模型思想在小学数学教学中的应用

王晓君

摘  要：《义务教育数学课程标准》（2011版）新增了核心概念——模型思想。在小学阶段，这是第一次明确模型思想的基本理念和重要作用，这也是数学应用价值的体现。在实际教学过程中，需要探讨如何引导学生经历初步的数学建模的过程，体会、感悟数学模型思想。

关键词：模型思想;鸽巢问题

模型思想是一种数学素养，也是数学基本思想之一。“至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。

“抽象”“推理”“模型”这三个数学发展所依赖的思想在本文的课例《鸽巢问题》中都有渗透和体现，特别是“模型思想”。下面以此课为例，探讨如何在教学中引导学生经历初步的数学建模的过程，体会、感悟数学模型思想。

一、立足教材研究教材，深度挖掘教材中的模型思想

《鸽巢问题》是小学数学（人教版）第十二册第五单元数学广角的内容。鸽巢问题是经典的数学问题，又称抽屉原理，解决问题的关键是能构建合适的鸽巢或者抽屉。从教材的编排上来看，通过实物让学生理解鸽巢问题的特点，进而建立起模型，再运用模型去解决实际问题。鸽巢问题需要学生用规范的数学语言来表述结论，这些对学生而言都是非常抽象，不好理解的。教材在本单元安排了三个例题，例1借助“把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”的情境，让学生明白这样一个模型：如果把n+1个（n为非零自然数）物体任意放入n个抽屉，那么一定有一个抽屉里至少放进了2个物体。教材呈现了一一列举法和假设法。例2介绍了另一种类型的鸽巢问题：“把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。”在此题中，侧重假设法，并用有余数的除法的形式来表示平均分的过程：7÷3=2（本）……1（本），以此来表达出假设法的思路，类推解决一系列相似的问题，从而了解鸽巢问题的另一种模型：如果把a个物体任意放入b个抽屉，那么一定有一个抽屉里至少放进了（商+1）个物体（a>b，a不是b的倍数，且b为非零自然数）。例3是应用鸽巢原理。教材通过这三个例题的编排，目的是让学生经历“从具体情境中抽象出鸽巢问题—建立鸽巢问题的一般模型—推理出鸽巢模型的原理—运用鸽巢原理解决问题”的过程。

二、以学生为本，将“学生经历模型思想形成的过程”作为课堂的落脚点

对于教师而言，既要使学生在观察、操作中了解鸽巢原理的一般模型，能用鸽巢原理去解决问题，发展学生的思维，同时又不能让学生按照公式来套用公式，这是非常难把握的。对于学生而言，“总有……至少……”的句式描述、理解起来都一样的困难。虽说鸽巢原理在生活中有广泛的应用，学生也常常能遇到身边的实例，但却很难找到实际问题与鸽巢问题之间的联系。

本课我们将教学目标定位如下：

1. 使学生经历“鸽巢原理”的探究过程，建立“鸽巢原理”的基本数学模型，并能运用模型来解决实际问题。

2. 通过动手操作和观察、推理等数学活动，引导学生体会模型思想。

3. 感受数学与生活的紧密联系。

教学重点：

经历探究的过程，理解鸽巢原理，并能用于解决生活中的实际问题;

教学难点：

理解“总有”“至少”的含义，能用数学语言准备表达，构建鸽巢原理的数学模型。

根据这样的教学目标和教学重难点，确定本节课的五个教学步骤，分别为：

（一）提出问题，初识模型

第一个教学环节，让学生初步感受到这样的一种简单的模型：如果把n+1个物体任意放入n个抽屉，那么一定有一个抽屉里至少放进了2个物体（n为非零自然数）。在这里没有采用教材先给结论后证明的方法，是为了帮助学生更好地理解。先提出一个问题情境，把4支筆放到3个杯子里，有几种摆法，让学生列举了所有的摆法以后进行观察发现，然后总结结论，这是抽屉原理初次被发现的过程，科学家们也是通过这样的观察发现逐步完善得到抽屉原理的模型。让学生感受到抽屉原理其实是很生活化很常见的一种规律、模型。从一一列举的结果中发现，再回到列举的结果去理解“总有”“至少”的意思，对学生来说是最容易的。发现规律以后，反复让学生用数学的语言去表达结论，同时在4只苹果放入3个抽屉时反问你是怎么想的，引出假设法，为后面进一步建立模型孕伏。

（二）逐步深入，建立模型

借助直观操作，使学生经历知识的探究、模型的建立过程。5支笔放入3个杯子里，由于数据比较小，为学生自主探索和理解“鸽巢问题”提供了很大的空间。用枚举法，可以把所有情况摆出来，运用直观的方式发现并描述，也可以动手摆一摆，用简便的假设法，即平均分的方法，用算式表达，然后通过解释两个1的含义，引发学生思维步步深入。在这个环节，重点是假设法，让学生理解为什么只要摆一种方法就可以说明了，这一种方法不是把所有笔放在一个杯子里，这是偶然性，这一种方法是要尽可能地平均分，让每个杯子里都有笔，而且第一次平均分完，第二次余下的笔要再次平均分，这是学生初步建立并理解模型，而并非是套用算式的重要步骤。

（三）深入研究，完善模型

在前两个环节探索的基础上，学生逐步优化，学会运用一般性的数学方法来思考问题，得出一般性的结论。在这一个环节，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，体验和理解“鸽巢问题”的基本模型。这样的教学过程，有助于学生能力的提升、数学思维的培养。

（四）利用模型，解决问题

提供丰富了生活素材，鸽巢问题原本就是源于生活。这个教学环节让学生能够把生活情境和数学模型间建立起联系，能运用这个模型来解决生活中的实际问题。自己编题的环节，激发学生的兴趣，发展创造力，学生的素材有飞镖的环数、借书的本数、病房安排等等，回归生活，用模型思想去指导、解决生活中的实际问题。

（五）小结提升，回顾模型

鸽巢问题这个内容尽管很难上，但通过以上的教学，学生的思考与表达都很清晰，对鸽巢原理的理解已相当到位，教学也较顺畅，由此看来，不要怕课堂上浪费时间，一定要让学生经历从实际问题抽象出模型，建立完善模型，并运用模型的过程，这是至关重要的。

三、从《鸽巢问题》看“模型思想”，准确定位方能循序渐进

模型化思想作为一种基本的教育教学理念，应对教师的教学起到引领作用。用模型思想去指导教学，对数学教材的教学内容进行再认识，将模型思想纳为教学目标，贯穿教师的整个教学设计中。作为教师，要充分挖掘与模型思想有关的贴近学生生活经验的问题情境，便于学生理解复杂而抽象的模型。

数学模型教学处理不当就容易落入为解题而解题的误区，由此引导学生经历模型建立的过程就显得尤其重要。比如本文的课例就是一个很好的示范，从问题情境中抽象出数学问题—尝试建立数学模型—完善数学模型—应用数学模型解决问题。本节课的目的不是让学生简单地记住鸽巢原理的公式解题，而是让学生经历模型思想建构的过程，不仅知其然更知其所以然。

对问题情境的数学化是建构数学模型的基础，也是用模型化思想方法解决问题的前提。在平时的教学中，教师更要加强学生对问题情境数学化的能力，引导学生经历模型化的过程，注重数学模型的运用，循序渐进地培养学生的模型思想。

作者简介：王晓君（1987-），硕士研究生，中小学一级教师，从事小学数学教学。