乐享数学之美——记北京大学数学科学学院副院长章志飞

□ 杜月娇

2006年的一天，章志飞像往常一样与他在国科学院数学与系统科学研究院做博士后时的合作导师张平联系。“他觉得我可以尝试一下水波方程问题”，时隔13年，已经是北京大学数学科学学院副院长的章志飞对记者说，那是不同寻常的一天，“有旋水波问题的局部适定性研究是我数学生涯的转折点”。

和应用学科相比，数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得很深。一路走来，章志飞欣赏数学中的美感，或有感慨，却从不过分急切。“做事情要一步一个脚印。我一般不会预设特别大的目标，但沿着某个方向一直努力的决心不会变，一直往前走，总会有进步。”

做“对胃口”的研究

20世纪90年代末，数学家邬似珏以调和分析为利器，在无旋水波问题的局部适定性研究上做出了突破性进展。这令张平和章志飞看到了另一种希望——将调和分析应用到有旋水波问题局部适定性研究中会不会出现新的奇迹？

“水波是运动的，如果不考虑流体黏性问题，可以用欧拉方程来描述其自由边界的局部适定性。一般情况下，这个边界是固定的，但在有旋水波方程中，随着时间变化，边界一直在运动。要研究这个界面如何运动，也就相当于研究其解的存在性和唯一性。从理论上讲，正好在调和分析的范畴内。”章志飞分析道，“难，但是非常对我胃口。”

2008年，他与张平合作的研究结果被发表在顶尖数学期刊CPAM上。两年后，著名数学家Strauss在其综述论文中将这篇文章列为领域内的一篇关键性论文。菲尔兹奖获得者Fefferman等也多次引用。赢得了国际同行的认可，章志飞自然欣喜，但更令他满足的是这项“对胃口”的工作让他真正享受到了做研究的乐趣，“也开了一个好头儿”。如其所言，从此以后，章志飞在水波方程领域展开了一系列深入性的研究。

水波方程有多复杂，一众数学家和物理学家都深有体会，他们更习惯利用更简单的方程来描述水波运动，如Shallow Water方程、KDV方程、KP方程等。从形式上看，这些方程都可以作为水波方程在某种物理尺度模式下的极限。“KDV方程就是被用来描述在浅水、长波和小振幅情形下水波的运动。”章志飞举例道。如此一来，如何在数学上严格地从水波方程导出各种渐近方程就成为一个重要且困难的数学问题。就在有旋水波问题局部适定性发表的前一年，著名数学家Craig等在综述论文里列出了一个重要的公开问题：“证明具有自由表面的三维水波方程的极限。”

2008年，Alvarez-Samaniego和Lannes在各种物理尺度模式下严格证明了三维不带表面张力水波方程到相应渐进方程的极限。章志飞注意到，他们推导出了Bond数为零时的KPII方程，但一般情形下的KP方程还是未知。“如果Bond数小于1/3，可以得到KPI方程；Bond数大于1/3，能得到KPII方程，在临界情形，也就是Bond数等于1/3时，我们得到了5阶KP方程。”这个结果，是章志飞与明梅、张平合作得到的，他们的工作在JMPA、ARMA、SIAM发表后，完全解决了水波方程到KP方程的严格波长极限问题。

“2018年我们也有一项工作发表在CPAM上”，章志飞口中的这项工作与开尔文—亥姆霍兹不稳定性有关。开尔文—亥姆霍兹不稳定性现象最常见的就是波状云。在平原地区，风速迅速改变形成涡流，移动迅速的轻密度云朵滑动到移动缓慢的云层上，制造出波浪的视觉效果。快速移动且密度较低的云层在速度较慢且密度更高的云层上方移动，形成云浪。云浪是一层卷云内部出现湍流的结果，卷云内的气流速度和方向存在差异，导致云朵形成好似在水上翻滚的景象。1953年，苏联物理学家Syrovatskij发现，磁场能够阻止开尔文—亥姆霍兹不稳定性，并提出了相应的稳定性条件。“他研究的是线性稳定性，但Syrovatskij条件下的非线性稳定性还是一个长期的公开问题。”经过反复思考和验证，章志飞发现水波方程可以为这一问题提供重要的灵感。基于此，他与孙永忠、王伟合作，在国际上率先提出了Syrovatskij条件下的非线性稳定性结果，论文发表后产生了重要的影响力。

打一场“硬仗”

浴缸里的水在排水口形成一个涡旋、烟头升起的青烟在空气中扩散、河流绕着石头流动……当一个有序流动的流体变化成看似不可预知的漩涡，往往关联着湍流。湍流问题是物理界最难理解的问题之一，而用来描述流体运动的Navier-Stokes方程（简称“NS方程”），对解决湍流问题有很大的助益。数学家们更关心这个方程中解的存在性，以及这些解是否有边界。作为千禧年大奖难题之一，NS方程一直都没有被破解。“这个方程中遇到的问题在其他方程中也可能存在，这个问题突破不了，其他方程中遇到的也同样突破不了。”与前赴后继的数学家一样，章志飞对NS方程这座极具挑战性的险峰满怀憧憬，由衷地想要做些什么，他瞄准了可压缩NS方程的适定性和爆破机制。

这场“仗”要怎么打？章志飞从不可压缩NS方程研究中找到了灵感。1994年，法国科学院院士Meyer等学者对一类大能量的高振荡初值证明了不可压缩NS方程光滑解的整体存在性，这一重要成果被称为Cannone-Meyer-Planchon定理。能不能将这一定理推广到可压缩NS方程中？章志飞觉得这条路值得趟一趟。他联合北京应用物理与计算数学研究所研究员陈琼蕾、苗长兴将设想变现，借助微局部分析工具发展了求解双曲抛物耦合方程组的半群方法。而通过引入加权的Besov空间，他们还发展了一套在临界Besov空间下求解可压缩NS方程的方法，并被国际同行称之为“Chen-Miao-Zhang方法”。其后数年，章志飞与合作者再接再厉，不仅证明了使用该方法所得局部适定结果的最优性，还利用该方法和Hoff方法证明了对一类动能大而势能小的初值可压缩NS方程的整体适定性。

除此之外，章志飞几乎同步在钻研另一个重要问题——可压缩NS方程的光滑解是否在有限时间爆破？这是一个长期公开的问题。早在1958年，著名数学家纳什就在其著名论文中提出了这样的猜想：只要密度和温度不会产生集中，解应该不会产生奇性。

“想要证明纳什猜想，本质数学困难就是仅在密度和温度有上界的情形下，做出速度场的梯度估计。”章志飞解释道，“这是一个双曲抛物耦合系统，传统的Nash-Moser-De Giorgi方法、极值原理等方法都不适用。”

如何解决这一问题？他与孙永忠、王超合作找到了新的思路：在证明的主要想法是在密度和温度有界的情况下，得到有效黏性通量的高阶估计；再利用连续方程与Logarithmic-Sobolev不等式得到密度的W1，P估计，最后利用椭圆估计得到速度场的梯度估计。2011年，他们相继在JMPA、ARMA等权威期刊发表了工作进展，针对等熵流，他们证明了只要密度不发生集中，光滑解就不会爆破；而非等熵流，只要密度和温度不发生集中，光滑解就不会爆破。

这些工作为纳什猜想做了一个合理的注脚，得到了国内外同行的广泛关注。2016年，德国Springer出版社刊发Handbook of Mathematical Analysis in Mechanics of Viscous Fluids（《黏性流体力学数学分析手册》），章志飞团队应邀为其撰写章节：Blow-up criteria of strong solutions and conditional regularity of weak solutions（《强解的爆破标准和弱解的条件正则性》）。

“被动”型精彩

“我中学时更擅长数学和物理，但也没有确定到以后一定要这些专业。”章志飞回忆道，隔着时空望向当初的少年，他给那时的自己定位是“被动”。

1994年高考后，在班主任的建议下，章志飞填报了杭州大学数学系。大学4年，作为一个数学系的学生，他的计算机也学得很漂亮。“如果不是推免读研，我大概率会试水IT业。”诚如斯言，世事难有如果，章志飞还是在数学道路上更进了一步。他读研时，原浙江大学与杭州大学、浙江农业大学、浙江医科大学合并组建成新的浙江大学，章志飞也成为新浙江大学的研究生，师从王斯雷教授。

“王斯雷教授是国内研究调和分析、偏微分方程比较权威的专家。但调和分析本身理论发展比较高潮的时期是二十世纪七八十年代。”章志飞称，到了他读研时，调和分析本身的理论已经相对比较完善和成熟了。当时，国际上从事调和分析的研究者已经有人在探索交叉融合方向，比如向小波分析、数论等角度转变。其中，将调和分析与偏微分方程相结合也备受青睐，菲尔兹奖获得者布尔盖恩、陶哲轩等都非常重视。而当这一方向出现在导师王斯雷列出的选项中，章志飞也做出了选择。2003年，章志飞的博士论文《发展型方程中若干问题的研究》顺利通过了答辩。同年，他进入中国科学院数学与系统科学研究院，跟随张平研究员进行博士后研究。2005年起任职于北京大学数学科学学院。“除了去法国巴黎第十一大学做过一年的博士后工作，这十几年基本没有离开过北京大学。”

章志飞的事业生涯呈现出稳定的状态，同样稳定的还有他的研究主线，用他的话说从读研开始的20余年，流体力学方程一直与他形影相随。“也不是说不做别的方程，像液晶方程，某种程度上是一种复杂的流体方程。液晶既可以看成流体，又不是普通的流体，要考虑NS方程与其他方程耦合。”章志飞尽量通俗地去解释。液晶方程的3个基本理论——Doi-Onsager理论、Landau de-Gennes理论和Ericksen-Leslie理论是从不同的物理观点出发而得到的。它们之间究竟有什么联系，一直是液晶数学理论研究中一个基本而重要的问题。在液晶无缺陷情形下，章志飞与王伟、张平文合作给出了这些不同理论一致性的严格数学证明。另外，他们在液晶的相变问题上也取得了系列重要的成果。

对“非线性Schrodinger方程是否有Anderson局域化”问题的探索，是章志飞的又一项尝试。这个问题很难用数值方法分析，必须借助理论方法，因为它需要高精度和长时间的计算。2009年，章志飞与W.M.Wang合作证明了一维非线性随机Schrodinger方程的长时间Anderson局域化，澄清了这个有争议问题。该结果一经发表即引发了国际数学界的高度评价。国际数学家大会45分钟报告者Soffer认为他们做出了这个方向上“最重要的结果”。《数学评论》则盛赞其成果尤为“简洁、漂亮”。2010年第16届国际数学物理会议上，美国普林斯顿大学教授、美国科学院院士Aizenman也在特别报告中介绍了他们的结果。

破解公开问题、澄清争议问题，章志飞享受着解题过程的快乐。从被动选择到享受热爱，不知不觉中，他走出了脚踏实地的精彩。但不论如何尝试，他都没有离开自己的研究主线。近年来，他和团队在流体动力学方程稳定性的数学理论方面取得了重要的进展。

“在二维流体中有一个非常重要的现象，非对称的涡会很快地形成对称的Oseen涡。要想从数学上解释这个现象，最关键的就是要解决法国数学家Gallay提出的关于Oseen涡度算子的拟谱和谱界猜想。我们做到了。”更令章志飞自豪的是，他们的工作发表后，又被Gallay应用到了非线性问题的解决上，也算是一段佳话了。

层流到湍流的次临界转换问题是流体力学中一长期公开问题。1993年，Trefethen等在《科学》杂志上提出理解这个问题的关键之一是要分析线性化算子的拟谱，而不能只分析算子的谱，因为这是一个非正常算子。基于一个NS方程的简化有限维动力学模型的分析，他们提出了流动稳定性的转换阈值猜测。在三维库埃特流中，章志飞等人解决了这个猜测。

朗道阻尼是指粒子和波相互作用使波的振幅减小的现象，属于等离子体动力学中十分重要的结果。但在1903年，物理学家就在库埃特流中发现了速度场会随时间衰减到零，这个现象如今被称为无粘阻尼。这意味着无粘流体中也有类似朗道阻尼的现象。1960年，物理学家Case对一般的单调剪切流预测出了精确的速度衰减速率。直到2018年，章志飞等人才在CPAM上发表的文章中真正严格验证了物理学家Case预测的结果。

与之相对，法国数学家Bouchet等在一类非单调的剪切流中发现了一个动力学现象。“在水杯里搅拌咖啡，轴心处涡度为零”，章志飞形象地打着比方，“但它某种程度上是由于对称性引起的”。2019年，章志飞等人证明这种现象具有普遍性。

目前，章志飞已经在国际核心数学期刊发表学术论文80余篇，出版专著1本，入选教育部新世纪人才计划、中组部首批青年拔尖人才支持计划，2014年获得国家杰出青年科学基金。

数学之美

20世纪90年代，章志飞读研后，最直观的体会是国内的文献信息来源非常慢。他所说的“慢”指向信息延时。由于当时互联网和信息技术不发达，他们看到一篇文章常常是这篇文章发表三四年之后。“信息延时常常会导致，当你有了一些设想时，人家已经做完了。”

这的确不是什么愉快的现实，所幸的是章志飞极为沉得住气。读研的5年里，他的精力更多放在夯实基础上。用他的话说，数学不同于别的学科，本科基础远远不够用，像代数几何耗上5年能搞懂就不错了，而分析学科就算门槛略低，想要做出更好的东西要付出的努力还是有过之而无不及的。从那时起，他在流体力学方程理论研究上的工作基本没有脱离开NS方程和欧拉方程。两者都是流体力学的基本方程，一个极繁，一个极简，但在章志飞眼中，它们都一样美。“很多学过微积分的人都能看得懂欧拉方程，这么简单的方程能够去描述复杂的物理过程，难道你不觉得美吗？”他反问道，眼中光芒大盛。

苏联哲学家柯普宁曾说：“当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等一样而得到充分的快乐。”章志飞深以为然，他诚恳地表示，“如果真正把数学钻研进去，哪怕不是你自己证明的，也能够欣赏到别人的证明过程，感受到数学的美”。

章志飞当然遇到过挫折。在中国科学院数学与系统科学研究院做博士后时，他曾尝试过将半经典分析与调和分析交叉，去探讨一些更深入的问题，却很难进行下去。但他也很难真的放弃，在法国巴黎第十一大学期间还去听完了“半经典分析”课程，没想到却有了另一种层面上的收获。这门课程，由两位教授主讲。上半学期，一位教授讲授基础理论；下半学期，另一位教授讲授最新研究进展，甚至是还没有正式写好发表的进展。“基础+前沿”，章志飞触动很大。作为分管研究生工作的副院长，他也希望在有条件的情况下，通过这种模式推动学生们尽快接触科研前沿。

章志飞其实是个很操心的导师，除了讨论班要做好，学生的选题、生活、心理状况等，都要引导。“随着年龄的增长，科研文章可能会相对写得少一点了，教学上会更加增强。写一本好的教材比出一篇好文章的影响力更大。”如今，他的研究问题正在慢慢收缩，会逐渐集中到一两个比较有意思的问题上。“让人家能说，在北京大学还有这么一波人做出这么厉害的成果。”谈到未来，章志飞神采飞扬。