技术不仅是工具也是数学的一部分

孙海洋

在当今信息化社会中，各种不同的信息技术被广泛地用于工作、个人生活和教学情境中，信息技术的运用已经成为信息和知识的生产、使用、存储、评价、分析和交流的组成部分。

2010年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》吹响了加快教育信息化进程的号角。信息技术越来越人性化，服务于教育教学的信息技术，它们的设计理念都集中到一条：从学生学习需要出发，为学生提供内容丰富、形象化、动态化的学习工具，帮助学生理解教学内容，提高学习效率和效果。所以信息技术给予教学的支持是全方位的。

信息技术作为一种认知工具应用于数学教学中，将对中学数学教育产生革命性的影响。在提倡独立思考、自主探究、合作交流的今天，信息技术在教师的教和学生的学中扮演的角色会变得越来越重要。

随着信息技术在数学教学研究中的广泛应用，人们对信息技术与数学的关系的认识也在加深。对于学生而言，掌握使用信息技术的技能，就像学会说话一样重要。

下面我结合自己十多年的数学教学生涯中的一些经验及教训，简单地谈一谈对应用信息技术辅助数学课程教与学的几点思考。

信息技术为重要且难度较大的数学思想的教学提供有效途径

皮亚杰认为，学习是一种能动的建构过程。在他看来，学习并不是个体积累越来越多的外部信息，而是学到越来越多的有关他们认识事物的程序，即建构了新的认知结构。这种新的认知结构不仅是原有认知结构的延续，而且是原有认知结构的改造和重组。在学习过程中，已有认知结构和主体对建构过程的积极参与非常重要。

当今的建构主义认为，学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程，他们十分重视学习者在学习过程中的主观能动性的作用，特别强调了在具体情景中形成的具体经验背景的作用。

而信息技术参与课程之后，如“逼近”的过程就可以得到直观显示，使一些相关的数学教和学就变得容易了。

例如，在讲授八年级“函数的图象”这节课之后，我安排了一节实践课，将曾经在“轴对称”一章中研究过的“将军饮马”问题从函数的角度来研究。学生们分析、设计研究方案，并具体操作。他们在坐标纸上不断地加密取点，但是由于刻度尺精确度的限制，始终无法取得最小值点的精确位置，得到的只是一个区间。于是，学生们利用GGB（GeoGeBra）作图工具不断调整精确度，逐渐缩小区间，逼近取得最小值的位置，这样，最小值点的位置逐渐精确。

在这个过程中，学生们通过自己的操作了解到，取到最小值的点存在且唯一。这与利用轴对称的方法得到的点是不矛盾的。学生们又利用GGB作图工具通过轴对称的方法确定这个唯一的点，发现在精确度及现有宽度的事实下，代数方法与几何方法探究“将军饮马”问题得出的结论是一致的。

在整个探究过程中，学生们在技术的支持下，不仅对函数的认识有了更进一步的理解，同时对精确度等相关的知识都有了不同程度的理解。课后学生感叹地说：“数学太奇妙了！GGB画板太神奇了。”其实，很多时候，不是数学枯燥，而是我们教授数学的人把它人为枯燥了。

信息技术改善了传统数学内容的教学

建构主义的教学观认为学习可以分为两类：初级学习和高级学习。初级学习中，教师只要求学生通过练习和反馈来掌握一些重要的概念和事实。高级学习则要求学生把握概念的复杂性，能根据具体情况，应用自己的知识、经验建构用于指导问题解决的图式。而传统教学混淆了高级学习与初级学习之间的界限，将初级学习阶段的教学策略不合理地推向高级学习阶段的教学中，使教学过于简单化。

例如，将事物从复杂的背景中隔离出来进行学习，忽视具体条件限制;将连续的过程简单地当成一个个阶段来处理;将整体分割为部分，忽视各部分之间的联系性等。而这种简单化处理正是妨碍学生在具体情景中广泛而灵活迁移的主要原因。

基于对高级学习的理解，建构主义者提出了“随机通达教学”，认为对同一内容的学习要在不同的时间多次进行，每次的情景都是经过改组的，分别针对知识的不同侧面，情景中要包括充分的变式，使概念与具体情景相联系。这样，在每一次教学中学生都能够获得对知识的新的理解，从而使学生对概念形成多角度的理解，并与具体情景联系起来，形成背景性经验。

如在传统的函数教学中，往往教师没有更好的方法给出形象定义、分析、举例，这样对于一次函数、二次函数、反比例函数，由于函数解析式与学生之前的认知不冲突，通过讲练学生还可以接受，但是到了三角函數，角度和直角三角形边的比值之间的变化关系，学生无法通过已有的知识经验将它与函数的概念联系起来，这样就会产生认知冲突。而信息技术的引入，使对应关系变得“可操作”“可视化”，强大的作图和图形变换功能使图形的动态演示变得“唾手可得”，打破了人工纸上作图的局限性，让规律和特征显而易见。

例如，在讲授三角函数的知识时，三角函数中正弦函数、余弦函数、正切函数等这些函数的概念都和学生熟悉的正比例函数、一次函数、二次函数的概念区别很大，学生单从定义中很难理解两个变量及它们之间的变化关系。这时，借助几何画板，让学生在几何画板的演示下，清楚地认识到，当一个锐角确定的时候，不管它所在的直角三角形的大小怎样变化，它的对边与斜边的比值都是唯一确定的值，同时，当这个角的大小发生改变的时候，它的对边与斜边的比值也相应发生变化。

通过几何画板的直观演示，学生很容易找到两个变量及这两个变量之间变化的对应关系，这对学生理解三角函数起到了非常重要的作用。进而通过结合函数概念，认识到三角函数的函数关系和一次函数、二次函数、反比例函数等函数关系的形成是一致的，这样就不会在认知上产生冲突，从而更好地落实了概念和具体情景的联系。

信息技术是进行数学探究与发现的催化剂

与其他学科相比，数学教学在开启学生的心智，培养学生的思维能力（特别是抽象逻辑思维能力），提高学生的内在素养等方面担负着更加重要的责任。“数学给与人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断。”（王子坤）

当今建构主义也强调学习过程是学生对知识的主动建构过程，在强调已有认知结构的重要性时，指出提取记忆系统中的信息也是一个根据具体情况进行建构的过程，使已有认知结构与新知识之间的相互作用过程更加清楚，从而使学生的主体作用更加明确。而信息技术的强大数值运算、代数推理、统计分析、动态几何等功能，使我们能做到“一有想法就试试看”，从而调动学生学习、探究的积极主动性。

如在讲“矩形的性质和判定”之后，学生问了我这样一个问题：矩形ABCD，延长边CB到点E，使CE=CA，取AE的中点F，连结BF和DF，如图1，如何证明BF和DF是互相垂直的关系？

开始我并没有上来就启发学生怎么找这个关系，而是让他们在几何画板软件上画出图形，然后改变矩形的大小，看看BF和DF是否还是垂直？那么改变F的位置，让它成为一个非中点的普通点呢？结果学生在操作的过程中发现，由于F是中点，从而出现了BF和DF的垂直关系，学生由此就想到这个题目和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的“三线合一”有关系，很快，他们就把这个结论证明了出来。

信息技术的合理使用，可以让几何更加直观，可以在变化中寻找不变的东西，这对于学生思维的培养、解题习惯的养成都有着十分重要的作用。更重要的是，信息技术的合理使用在调动学生学习、探究的积极主动性方面潜移默化地发挥着越来越不可忽视的作用。

信息技术能让情境和问题的模拟更真实

信息技术不仅大大扩展了教学中可作为研究事例的范围，同时能以一种更为现实的方式模拟情境和问题。

例如，在学生学过了事件的分类、概率的古典定义（比值定义）并会用列举法求概率之后，学生容易出现知识的负迁移，认为所有的随机事件概率均可以用列举法求得。为了进一步探寻学生头脑中的已有图示（现有认知结构），我进行了一个前测，让学生观看NBA篮球比赛视频，预测球员进球率，发现绝大多数学生得出了进球概率等于二分之一的结论。于是，在“用频率估计概率”这节内容的学习中，我首先抛出一个问题：一位同学手中有红黑两种花色的牌各一张，你从中随机抽取一张，抽中红牌的概率是多少？学生都可以通过列举法求出概率是二分之一。

如果我们做50次抽牌试验，抽中红牌的频率一定等于其概率二分之一吗？针对这个问题，我安排了实验：请同学们每3人一个组。每组两张牌，花色一红一黑。第一位同学负责洗牌，第二位同学抽牌，剩下一位同学记录。记录的同学用划记法分别记录抽牌同学抽牌的次数和抽中红花牌的次数。当抽牌次数达到50次时 ，实验结束，并整理抽中红花牌的次数和计算抽中红花牌的频率。同学们通过收集数据、整理数据，再利用excel软件，展示由实验数据得到的折线图。通过一系列的操作，学生初步认识到频率是随机的，概率是确定的，频率在概率上下波动。

如果增加试验次数，结果会如何？学生们把每个组的50次实验合在一起得到数据之后，继续利用excel软件展示由实验数据得到的折线图时很容易就发现，随着试验次数增加，频率表现出一定的稳定性。紧接着引入数学知识，确保结论的严谨性，使学生进一步体会频率估计概率的合理性。

在解决问题这个环节，提出问题：投一枚图钉，你能估计出“钉尖触地”的概率吗？学生在小组讨论中，经历了用列举法求概率得出二分之一（图钉质地不均匀，可以看成正四面体），做实验，收集数据，用频率估计概率的思维冲突，最终选择出了正确的方法。考虑到教室内抛掷图钉的危险性，此时，我引入了一个模拟软件来代替，完成收集数据的工作，和学生们一起完成整理数据，利用计算机软件描述数据，如图2，同学们分析数据，获得了顶尖触地的概率约为0.46。这个现实发生、包含复杂数据的问题通过信息技术的支持，变得灵动起来。

当然，信息技术植入数学课堂也是一把双刃剑，它既可以促进我们的教学，也会给我们的数学教学带来一些负面的影响。比如，技术的运用，可能会削弱学生通过动手计算和推理获得重要并有价值的知识和技能的能力;信息技术的运用促进数学课程的改变，抽象程度更高的数学概念将进入课程，这对教师和学生都提出了挑战等等。但是随着信息技术在数学教学研究中的广泛应用，人们对信息技术与数学的关系的认识也在加深，“技术不仅是工具，也是数学的一部分”已成为数学界的共识。

信息技术应用于数学教学的研究中，也为教师自身专业发展提供了一个重要的平台。作为一线的教师，只有充分把握数学、学生学习和数学教学的规律，才能在数学教学中真正用好这些技术，并在数学概念的定义、推理和表达、解答和解释，在发现规律、获得猜想、解决问题、交流想法和展示成果等方面更好地发挥它的作用。

作者單位：北京市第一七一中学