构造辅助函数 破解导数中的抽象函数问题

罗文军 刘娟娟

(1.甘肃省秦安县第二中学 741600;2.甘肃省秦安县郭嘉镇槐川初级中学 741600)

破解导数中的抽象函数这类试题，准确构造出符合题意的辅助函数是解题的关键.构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本文对这类试题进行总结.

一、构造差函数

例2函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为____.

解析构造函数g(x)=ex·f(x)-ex，因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0，所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

二、构造可导的乘积函数

根据导数的运算法则，当F(x)=f(x)·g(x)时，则F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，不难得出以下结论：

1.若f′(x)+f(x)≥0(或≤0)，构造F(x)=exf(x)，则F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]≥0(或≤0)；

2.若xf′(x)+f(x)≥0(或≤0)，构造F(x)=xf(x)，则F′(x)=xf′(x)+f(x)≥0(或≤0)；

3.若xf′(x)+nf(x)≥0(或≤0)，构造F(x)=xnf(x)，则F′(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)]≥0(或≤0)(注意对xn-1的符号进行讨论).

A.对于任意x∈R，f(x)<0

B.对于任意x∈R，f(x)>0

C.当且仅当x∈(-∞,1)时，f(x)<0

D.当且仅当x∈(1,+∞)时，f(x)>0

又因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)>0.

综上所述，对于任意x∈R，f(x)>0，故选答案B.

例4函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(1)=0，当x<0时，xf′(x)+f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

解析设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x).因为，当x<0时，xf′(x)+f(x)>0，所以当x<0时，g′(x)>0，所以函数g(x)=xf(x)在(-∞,0)上为增函数.因为函数f(x)是奇函数，所以g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=g(x)，所以g(x)为定义域上的偶函数，所以g(x)在(0,+∞)为减函数.由f(1)=0，得g(1)=0，g(-1)=0.

例5已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>-2f(x)，则不等式x2f(x)

三、构造商函数

例7已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则( ).

A.4f(1)f(2)

C.f(1)<4f(2) D.f(1)<4f′(2)

例9若对定义在R上的可导函数f(x)，恒有(4-x)f(2x)+2xf′(2x)>0，(其中f′(2x)表示函数f(x)的导函数f′(x)在2x的值)，则f(x)( ).

A.恒大于等于0 B.恒小于0

C.恒大于0 D.f(x)与0 的大小关系不确定

由题设(4-x)f(2x)+2xf′(2x)>0可知，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，当x<0时，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上单调递减，所以当x≠0时，g(x)>g(0)=0，所以x≠0时，f(2x)>0.在(4-x)f(2x)+2xf′(2x)>0中令x=0时，知f(0)>0.

综上所述，f(x)>0对任意的x∈R恒成立，故选答案C.

例10已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，f(x)满足2f(x)+xf′(x)

A.5 B.3 C.1或3 D.1

由题设，当x<0时，2f(x)+xf′(x)-xf(x)<0，所以F′(x)>0，F(x)在(-∞,0)上为增函数，F(x)0时，f(x)>0，且f(0)=0，故选答案D.