LS估计方法，必然会影响平差结果，导致结果精度偏低。因此，分析平差病态问题的形成原因和诊断度量方法，选择更有效的方法来获取准确的结果是处理GPS数据过程中重中之重的事。

关键词：GPS双差模型;病态性;有偏估计;岭迹法;截断奇异值

中图分类号：TP311        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）14-0207-03

1 绪论

1.1 选题依据

随着测量技术的快速发展，测量方法不断完善，对定位信息及时性的要求也越来越高，但平差系统的病态性问题也越来越广泛，使得 LS估计性质显著变坏， LS估计值和真值相差太大，严重影响测量结果的精度，因此，必须找到更为有效的方法消除或削弱平差系统的病态性，以得到更为精确、可靠的平差结果。

对于GPS测量而言，具体的平差问题存在许多内部原因，例如控制点位置，参数确定等。 因此，在寻找病态性问题的形成规律时，必须分析产生病态的具体原因，分析应用和理论中的存在的病态问题。寻找更科学合理的解决方案，提高GPS测量站点坐标的准确性、可靠性和解算效率。

1.2 本文主要研究内容

解算成果受GPS测量平差系统病态性的影响越来越严重，为了解决这一难题，本文主要以当下 GPS研究的现状和已有的结论为基础，确立研究的主要内容如下：

（1）从实际的测量数据出发，归纳分析测量平差系统中法方程的病态问题产生的原因，并研究其诊断与度量方法，然后比较分析了 GPS相对定位观测方程的三种模型各自的特征，确定本文所要采用的模型;

（2）着重研究有偏估计法和病态模型直接解法在平差病态问题中的应用。重点分析岭估计与部分岭估计在解决病态性问题上的优点;针对有偏估计中确定岭参数这一难点对岭迹法和 L-曲线法进行深入剖析;最后分析截断奇异值法和修正奇异值法在解决病态性问题上的实用性和各自的差异性;

（3）用LS估计对获取的GPS数据进行解算获得平差坐标，然后以截取的少量历元数据为基础数据，将LS估计、有偏估计法和病态模型直接解法运用到平差系统双差模型的解算中，并根据其解算结对比分析各类方法的有效性和优越性，

（4）对本文的工作做一下总结，并且明确下一步研究工作。

2 GPS测量误差及相对定位观测模型

2.1 GPS测量的误差来源

在GPS测量中，众多要素造成了测量的精度降低。影响GPS定位精度的主要误差包括GPS卫星、卫星信号传播以及接收设备。 具体内容如表1所示。

另外，由观察人员本身和观察环境引起的误差也以矩阵的形式干扰解算结果。

2.2 GPS相对定位观测方程的确定

假如安置在某一个测站的GPS接收机，对GPS卫星进行同步观测，则观测方程为：

式中，[?]为相位观测小数，[R]为接收机到卫星的真距离，[τ]为接收机钟差，[N]为相位整周模糊度，[σ]为信号通过对流层和电离层的延迟改正，[（XS，YS，ZS）]为卫星瞬时地心坐标，[（XP，YP，ZP）]为接收机的地心坐标。

GPS相对定位观测方程进一步推导出常用的三种形式：单差、双差以及三差。 对三种模型进行综合分析后，确定了在实际工作时采用的模型。其结果如表2所示：

从表2可以看出，单差观测方程观测量之间没有相关性，但未知参数过多;三差观测方程消除了卫星轨道误差等大多数的未知参数，但由于三次作差使得观测量之间相关性过强，解算结果精度变差。最后，在实践应用时决定选用双差模型进行解算。

3 GPS测量平差系统中的病态问题

3.1 测量平差模型的病态性

3.1.1 病态性扰动理论

自1829年高斯创立最小二乘法以来，特别是高斯-马尔可夫定理证明了LS估计在线性无偏估计类中具有最小方差等优越性之后，使得LS估计被普遍应用于GPS数据处理中。然而在实际应用中LS估计并不适合于任何情况，当系数矩阵出现复共线性时，即阵的列向量存在近似相关性，此时平差模型出现病态问题，使得LS估计的精度很差，解算成果并不可靠。

因此，要想解决平差系统中出现的病态问题，首先要知道什么是病态问题？病态问题的一般定义是：原始数据的微小误差对解算结果有显著的影响，则该平差系统是病态的，反之系统是良态的。由此可知，病态性反映的是平差系统的抗干扰能力。

3.1.2 病态性与复共线性

复共线性是指矩阵中存在某些数据列可以互相近似线性表示。研究表明：复共线性是病态性存在的主要条件，复共线性存在，病态性一定存在。但复共线性不等于病态性。因为，病态性是平差系统本身的一种属性，而且平差系统病态的原因是由多方面因素造成的，复共线性仅仅是其中的一个原因。但是在测量中，一般模型的建立通常是通过公式得到的线性系统，因此对于平差系统而言，可以认为复共线性等于病态性。

3.2 GPS测量平差系统病态性原因

减弱甚至消除平差系统病态问题的前提就是要正确分析病态性的形成原因。实践表明，由于众多因素的影响参数求解时的结果会产生病态方程组，概括起来导致了系统病态性的因素有如下几种：

（1）参数过度化

参数过度化导致的病态问题的主要体现在两方面：1）参数本身的错误。选择了错误的参数意味着设计阵中的一些数据列和其他数据列存在一定的相关性，即这些参数不但没有增加新的独立信息反而干扰了其他参数，造成设计阵的均方误差过大; 2）未知參数过多。一个参数有可能受多个变量的影响，同时，一个变量可能影响多个参数，在这种情况下过多的参数带来了过度参数化，由这些参数建立的模型必然会复共线性，进而造成平差系统病态。因此，选择适当的模型是非常重要的。

（2）观测信息不足

在实际中获取 GPS数据的外业环境有时会受客观因素的影响，使得我们处在的不利的位置，造成观测结构不合理，数据采样存在一定的局限性，观测信息不足等问题，使得观测矩阵的列向量存在复共线性，矩阵从实测的GPS数据中无法获得准确结果，从而产生病态性。

（3）数值计算

在用计算机处理数据时存在数据的舍入误差同样是不容忽视的，如果计算方法不能很好地控制舍入误差的增长也可能导致结果失真。大量研究结果表明：不同的算法对同一个问题的解算结果有着很大的差异。因此，对于一个具体的平差问题来说选取合适的算法提高数值的稳定性、减少误差的积累和传播是非常重要的事。

3.3 GPS测量平差系统病态性的诊断与度量

无论在理论研究还是实际应用上，病态性的诊断和度量一直都是平差系统中非常重要的环节。病态性诊断的主要目的是判别系统是病态的还是良态的。如果系统是良态的，那么LS估计仍然是一个好的方法;反之，如果系统是病态的，只有正确认识到病态性形成的原因，才能确定具体的诊断和度量方法，进而选择合适的处理方法。

截至到现在已经有十几种诊断方法不断被提出。通过比较几种较常用的诊断方法的异同，进行归纳整合形成表3：

结合表3的内容，针对特定的问题选择不一样的诊断方法，对解决平差系统病态性问题有重大意义。

4 有偏估计和病态平差模型直接解法

4.1 有偏估计方法

一般说来，参数估值与参数真值之间的差距越小越好，而均方误差（MSE）反映的就是参数估计的准确程度。所以当系统存在病态性时，用MSE来反映估计方法的优缺点最为合适。

一般情况下，为了得到的无偏的估值我们经常使用经典的最小二乘法。但在平差系统存在病态性时，运用最小二乘法所得到的解算精度很差，所以选择了新的估计方法即有偏估计进行平差解算。均方误差准则表明，在解決模型病态时有偏估计方法比LS估计更有效，运用有偏估计获得的估值更精确、数值更稳定。

在有偏估计类方法中使用频率较高的有针对法矩阵提出的岭估计以及由岭估计衍生出的部分岭估计、广义岭估计等方法。这些方法在很大程度上解决了平差系统的病态问题，本文主要研究了岭估计法和部分岭估计法。

4.1.1 岭估计与部分岭估计

4.2 岭参数的确定

岭参数的确定是为了运用有偏估计方法时可以获得更准确的估值。因此，选择均方误差最小时的岭参数k值是最优的有偏估计，所以岭参数的确定是后期解算成果的优劣的关键所在。在过去十年中，众多专家学者从不同的方向给出了一些确定岭参数的方法，几种常用的方法原理如表4所示。

从表4中可以得知，岭迹法和L-曲线法都是利用图像来确定岭参数，缺乏必要的理论支撑，主观随意性较强。而其他方法都有确切的公式，可以运用合理计算来确定最优岭参数，其中 HK法和 Q（ C）准则法都必须通过 LS估计获得的部分参数来确定岭参数， GCV法基于逐一排除原理得到参数估值，以均值最小为条件求得岭参数，虽然理论上是可行但是实际操作中过于困难， 一般不采用。

4.2.1 L-曲线法

L-曲线法是在岭估计的基础上，以log[X]作为纵坐标[η]，log[AX-L]作为横坐标[ξ]，选择不同的岭参数k，便得一系列点[（AX-L，X）]，将这些点拟合成一条曲线，最优的岭参数k是该曲线的曲率最大的点所对应的值。因为拟合后的曲线形状近似“L”，故称之为L-曲线法。

4.2.2 岭迹法

岭迹法主要步骤是：首先求出参数的岭估计，然后将岭估计公式中的各个分量作为k的函数，在纸上将函数图形画出，此函数图形称为岭迹。这种方法的优点是直观、简单，但缺乏严格的理论根据，k值的确定具有一定的主观随意度，但由于其应用时间久远，至今仍然被采用。

4.3 病态平差模型直接解法

包括岭估计在内的各类有偏估计能够减弱平差系统中法方程矩阵的病态问题，但对于设计阵的病态问题却没有作用，难以保证解决病态问题的程度。在平差系统中，如果降低误差方程系数矩阵的病态性，法方程矩阵病态性也会随之降低，从而获得更接近于真值的参数估值。病态模型的直接解法顾名思义就是直接对相对定位观测方程的系数矩阵进行解算来得到参数值，近年来在处理平差病态性问题中应用较为广泛。

病态模型的直接解法中应用较为广泛的几类解法的原理如表5所示。

在病态模型直接解法中，截断奇异值可以直接忽略相对小的奇异值，而修正奇异值是将全部或者部分奇异值进行修正。这两种方法均可以提高参数的精度和可靠性，从而解算得到更为精确的值。截断奇异值一般应用于奇异值呈“阶梯状”分布的病态矩阵，而修正奇异值应用在奇异值呈均匀分布的病态矩阵中的效果会更好。

5 总结与展望

5.1 总结

本文对于 GPS相对定位观测模型中出现的病态性问题，从观测模型的特征、误差产生原因以及病态性诊断和度量方法等多方面进行研究、分析与总结，然后重点研究归纳了有偏估计及病态模型的直接解法解决平差系统病态性的主要原理与具体方法，并对有偏估计中较常用的岭估计、部分岭估计，以及确定岭参数的岭迹法和 L-曲线法进行具体分析。除此之外，重点研究了病态平差模型直接解法的截断奇异值法和修正奇异值法。最后将研究成果应用到处理GPS数据中，解决了由于LS估计造成解不稳定的问题，并证明了有偏估计和病态模型直接解法在削弱和消除病态问题上的有效性和优越性。

5.2 下步研究工作的设想

尽管本文对平差系统病态性问题进行了一些研究，并获得了一些结论，但是由于平差系统的复杂性，以后还有很多问题等待解决如下：

（1）将测量结果和病态问题紧密结合进一步分析病态性的实质，对更好解决病态问题有重要影响;

（2）进一步研究有偏估计和病态模型直接解法中各类方法的实用范围和适用条件;

（3）本文主要是对线性系统的病态问题进行研究，对于非线性病态问题的分析也是下一步研究的重要方向。

【通联编辑：朱宝贵】