利用高等几何知识解初等几何题例谈

李欢 赵临龙

摘 要：利用射影几何的不变性和不变量关系，讨论几何中的2个问题：将任意三角形变换为等腰三角形，证明线段的相等，并且给出推广结论。

关键词：射影几何；不变性；不变量；任意三角形；等腰三角形；线段相等；推广结论

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.11.191

在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形（平行四边形、梯形、椭圆）可变为正三角形（长方形、等腰梯形、圓），那么对具有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形可用仿射变换变为特珠图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仍射变换不变性和不变量关系：保持同素性、结合性、共线性、共点性，以及单比、封闭图形的面积之比等，即可推命题在原图形中成立。

1 举例

例1：中心射影将一任意三角形射影成等腰三角形。

方法一：如图1，设△ABC 为平面π内的一任意三角形，过BC边任作一平面π与π不同，在π内作BC的垂直平分线m，在m上任取一点A'（不在BC上），连AA'，在直线AA'上取定点O，则以O为射心，OA为射线的中心射影必将△ABC射影为平面π上的等腰三角形A'BC。

方法二：如图2，设F、G，H、A分别是梯形DEBC下底、上底的中点，对角线交点、两腰所在直线交点，T为仿射变换，将梯形DEBC→等腰梯形DEBC， F→F'为B'C'中点，G→G'为D'E'中点。因为仿射单比不变：（BEH）=（BEH），（DCH）=（DCH），（BDA）=（BAD），（CEA）=（CEA），且仿射共线性不变：FHGA共线，所以FHGA共线，即将任意三角形仿射为等腰三角形。

由此得到结论。

命题1：任意梯形一对对边的2个中点与四边形另一对对边延长线的交点，以及对角线的交点，其4点共线。

例2：如图3，过四边形对角线的交点O，引一直线交双对边于P，P'，交另一双对边于Q，Q'，若P'O=OP，则PQ=Q'P'。

方法一：如图3，设ABCD为已知四边形，AC，BD交于点O，P在BC上，P在AD上，Q在AB上，Q在CD上，且P'O=OP。

设直线AD与BC交于点E， 直线AB与CD交于点F，连接EO。取完全四边形FAOD，则有调和分割线束关系： E（CP，OF）=-1，即E（PP'，OF）=-1。

此时，以E为透视中心，P'0=OP，则点F与直线PP'相交于无穷远，所以PP//EF。

同理，连接FO，由完全四点形的调和性知，F为透视中心的线束F（QQ'，OE）=-1，由于QQ//EF，所以点列（QQ'O）=-1，故QO=OQ，又PO=P'O，所以PQ=QP。

方法二：由直线型蝴蝶定理，当直线PP'截直线对BC、AD于点P、P'，则截直线对AB、CD与直线PP'构成的点Q、Q'，当PO=OP，则QO=OQ，于是PQ=QP。

此时，由蝴蝶定理推广结论，还可以给出结论。

命题2：如图3，过四边形对角线的交点O，引一直线交双对边于P，P'，交另一双对边于Q，Q'，则1/PO-1/PO=1/QO-1/QO，其中当PO=OP，有QO=OQ。

2 小结

综上所述，高等几何对初等几何而言，有着重要的指导作用，初等几何的证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路。如果学了高等几何，那么在对于初等几何的思路上将会更加开阔和解法多样化，也更加有助于我们对初等几何的认识，启发我们获得初等证法。我们要“站得更高，看得更远”，拓宽视野与思路，许多初等几何无法简洁解答的问题，我们在学了高等几何以后，就可以找到答案，提高我们解决问题的能力，发散思维。

参考文献：

[1]周振荣，赵临龙.高等几何[M].华中师范大学出版社，2014.

[2]梅向明，刘增贤.高等几间学习指导与习题选解[M].高等教育出版社，2004.

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[5]赵临龙.蝴蝶定理解高考数学解析几何题的再探讨[J].中学数学教学，2018（05）：73-76.

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