分数阶Fourier变：在水声信号处理中的应用研究

冷龙龙 肖业伟 胡军

摘要：线性调频（IFM）信号瞬时频率随时间呈线性变化，当干扰噪声与其强耦合时，经典的滤波方法难以有效的滤除噪声。针对水声通信中采用LFM信号作为载体时滤波效果不明显的问题，提出了一种改进的分数阶Folmer变换（FRFT）滤波方法。水听器接收到的LFM信号在最佳变换域经FRFT变换后，同时对期望信号进行FRFT变换，系数修正后再对信号进行窄带滤波处理。仿真结果表明，在信噪比高于-12dB时，新算法能够有效的实现信噪分离，还原出信号。

关键词：线性调频信号;水声通信;分数阶Follrier变换;窄带滤波

中图分类号：TB566

文献标识码：A

水声信道因其特殊的时空频变特性，水声通信的发展远远滞后。对水声通信技术的研究已成为各国科学家和工程技术人员研究的热点。水声信号提取优劣将会直接影响水下目标探测、定位、跟踪等技术的发展。线性调频（LFM）信号瞬时频率随时间呈线性变化，将其作为载波信号应用于水声通信中，能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力[1]。分数阶Fourier变换是近年来数字信号处理领域一种很重要的算法，一个LFM信号在某一特定阶次的分数阶傅里叶变换域上是一个函数。因而将分数阶Fourier变换引入到水声信号处理方面，对于发展基于分数阶Fourier变换的水声通信技术具有积极的意义。

文献[2]提出了一种基于分段频率拟合的多阶分数阶傅里叶变换（FRFT）自适应滤波方法，通过拟合频率曲线来确定FRFT滤波算法的各个参数。文献[3]提出了一种简洁的分数阶傅立叶变换（ CFRFT）方法，降低了分数阶Fourier變换滤波算法的复杂度。文献[4]利用分数阶傅里叶变换在分析线性调频信号时的优良特性，在分数阶变换域上进行自适应滤波处理，提高信号检测估计效果。文献[5]利用调频步进雷达的粗距离像信号为慢时间域的线性调频信号的特点，通过对若干个连续子脉冲串的分数阶傅里叶变换谱图进行等距滑动叠加的方法，解决了单个子脉冲串的FRFT谱图在被噪声淹没的问题。但当信噪比较低时，且干扰噪声与待观测信号具有较强的时频耦合，经典的滤波方式难以实现有效的信噪分离。

针对以LFM信号为载体的水声通信方案，对传统FRFT滤波算法进行优化。在窄带滤波前，对已知起始频率和调频斜率的载波信号（期望信号）进行FRFT变换，在每个步长点计算其与水听器收到的LFM信号的差值，该差值即为干扰噪声在分数阶Fourier最佳变换域的值，系数修正后进行窄带滤波处理，再进行FRFT反变换，即可恢复原信号。

1 基于FRFT的调制水声通信方案

水声通信方案如图1所示，采用LFM信号作为载体，采用分数阶Fourier变换滤波方法作为解调机制。信号调制后送人D/A采集卡，利用D/A采集卡将数字信号转化为模拟信号送人到水声换能器，水声换能器将模拟信号转换为声信号发送到水声信道中，水听器将接收到的模拟信号转换为A/D采集卡能够处理的数字信号，利用FRFT滤波算法对转换后的含有噪声的LFM信号进行滤波解调处理，供进一步研究分析。

2 分数阶Fourier变换

2.1 分数阶Fourier变换定义

在t域的函数x（t）的p阶分数阶傅里叶变换是一个线性积分运算，其定义式为：

3.3 分数阶Fourier变换滤波评价指标

滤波算法的效果可用信噪比改善因子IF来衡量，其定义为滤波前后的信噪比之比：

由以上分析可知，信号经FRFT滤波处理后，若信号能量越集中，则所需选取的窄带通的滤波器的带宽越窄，残余噪声越少，改善因子会越大即滤波效果更好。

3 基于分数阶Fourier变换的LFM信号滤波算法

3.1 LFM信号特点

线性调频信号又称chirp信号，LFM信号的一般表达式为：

式中f0为信号中心频率，k为线性调频信号的调频斜率，A（t）为瞬时振幅，φ0为初始相位，为了计算方便，一般设置幅值A（t）=0，初始相位φ0=O，故LFM信号可简化为：

S（t）=expU（2rrf0t+πkt²）]（18）

线性调频信号由于其非平稳性，在时频域内，常用的处理平稳信号的滤波算法对其进行滤波效果不佳，而分数阶Fourier变换（FRFT）可以解释为信号在时频面内绕原点旋转任意角度后在分数阶Fourier域的表示，将信号在时频平面上旋转特定的角度，对信号进行旋转分离来滤除噪声[7-8]。同时LFM信号的分数阶Fourier变换是一个线性变换，分数阶傅里叶变换特别适合处理LFM信号[9-10]。

结合式（2）和式（18）可得：

3.2 分数阶Fourier变换滤波原理

由傅里叶变换可知，信号可以展开成n组不同频率正弦波的叠加[11]，信号在时频域的投影如图3所示。在时域表现为连续的方波信号，在频域部分表现为不同频率的正弦波的无限叠加，投影到频域平面上表现为不同频率段。传统傅里叶变换滤波算法是将时域信号变换到频域信号，即将时域轴旋转π/2，然后滤除不需要的频率分量。而分数阶Fourier变换滤波算法进行滤波原理是基于时频平面旋转的信号滤波方法，即将信号在时频平面上旋转特定的角度（a=p π/2），对信号进行旋转分离，从而达到抑制噪声的目的。在分数阶Fourier变换域上，多了一个变换阶次的自由参量，且同时融合了信号在时间域和频率域的特征信息，故分数阶Fourier变换滤波算法被认为是一种有效的时频分析方法，适用于处理如Chirp类的非平稳信号。

LFM信号是非平稳信号，在时间域与频率域上都有较大的时宽和带宽，若采用常用的处理平稳信号的滤波算法对其进行滤波效果并不理想。LFM信号瞬时频率随时间呈线性变化（f+kt），LFM信号投影到时频面就是一条直线段。该线段与时间轴夹角为β，当FRFT的旋转角度α与β正交，LFM信号在FRFT域上的投影就聚集在一点上，通过该点的分数阶Fourier域上的带通滤波便能很好的滤除掉噪声[12-14]。

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