初中数学中的费马点问题

常世炜

【摘 要】几何最值问题种类多、变换形式多样，是近几年全国中考比较热的模型考点。仅2015～2018年四年的兰州中考题目都涉及了线段最值的模型，含有“军饮马、阿氏圆、胡不归”等不同类型。“费马点”模型最早是由法国数学家费马提出，是关于三角形的一个有趣问题，其实质上研究的是在三角形内部存在一个到三角形三个顶点的距离之和最小的点，利用初中数学的旋转变换，构造三线段共线，解决最值问题。本文结合几何学从定义、作图、结论出发，讨论“费马点”模型一般性的应用。

【关键词】三角形内一点；费马点；旋转；最小值

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0136-02

1 费马点的定义及性质

（1）费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。

（2）费马点结论

①对于一个各角不超过120°三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点。

②对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。

③当△ABC为等边三角形时，此时内心（三角平分线交点）与费马点重合。

2 费马点的作图及证明

作图：以三角形的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点分别相连，交于点P，则点P是原三角形的费马点（如图1）。

证明：在△ABC内找点P，使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小。

解：如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△APC′，连接PP′，则△APP′为等边三角形，即AP=AP′，PC=P′C′。所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′。只要当B、P、P′、C′四点共线时，PP′+BP+P′C′的和最小，其值等于BC′的长（如图3）。

当点P满足PA+PB+PC的和最小時，△APP′为等边三角形，则∠APP′=∠AP′P=60°，有∠APB=120°，∠AP′C′=∠APC=120°，∠BPC=120°（如图4）（符合结

论①）。

费马问题说明，在三角形内存在一个点，它到三个顶点的距离之和最小，借助旋转变换可说明。

3 费马点之应用

例题：在研究学习“两点之间，线段最短”后，发现：△ABC内总存在一点P到三个顶点的连线夹角相等，此时该点到三个顶点的距离和最小（费马点）。

探究：P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°。

证明：PA+PB+PC的和最小。

拓展：如图5，△ABC中，AC=6、BC=8、∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点。求：PA+PB+PC的最小值。

证明：如图4，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得△AP′C′。显然△APC，△A′P′C′。

且△APP′为正△，所以∠APP′=60°，∠APB=120°。

所以A、P、P′共线，又因为∠A′P′C′=∠APC=120°，∠AP′P=60°，所以P、P′、C′共线。

所以B、P、P′、C′四点共线。所以PA+PB+PC=PP′+PB

+P′C′=BC′，即PA+PB+PC的和最小。

拓展：如图5，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得△A′CP′。

显然①△APC≌△A′P′C，②等边△PCP′，等边△AA′C

若要PA+PB+PC最小，则B、P、P′、A′共线。即PA+PB+PC=PP′+PB+P′A′=BA′

又因为∠ACB=30°，∠ACA′=60°，所以有Rt△A′CB，BA′=10。

“费马点问题”是在理解数学课标的基础上，把初中数学要掌握的重点基础知识、基本解题方法进行融合、渗透，真正体现增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力的目标。

通过拓展知识的深度、宽度和广度，锻炼学生解题思维能力，在学生已经解决的问题上深入挖掘，不仅能让学生体会学习数学的乐趣，同时也能让学生学会融会贯通地运用基础知识，形成思维的发散性，灵活性，抽象性和严谨性。探究课外数学教学资源，并且科学地、恰当地运用，达到课内外的融合。